ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2010-2011
MÔN TOÁN HỌC
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1 (2đ): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 4x
2
– 49 – 12xy + 9y
2
b) x
2
+ 7x + 10
Câu 2( 4đ ): Thu gọn các biểu thức sau:
a) S =
a b c
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
+ +
− − − − − −
(a, b, c khác nhau đôi một)
b) P =
x 2 x 1 x 2 x 1
x 2x 1 x 2x 1
+ − + − −
+ − − − −
(x ≥ 2)
Bài 3 ( 4đ): Giải phương trình
) 2 1 3 2a x x+ = −
b)
2x – 1 – 2 x – 1 1.= −
Bài 4 ( 6đ ): Tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF gặp nhau tại
H. Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt
nhau tại G.

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN HỌC 9
Gợi ý đáp án
Điểm
Bài 1
a) 4x
2
-49-12xy+9y
2
=(4x
2
-12xy+9y
2
)-49
=(2x-3y)
2
-7
2
=(2x-3y+7)(2x-3y-7)
b) x
2
+7x+10 =x
2
+5x+2x+10
=x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2)
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
Câu 2:
a) S =

+ − − − −
=
2 2
2 x 1 1 x 1 1
( 2x 1 1) ( 2x 1 1)
 
− + + − −
 
− + − − −
=
2 x 1 1 x 1 1
2x 1 1 2x 1 1
 
− + + − −
 
− + − − −
=
2 x 1 1 x 1 1
2x 1 1 ( 2x 1 1)
 
− + + − −
 
− + − − −
(vì x ≥ 2 nên
x 1 1− ≥
và
2x 1−
≥ 1)
=
2 x 1−

2
Gợi ý đáp án
Điểm
Bài 3b) Phương trình có thể viết lại:
2x 1 1 2 x 1 đk :x 1− + = − ≥
. Bình phương
2 vế , thu gọn được:
2x 1 x 2− = −
. Điều kiện x ≥ 2, bình phương 2 vế phương trình được 2x – 1 =
x
2
– 4x + 4
hay x
2
– 6x + 5 = 0 ⇔ x = 1(loại) hoặc x = 5 (thỏa). Vậy phương trình có 1
nghiệm x = 5.
(2đ)
Bài 4a) Ta có BG ⊥AB, CH ⊥AB, nên BG//CH,
tương tự: BH ⊥AC, CG ⊥AC, nên BH//CG.tứ giác
BGCH có các cặp cạnh đối sơng song nên nó là
hình bình hành. Do đó hai đường chéo GH và BC
cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vậy GH đi
qua trung điểm M của BC.
(2đ)
4b) Do BE và CF là các đường cao của tam giác ABC nên các tam giác ABE và
ACF vng. Hai tam giác vng ABE và ACF có chung góc A nên chúng đồng
dạng. Từ đây suy ra
(1)
AB AE AB AF
AC AF AE AC

(1đ)
Bài 5
m
2
+ n
2
+ p
2
+ q
2
+1≥ m(n+p+q+1)  m
2
+ n
2
+ p
2
+ q
2
+1- m(n+p+q+1)
≥0
       
⇔ − + + − + + − + + − + ≥
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
2 2 2 2
m m m m
2 2 2
mn n mp p mq q m 1 0
4 4 4 4

− =



− =



− =

m
n 0
2
m
p 0
2
m
q 0
2
m
1 0
2
⇔

=



=


Do đó: a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
= (b – k)
2
+ b
2
+ c
2
+ (c + k)
2

= 2b
2
+ 2c
2
+ 2k
2
– 2bk + 2ck
= b
2
+ 2bc + c
2
+ b
2