Tuyển chọn 30 đề bồi dỡng học sinh giỏi Toán THPT
Đề số 1
Câu 1. a) Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn điều kiện
2 2
a b 1+ =
và c d =3
Chứng minh rằng
9 6 2
ac bd cd
4
+
+
b) Tam giác ABC có các góc và các cạnh thỏa mãn hệ thức:
A B C
(b c) cos A (c a)cosB (a b)cosC 2asin 2bsin 2csin
2 2 2
+ + + + + = + +
Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
Câu 2. a) Giải phơng trình:
( ) ( )
cos x sin x
log sin x log cos x
1 cos x 1 sin x+ = +
b) Tìm a để hệ phơng trình
2
ax 2cos y 2 0
1 1
x y
x y

+ =


= + =

([a] là kí hiệu số nguyên lớn nhất không vợt quá a)
Tìm
n
x
lima

?
Câu 4. Cho hai đờng tròn có phơng trình
2 2
1
2 2
2
(O ) :x y 2x 4y 1 0
(O ) : x y 18x 20y 81 0
+ + =
+ + =
Cắt nhau theo hai giao điểm A và B. Một đờng thẳng bất kì qua B, cắt (O
1
)
tại M và cắt (O
2
) tại N (B ở giữa M và N).
Xác định phơng trình đờng thẳng sao cho đờng tròn ngoại tiếp AMN có
bán kính lớn nhất.


?
Câu 2. a) Giải phơng trình
x 3 3
5 4 x x 41 0+ + =
b) Cho ABC thỏa mãn
A B C
2tg 3tg tg
2 2 2
+ =
Chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
3 3 cosA 3 1 cosB 1 3 3 3 cosC + = + + +
.
Câu 3. Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn điều kiện:
[ ]
1
P(x) P(1) P(x 1) P(x 1) , x
2
+ = + +
Câu 4. a) Cho elíp (E):
2 2
2 2
x y
1, (a b 0)
a b
+ = > >
với hai tiêu điểm F
1
và F

1 n 1 n n
u 0;u 24u 1 5u , n 1,2...
+
= = + + =
Chứng minh mọi số hạng của dãy đã cho là số nguyên.
Ths. Nguyễn Bá Thủy Trờng THPT Bắc Yên Thành Nghệ An
2
Tuyển chọn 30 đề bồi dỡng học sinh giỏi Toán THPT
Câu 2. a) Cho phơng trình
( ) ( )
3 2
2 2 3 2 2
2
x 2x 9x m 1
lg (x 1) lg x 2x 9x m 1 .lg x 1 2lg
x 1

+ +
+ + + + =
ữ
+

Xác định m để phơng trình có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
b) Xác định dạng của tam giác ABC biết các góc của nó đều nhọn và thoả mãn
điều kiện:
2 2 2
A B
tg A tg B 2tg
2
+

Câu 1. y là hàm số của x, xác định bởi hệ thức
y x 1 (y 2)(y 2x 2)= + +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại những điểm có tọa độ
nguyên.
Câu 2. Giải hệ bất phơng trình:
2 3 3
4 3 2
log x log x 1 log 2
3x 8x 24x 96x 36 80 2 0
+ < +



+ + + <


Ths. Nguyễn Bá Thủy Trờng THPT Bắc Yên Thành Nghệ An
3
Tuyển chọn 30 đề bồi dỡng học sinh giỏi Toán THPT
Câu 3. Tìm m để tồn tại cặp sô (x; y) không đồng thời bằng không và thỏa mãn ph-
ơng trình:
( ) ( ) ( )
2 2
4m 3 x 3m 4 y m 1 x y 0
+ + =
Câu 4. Cho một hình cầu tâm O, bán kính R. Chứng minh rằng nếu lấy 1000 điểm
khác nhau trong hình cầu đó thì ít nhất có 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn
2R
9

=


Ă
Ă
a) Chứng minh rằng hàm số f(x) có đạo hàm trên
Ă
.
b) Tìm hàm số f(x).
Câu 2. a) Cho x, y, z>0 thỏa mãn
2 2 2
x y z 1+ + = . Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
x y z 3 3
y z z x x y 2
+ +
+ + +
b) Giải phơng trình
x x 2
4 9 10x x 2+ = + +
Câu 3. a) Chứng minh rằng a, b
Ă
, phơng trình
( ) ( )
2 2
3
x a y b x 0+ + + =
không thể có 3 nghiệm phân biệt.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì
a b a a b

