Đề số 9
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1:
1) Tính các giới hạn sau:
a)
+ +
+
4
2
2 2
lim
1
n n
n
b)
→
−
−
3
2
8
lim
2
x
x
x
c)
+
→−


=

−

− =

. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 2.
Bài 2: Cho
y x
2
1= −
. Giải bất phương trình:
y y x
2
. 2 1
′
< −
.
Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a,
·
·
·
AOB AOC BOC
0 0
60 , 90= = =
.
a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.
b) Chứng minh OA vuông góc BC.
c) Gọi I, J là trung điểm OA và BC. Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung OA và BC.

n n
n n
n
n
4
3 4
2
2
2 2
1
2 2
lim lim 1
1
1
1
+ +
+ +
= =
+
+
b)
x x x
x x x x
x x
x x
3 2
2
2 2 2
8 ( 2)( 2 4)
lim lim lim( 2 4) 4

lim ( 1) 0
3 2
1 1 0 lim
1
lim (3 2) 1 0
+
+
+
→−
→−
→−

+ =

+

> − ⇒ + > ⇒ = −∞

+

+ = − <


2) Xét hàm số
y f x x x
3 2
( ) 3 2= = − +
⇒ f(x) liên tục trên R.
• f(–1) = –2, f(0) =2
⇒

x
a x khi x
2
2
2
( )
2
5 3 2

− −
≠

=

−

− =

Tìm A để hàm số liên tục tại x=2.
x x x
x x
f x x
x
2
2 2 2
2
lim ( ) lim lim( 1) 3
2
→ → →
− −

x x x
2
1
2 1 0 ; 1;
2
 
− − > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
 ÷
 
Bài 3:
a) CMR: ∆ABC vuông.
• OA = OB = OC = a,
·
·
AOB AOC
0
60= =
nên ∆AOB và ∆AOC
đều cạnh a (1)
• Có
·
BOC
0
90=
⇒ ∆BOC vuông tại O và
BC a 2=
(2)
• ∆ABC có
( )
AB AC a a a a BC

y x x
2
3 6
′
= −
Tiếp tuyến // với d:
y x9 2011= +
⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc k = 9
Gọi
x y
0 0
( ; )
là toạ độ của tiếp điểm ⇒
x
x x x x
x
2 2
0
0 0 0 0
0
1
3 6 9 2 3 0
3

= −
− = ⇔ − − = ⇔

=

• Với

x
3
1.2
( )
′′
= −
,
f x
x
4
4
6
( ) ( 1)
′′′
= −
. Dự đoán
n n
n
n
f
x
( ) 1
1
!
( 1)
+
+
= −
(*)
• Thật vậy, (*) đúng với n = 2.

= = − = −
 
⇒ (*) đúng với n = k + 1
Vậy
n n
n
n
f
x
( ) 1
1
!
( 1)
+
+
= −
.
===========================
3