Trờng THCS Bắc Nghĩa
Đề kiểm tra chọn học sinh giỏi
Môn :Toán Lớp 8 Năm học: 2008 - 2009
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2 điểm)
Câu 1: (0,75 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì:
( n
2
+ 3n 1) ( n + 2) n
3
+ 2 chia hết cho 5.
Câu 2: (1,25 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của mỗi biểu thức sau là số
nguyên:
Bài 2: (2 điểm)
Câu 1: (1 điểm) Chứng minh rằng:
Nếu = 2 và a + b + c = abc thì = 2
Câu 2: ( 1 điểm)
Cho ba số dơng x, y, z có tổng bằng 1
Chứng minh: 9
Bài 3: ( 3 điểm)
Câu 1: ( 1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 2: ( 2 điểm)
Cho biểu thức
a. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức đợc xác định
b. Tìm giá trị của x để giá trị của R = 0
c. Tìm giá trị của x để = 1
Bài 4: ( 3 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC. Qua A kẻ tia Ax vuông
góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đờng
thẳng kẻ qua E song song với AB cắt AI tại G.
Chứng minh:

Câu 2: (1,25 điểm)
(Với điều kiện x 3)
Để giá trị của biểu thức M là số nguyên thì phải là số nguyên. Muốn vậy x 3
phải là Ư(5). 0,25 điểm
Các Ư(5) = { - 5; - 1; 1; 5}
Nếu x 3 = - 5 => x = - 2
Nếu x 3 = - 1 => x = 2 0,5 điểm
Nếu x 3 = 1 => x = 4
Nếu x 3 = 5 => x = 8
Các giá trị x đều thỏa mãn điều kiện x 3
Vậy x { - 2; 2; 4; 8} 0,25 điểm
Bài 2: ( 2 điểm)
Câu 1: ( 1 điểm)
Bình phơng hai vế của ta đợc:
Suy ra: = 4 (Vì a + b + c = abc) 0,25 điểm
Do đó: 0,25 điểm
Câu 2: ( 1 điểm)
Vì x + y + z = 1 nên
0,5 điểm

Vậy: 3 + 2 + 2 + 2= 9
0,5 điểm
Dấu = xảy ra khi x = y = z =
Bài 3: ( 3 điểm)
Câu 1: ( 1 điểm)
A có GTNN khi và chỉ khi:
có GTLN khi và chỉ khi (x 4)
2
+ 6 có GTNN
(x 4)

Suy ra AE = AF
AEF vuông cân ở A nên AI EF
IEG = IFK (g.c.g)
Suy ra IG = IK
Tứ giác EGFK có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đờng và vuông góc với
nhau nên là hình thoi.
b. ( 1 điểm)
Ta có: = = 45
0
chung
Vậy AKF đồng dạng CAF (g.g)
Suy ra: . Do đó AF
2
= KF . CF
c. (0,75 điểm)
Ta có EGFK là hình thoi (chứng minh câu a)
Nên KE = KF = KD + DF = KD + BE
Chu vi tam giác bằng
KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC không đổi.
B
E
C
A
G
I
K
D
F
x