. A và B là các điểm thuộc (E) sao cho OAOB (A,
B di động) và cho biết
2 2
2 2 2 2
1 1 a b
OA OB a b
+
+ =
. Trong tất cả các hình thoi
ABCD nội tiếp elíp (E), tìm hình thoi có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất (hình
thoi có tâm O).
Đề số 6.
Câu 1. Cho hàm số:
( )
4 3 2
y 3x 4x cos sin 3x sin 2= +
( là tham số,
0
2


)
Tìm để trên đoạn [sin; cos] hàm số có cực tiểu và giá trị cực tiểu cũng
là GTNN của hàm số trên [sin; cos].
Câu 2. a) Giải phơng trình:
( ) ( )
2
2 7 2 7
x
log x x log x 3 log x. 2log x 3

Tuyển chọn 30 đề bồi dỡng học sinh giỏi Toán THPT
a) Cho elíp
2 2
x y
1
9 4
+ =
. Gọi A
1
, A
2
là các đỉnh trên trục lớn, M là điểm di
động trên elíp. Chứng minh rằng trực tâm H của MA
1
A
2
luôn nằm trên
một elíp cố định.
b) Cho ABC có A(1; 0), B(2; 0), C(0; 3). Tìm điểm M nằm trong tam giác
để biểu thức MA.BC+MB.CA+MC.AB có giá trị nhỏ nhất.
Đề số 7.
Câu 1. a) Giải phơng trình
( )
3
sin x sin x 1 cos x cos x+ = +
b) Cho là tham số thực. Hãy tìm nghiệm của hệ phơng trình sau:
( )
4
1
1

256q r 27p
.
Câu 3. a) Cho phơng trình
2 3 2005 2 3 2005
x x x x x x 1
1 x ... 1 x ...
2! 3! 2005! 2! 3! 2005! 2005

+ + + + + + + =
ữ ữ

Chứng minh rằng phơng trình trên có và chỉ có 2 nghiệm trái dấu.
b) Mỗi điểm trong mặt phẳng đợc gắn với một trong hai màu xanh, trắng.
Chứng minh rằng trong mặt phẳng đó tồn tại một tam giác đều cạnh bằng 1
hoặc bằng
3
mà 3 đỉnh của nó cùng một màu.
Ths. Nguyễn Bá Thủy Trờng THPT Bắc Yên Thành Nghệ An
6
Tuyển chọn 30 đề bồi dỡng học sinh giỏi Toán THPT
Câu 4. a) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ABC có A(2; 5), trọng tâm
2 1
G ;
3 3


ữ

,
đờng phân giác trong góc C có phơng trình

a b c 3abc 1+ +
.
Câu 2. a) Tìm m để phơng trình sau có đúng 2 nghiệm:
( )
2
2
3m x 4x 3
m 2
2 2
2
1
9 .log x 4x 3 1 3 .log 0
1 3m 2m
+

+ + + =
ữ
+

b) Cho biểu thức
2 2 2 2
P x (y 1) x (y 3)
= + + + +
trong đó x, y thỏa mãn 2x y 2 = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Câu 3. a) Cho ABC cân (AB = AC). Giả sử phân giác trong góc B cắt cạnh AC tại
D và BC = BD + AD. Tính góc
ã
BAC
?

Câu 2. a) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
x y
4 4 32y 32x 48+ = +
(với x < y).
b) Tìm m để phơng trình sau đây có nghiệm:
2 2
x x 1 x x 1 m+ + + =
Câu 3. Trong mặt phẳg kẻ ô vuông đơn vị. Hãy tìm đờng tròn có bán kính lớn nhất
chỉ đi qua các đỉnh ô vuông mà không cắt một cạnh hình vuông nào cả.
Câu 4. a) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của
SC. Mặt phẳng () qua AK cắt SB, SD lần lợt tại M và N. Đặt V
1
là thể tích
của hình chóp S.AMKN và V là thể tích hình chóp S.ABCD. Xác định vị trí
của mặt phẳng () để tỉ số
1
V
V
đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
b) Trong mặt phẳg tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đờng thẳng d có phơng
trình 4x + 3y = 12. Ma là điểm thay đổi trên đờng thẳng d. Trên nửa đờng
thẳng đi qua 2 điểm A và M lấy điểm N sao cho
AM.AN 4=
uuuur uuur
. Điểm N chạy
trên đờng cong nào? Viết phơng trình đờng cong đó?
Đề số 10.
Câu 1. Cho hàm số
2
f (x) ax bx c; a, b,c= + + Â . Chứng minh rằng tồn tại số