Phòng GD-ĐT Vĩnh Linh kỳ thi chọn học sinh giỏi toán 9 (đề số 4)
năm học : 2008 - 2009
Môn : Toán
(Thời gian làm bài: 150 phút: Vòng 2)
Bài 1: (4 điểm)
Cho biểu thức:
3 2( 3) 3
2 3 1 3
x x x x
P
x x x x
+
= +
+
1. Rút gọn biểu thức P
2. Tính giá trị của biểu thức P với
14 6 5x =
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 2: (3 điểm) Cho đa thức
5 3
5 4A x x x= +
1. Phân tích đa thức A thành nhân tử.
2. Chứng minh với mọi x nguyên và không chia hết cho 3 thì A luôn chia hết cho 360
Bài 3: (3 điểm)
Tính giá trị của biểu thức

2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 ... 1
1 2 2 3 3 4 2008 2009
C

Cho tam giác ABC vuông tại A. D là điểm nằm giữa hai điểm B và C. E và F lần lợt là hình
chiếu của D lên AB và AC. Hãy xác định vị trí của D để tứ giác ADEF có diện tích lớn nhất.
.................... Hết ..................
1
Hớng dẫn chấm: đề số 4
Bài
Đáp án và hớng dẫn chấm điểm
Bài 1
(4điểm)
Câu 1: (2,0 điểm)
ĐK:
0; 9x x
3 2( 3) 3
( 1)( 3) 1 3
x x x x
P
x x x x
+
=
+ +

2
3 2( 3) ( 3)( 1)
( 3)( 1)
x x x x x
x x
+ +
=
+


=
1.0
Câu 3: (1 điểm)
Ta có:
8 1 9 9 9
1 1 2 2 9 2 4
1 1 1 1
x x
P x x
x x x x
+ +
= = = + = + + =
+ + + +
Vậy
min
4P =
khi x = 4
1.0
Bài 2
Câu 1: (1,5 điểm):
Ta có:
5 3 4 2 2 2
5 4 ( 5 4) ( 1)( 4)A x x x x x x x x x= + = + =

( 1)( 1)( 2)( 2)x x x x x= + +
1,5
Câu 2: (1,5 điểm)
Ta có: 360 = 5.8.9; mà (5; 8; 9)=1; x nguyên
Do đó A = x( x-1)(x+1)(x-2)(x+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp
Vì x không chia hết cho 3 nên phải luôn tồn tại 2 thừa số chia hết cho 3;

1 1
( 1) 1k k k k

+ + = + + =
ữ ữ
+ +


2 2
2
1 1 1 1 1 1
1 2 1. 2 2 1
1 1 1k k k k k k

= + + +
ữ ữ ữ ữ ữ ữ
+ + +

1.0
2
V× :
1 1 1 1 1 1
2 1. 2 . 2 1 2. 0
1 1 ( 1)
k k
k k k k k k
 
+ − −
     
− − = =

= + − + + − + + − + + + −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4036080
2008 ... 2009
1 2 2 3 3 4 4 2008 2009 2009 2009
= + − + − + − + − + − = − =
0,5
0,5
1.0
Bµi 4:
(3,5 ®iÓm)
C©u1: (2,0 ®iÓm)
§K:
2008; 2009; 2x b c≥ − ≥ ≥
C¸ch 1:Ta cã:
1
2008 2009 2 ( )
2
a b c a b c+ + − + − = + +
2 2008 2 2009 2 2a b c a b c⇔ + + − + − = + +
( 2008) 2 2008 1 ( 2009) 2 2009 1 ( 2) 2 2 1 0a a b b c c
     
⇔ + − + + + − − − + + − − − + =
     
⇔
2 2 2
( 2008 1) ( 2009 1) ( 2 1) 0a b c+ − + − − + − − =
2007
2010

2
2
c
c
−
− ≤
⇔
2008 2009 2
2
a b c
a b c
+ +
+ + − + − ≤
DÊu “=” s¶y ra khi:
1 2008 2007a a= + ⇔ = −1 2009 2010b b= − ⇔ =

1 2 3c c= − ⇔ =
C©u 2: ( 1,5 ®iÓm)
Ta cã:
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
1 ( ) ( )
2 2 2 2
y z
x y z x y z y z
− −
+ + = ⇔ = − + − = +
0,5

xyz xyz


( 2)( 2)( 2) 1x y z
(đpcm)
0,5
0,5
Bài 5:
(2điểm)
Câu a: (1,5 điểm)

Ta có: OA = OM = R
MOA
cân tại O

ã
ã
OMA OAM=
(1)
Tơng tự: IA = IN =
2
R

IAN
cân tại I
ã
ã

= =
+ +
Mà AB//PN ( gt)
2 3 3
3 2 2
AB AM
NP AB R
NP MN
= = = =
Vậy độ dài PN không đổi.
Câu 3: (1,5 điểm)
Từ A kẻ
AH PN

kéo dài tại H.
1 1 3 5
( ). ( ). .
2 2 2 4
ABPN
S AB PN AH R AH R AH
R
= + = + =
Vì R không đổi nên
ABPN
S
lớn nhất khi và chỉ khi AH lớn nhất.
Do
AH AN

nên AH lớn nhất lkhi AH = AN.

0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
4
H
B
P
N
M
A
I
O
ABPN
S
đạt giá trị lớn nhất =
2
5 3 5 3
.
4 2 8
R R
R =
(đơn vị diên tích)
Khi M thuộc cung lớn AB và
AM AB
0,25
Bài 6
(1,5 đ)
Ta có AEDF là hình chữ nhật nên

1
2 . . 2 . 2
2
ABC AEDF AEDF ABC
S AE AF AE A AE AF S S S = =
Dấu = sảy ra khi và chỉ khi: AE = BE; AF = CF
DB DC =
do đó D là trung
điểm của BC.
Vậy khi D là trung điểm của BC thì
AEDF
S
đạt giá trị lớn nhất =
1
2
ABC
S
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
5
E
F
D
C
B
A

1
) và (x
2
; y
2
) là hai nghiệm của hệ phơng trình trên. Hãy tìm giá trị của biểu thức.
M = (x
1
- x
2
)
2
+ (y
1
-y
2
)
2
.
Bài 2: (3 điểm)
Từ điểm A nằm ngoài đờng tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (B,C là các tiếp điểm).
Gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC của đờng tròn (O) (M khác B và C). Tiếp tuyến tại M cắt AB
và AC tại E, F, đờng thẳng BC cắt OE và OF ở P và Q. Chứng minh rằng tỷ số
EF
PQ
không đổi khi M
di chuyển trên cung nhỏ BC.
Bài 3: (3 điểm) Tìm các số x, y, z nguyên dơng thoả mãn đẳng thức.
2(y+z) = x (yz-1)
Bài 4: (5 điểm)