ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập
A. lý do chọn đề tài
Đại số là một phần không thể thiếu trong chơng trình toán học THCS. Một
trong những kiến thức quan trọng của Đại số 9 là phơng trình bậc hai. Với nội
dung này, học sinh đã giải đợc phơng trình nhờ vào công thức nghiệm hay vận
dụng định lý Viet vào tính nhẩm nghiệm của phơng trình.
Tuy nhiên với định lý Viet, ứng dụng của nó không chỉ đơn thuần là tìm
tổng và tích của hai nghiệm hay là tính nhẩm nghiệm của phơng trình. Qua việc
dạy toán 9 chúng tôi nhận thấy các em vận dụng định lý Viet vào giải toán cha
thật linh hoạt, cha biết khai thác và vận dụng đợc nhiều nội dung của định lý vào
các dạng bài toán; trong khi đó định lý Viet có tính ứng dụng rất rộng rãi trong
việc giải toán đại số.
Qua những năm giảng dạy và tìm hiểu chơng trình đại số 9, chúng tôi nhận
thấy đợc định lý Viet có vai trò quan trọng và ứng dụng nhiều trong việc giải các
bài tập, đặc biệt là phơng trình bậc hai có chứa tham số. Nó có ý nghĩa quan trọng
không những giúp cho học sinh có đợc phơng pháp giải phơng trình bậc hai, tính
nhẩm nghiệm của phơng trình, tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng mà còn
là công cụ quan trọng trong việc giải các bài toán phức tạp thờng hay gặp trong
các sách tham khảo, tài liệu nâng cao hay trong các đề thi vào lớp 10, thi chọn
học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh. Đồng thời đó cũng là kiến thức đợc sử dụng
rộng rãi trong chơng trình toán học THPT.
Trớc vấn đề đó, chúng tôi đã mạnh dạn đi sâu vào nghiên cứu về những
ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập. Với đề tài này chúng tôi mong
muốn giúp cho học sinh nắm vững và sử dụng thành thạo định lý Viét vào giải bài
tập, đồng thời làm tăng khả năng học toán và kích thích hứng thú học tập của học
sinh.

1
ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập
Xin đợc giới thiệu với các thầy cô và các bạn đồng nghiệp một số ứng
dụng của định lý Viet vào giải bài tập mà chúng tôi đã đa vào áp dụng trong các

=
a
c
* Hệ quả:
a) Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) có a + b + c = 0 thì phơng trình
có một nghiệm là x
1
= 1 còn nghiệm kia là x
2
=
a
c
b) Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) có a - b + c = 0 thì phơng trình
có một nghiệm là x
1
= - 1 còn nghiệm kia là x
2
= -
a
c
* Nếu có hai số u và v thoả mãn điều kiện:


là hai nghiệm của phơng trình (1), giả sử x
1


x
2
, ta có:








==
=+=
a
c
xxP
a
b
xxS
21
21
.

3
ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập


b
S
=
a
b
x
x
=
=
2
1
0
0
2
1
=
=
x
a
b
x
21
0 xx
<<
0.
21
>
xx
21
xx

2(m + 1)x m + 3 = 0 (1)
Giải: Phơng trình có nghiệm
0)3()1(0'
2
+
mm
;
Ta có
m
=
3
a
c
Phơng trình (1) có hai nghiệm khác dấu

a
c
< 0

3 m < 0

m > 3
b. Dạng 2 : Tìm điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm khác dấu và nghiệm
âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dơng (
21
xx
>
)
Phơng pháp: Điều kiện:


<
<
>
0
0
a
b
a
c
0
( )



<
>






<+
<
>

-1m
3m
1m
0m

x
2
(m 2)x + m 3 = 0
Giải: Phơng trình có hai nghiệm đối nhau khi và chỉ khi:







<
=
<

=
<






=
<






d. Dạng 4 : Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu.
Phơng pháp: Điều kiện:





>

0
0
a
c

Ví dụ: Cho phơng trình (m 1)x
2
+ 2(m 1)x + m = 0 (2)
Với giá trị nào của m thì phơng trình (2) có hai nghiệm cùng dấu.
Giải: Phơng trình (2) có hai nghiệm cùng dấu








>



1m
1-m
m
1-mm1-m
01-m
0
0
2
Dạng 5 : Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) luôn có hai nghiệm cùng âm.

6
ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập
Phơng pháp: Phơng trình (1) luôn có hai nghiệm cùng âm











<
>


0
0















>
<
>


>=
<=+
>+=


1m
m
1m
1-mm
1-m1-m
1m

2
là hai nghiệm của phơng trình x
2
x 1 = 0.
Không giải phơng trình, hãy tính:
a) x
1
2
+ x
2
2
b) x
1
4
+ x
2
4
c) x
1
8
+ x
2
8
. . .
Giải:
Vì a và c trái dấu nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Theo định lý Viet ta có:




x
2
= 1 2.(-1) = 3
b) x
1
4
+ x
2
4
= (x
1
2
+ x
2
2
)
2
2.x
1
2
.x
2
2
= 3
2
- 2.(-1)
2
= 7
. . . . . . . . . . . .
Ví dụ 2: Tìm m để hai nghiệm của phơng trình x

)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 4.x
1
x
2

= 4(m + 1)
2
4.(2m + 3)
Suy ra
3
=
m
thoả mãn điều kiện 0.
Ví dụ 3: Cho phơng trình : (m 2)x
2
2(m + 2)x + 2(m 1) = 0.
Khi phơng trình có nghiệm, hãy tìm mối liên hệ giữa hai nghiệm không phụ
thuộc vào tham số m.
Giải:
Điều kiện để phơng trình có nghiệm là 0
(m + 2)
2

+=


==

+=

+
=+=
mm
m
xxP
mm
m
xxS
Suy ra S 4P = - 6 hay (x
1
+ x
2
) 4.x
1
x
2
+ 6 = 0
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tìm m để phơng trình x
2
mx + m
2
7 = 0 có hai nghiệm mà

1
- P
x
1
3
= x
1
x
1
2
= x
1
(Sx
1
- P) = Sx
1
2
- Px
1

= S.(Sx
1
P) Px
1
= (S
2
P)x
1
- SP
x

8
2
3
13
8832
21
4
2
5
1
2
4
21
2
1
5
1
2
2
1
3
2
4
1
++=
++=
+++=
xxxxC
xxxxxB
xxxxA

2
+ 5
x
5
1
= x
1
x
4
1
= x
1
(12x
1
+ 5) = 12x
2
1
+ 5x
1
= 12(2x
1
+ 1) + 5x
1
= 29x
1
+ 12
Ta có:
8832
2
2

3
13 xxxxxB
++=
=
2
2
21
2
11
2
1
8)12(
2
3
13512 xxxxxx
++++
=
144
2
3
169
2
2
21
2
1
+++
xxxx
=
)12(

1
3
2
1
==
S

1098
21
4
2
5
1
++=
xxxxC

10985121229
2121
++++=
xxxx

4972172121
21
=+=++=
Sxx
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho phơng trình x
2
2x + 3 m = 0
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: 2x

2
13
+
=
, x
2
=
31
1
+
Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là x
1
, x
2
Ta có: x
1

2
13
+
=
, x
2
=
( )( )
2
13
3131
31
31

+
=
+
31
1
+
2
13
2
13

+
+
=
=
3
Vậy phơng trình bậc hai cần lập là: x
2
-
3
.x +
2
1
= 0 hay 2x
2
- 2
3
.x + 1 = 0
Ví dụ 2: Cho phơng trình: x
2

1
xx
+
y
1
.y
2
=
4
2
4
1
xx .

10