PHÒNG GD&ĐT BÙ ĐỐP
ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2008 - 2009
MÔN: TOÁN 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1 (3điểm): Giải các phương trình sau:
a)
2
6 9 3 2x x x− + − =
b)
8 5 5x x+ + − =
c)
2
2 2 4 2x x x− + + + − =
Bài 2 (4điểm): Cho phương trình: (m + 3)x
2

−
2(m
2
+ 3m)x + m
3
+ 12 = 0 (1) trong đó m là tham số.
a)Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b)Kí hiệu x
1
, x
2
là hai nghiệm của (1). Tìm số nguyên lớn nhất sao cho x
1
2

Bài 1: Giải các phương trình sau: 3 điểm
a)
2
6 9 3 2x x x− + − =
2
3
3 2 3
3 2 3
3 2 3
x
x x
x x
x x

≥−


⇔ − = + ⇔

− = +




− =− −


0,5điểm

0,5điểm

2 2 4 2x x x− + + + − =
Điều kiện:
2 2x− ≤ ≤
Đặt
2 2t x x= − + +
2
2
4
4 ( 0)
2
t
x t
−
⇒ − = ≥
0,5điểm
Phương trình đã cho có dạng: t
2
+ 2t
−
8 = 0
⇒
t =
−
4 (loại) hay t = 2
Với t = 2 ta có
2
4 0 2x x− = ⇔ =±
Thử lại ta thấy
2x=±
là hai nghiệm của phương trình

∆ >

0,5điểm
2 2 3
3
( 3 ) ( 3)( 12) 0
m
m m m m
≠ −

⇔

+ − + + >

2
3
5 1
2 4
1
4
x
x x
x

≥−



⇔ =− ⇔ =


2
2
3
3 0
2
3 12 0
2
2 3
3
3 0
2
3 12 0
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
 > −
 + >









0,5điểm
Vậy số nguyên nhỏ nhất thoả mãn là m=3 0,5điểm
b)Theo định lý Viet ta có:
3
1 2 1 2
m 12
x + x = 2m; x x =
m 3
+
+
0,5điểm
(Điều kiện
2m≥
hoặc
2 3m− ≥ ≥−
)
3
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2( 12)
( ) 2 4
3
m
x x x x x x m
m
+
+ = + − = −
+

Mà
2
2 3
m
m
≥


− ≥ ≥−

nên m lớn nhất thoả mãn các điều kiện này là m = 27 0,5điểm
(m + 3 = 30
⇔
m = 27)
Bài 3 (3điểm): Chứng minh rằng
3
( 17 ) 6n n+ M
với mọi số tự nhiên n
Ta có: n
3
+ 17n = n
3

−
n + 18n = (n
−
1)n(n + 1) + 18n 1điểm
Có: n và (n + 1) là hai số tự nhiên liên tiếp nên
( 1) 2n n + M
n

9 9
2
x x x x x⇔ = − ⇔ = − ⇔ =±
1điểm
Vậy Giá trị lớn nhất của B là
9
2
khi
3 2
2
x=±
1điểm
Bài 5 (3điểm): Cho tam giác ABC vuông ở A, có
BC 2=
, đường cao
2
AH
2
=
. Chứng minh ABC là tam
giác vuông cân.
Vẽ Trung tuyến AM. Ta có:
Vì
AH BC⊥
nên
AM AH≥
, Dấu “=” xảy ra
⇔ M H≡
1điểm
Ta có:

0
C (O) ACB 90∈ ⇒ =
hay
AC BD⊥
Mà CD = CB
⇒

Δ
ADB có AC vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên
Δ
ADB cân tại A
⇒
AD = AB = 2R. 1điểm
Vì vậy D chạy trên đường tròn (A; 2R) 1điểm