Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải
Lời Mở đầu
Trong môn toán ở trờng THCS các bài toán về phơng trình ngày càng đợc quan
tâm và có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ đặc tính độc đáo của các phơng pháp giải chúng.
Phơng trình là một trong những mảng kiến thức cơ bản nhất của toán học bậc THCS vì
thông qua các bài tập về phơng trình học sinh có thể hiểu sâu sắc hơn về:
- Các phép biến đổi toán học cũng nh một số các tính chất về dấu giá trị tuyệt
đối, căn thức bậc hai, tính chất luỹ thừa, tính chia hết
Thông qua quá trình giải các dạng bài tập và các phơng pháp giải phơng trình
đặc chng, năng lực suy nghĩ độc lập, sáng tạo của học sinh đợc phát triển đa dạng,
mạnh mẽ. Đòi hỏi học sinh phải có lối suy nghĩ logic, liền mạch kết hợp giữa các kiến
thức cũ và mới một cách linh hoạt và sáng tạo.
Với sự nghiên cứu chọn lọc tôi đã phân loại phơng trình và đa ra một số phơng
pháp giải phơng trình phù hợp với trình độ kiến thức, khả năng t duy của học sinh
THCS mong muốn học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài toán giải phơng trình.
/>
1
Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải
A. Mục tiêu:
* Giúp học sinh:
- Nắm chắc các khái niệm phơng trình bậc nhất, phơng trình bậc hai, phơng
trình bậc cao, phơng trình vô tỷ, phơng trình nghiệm nguyên, các kiến thức cơ bản
cũng nh nâng cao mà ta thờng bắt gặp trong bài toán giải phơng trình.
- Nắm đợc các phơng pháp giải phơng trình, đặc biệt là một số phơng trình đặc
biệt.
- Rèn kỹ năng vận dụng giải bài tập có sử dụng bất đẳng thức (dùng bồi dỡng
học sinh giỏi)
/>
2
Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải
2
+ B
2
+ C
2
+ + = 0 35
Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức 36
Phân phối số tiết cho từng phần
Đề mục Số tiết
Phần I: Phơng trình bậc nhất 2
Phần II: Phơng trình bậc hai và phơng trình bậc cao 5
Phần III: Phơng trình vô tỉ 4
Phần IV: Phơng trình nghiệm nguyên 4
/>
3
Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải
Phần I
Phơng trình bậc nhất một ẩn
I. Khái niệm về phơng trình. Phơng trình bậc nhất một ẩn.
1. Ví dụ
Ví dụ 1: Giải phơng trình: a
2
x + b = a(x + b)
Giải:
a
2
x + b = a(x + b)
a
2
x + b = ax + ab
Kết luận: Nếu
1,0
aa
, phơng trình có nghiệm duy nhất
Nếu a = 0, phơng trình nghiệm đúng với mọi x
Nếu a =
1
, phơng trình vô nghiệm.
Bài tập vân dụng
Bài 1: Tìm giá trị của m sao cho phơng trình:
a) 5(m + 3x)(x + 1) 4(1 + 2x) = 80 có nghiệm x = 2.
b) 3(2x + m)(3x + 2) 2(3x + 1)
2
= 43 có nghiệm x = 1.
Bài 2: Giải các phơng trình sau:
a)
04
107
309
105
311
103
313
101
315
=+
+
1
=
x
2
1
=
x
Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải
b)
0
16
4
1
4
2
=
+
+
+
+
a
ax
a
ax
a
ax
+
+
a
xa
a
x
a
x
a
x
II. Phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức.
1. Ví dụ
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
116
68
14
2
41
3
2
+
+
=
xxxx
Giải: Điều kiện của nghiệm số, nếu có, là
5
3
;
5
1
xx
.
Với điều kiện đó, phơng trình tơng đơng với:
3(3 5x) + 2(5x 1) = 4
Giải phơng trình này, ta đợc x =
5
3
. Giái trị này không thảo mãn điều kiện. Vậy phơng
trình đã cho vô nghiệm.
Bài tập vận dụng
Bài 3: Giải các phơng trình sau:
a)
)1(
3
1
1
1
1
2422
++
=
x
c)
bxax
b
b
ba
bx
ba
ba
a
+
+
=
+
+
4222
d)
)10)((
10
10
111
++
=
+
+
+
++
=+
x
x
a
x
xax
.
III. Phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Khi giải các phơng trình mà ẩn nằm trong dấu giái trị tuyệt đối, để bỏ dấu giá trị
tuyệt đối ta xét từng khoảng giá trị của biến. Cần nhớ và năm vững lý thuyết sau:
1. Định nghĩa giá trị tuyệt đối:
{
A
A
A
=
2. Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b
)0(
a
:
Nhị thức cùng dấu với a khi x >
a
b
thì x +
a
b
< 0, do đó
a
bax
+
< 0, tức là ax + b trái dấu với a.
=> ĐPCM
Chú ý rằng
a
b
là nghiệm của nhị thức. Do vậy định lý trên đợc phát biểu nh sau:
Nhị thức ax + b
)0(
a
cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của
nhị thức, trái dấu với a với các trí trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức .
3. Ví dụ
Ví dụ 5: Giải phơng trình:
723
=++
xx
Giải: Lập bảng xét dấu ta đợc
x
-2 3
x
= x 3 và x + 2 > 0 =>
2
+
x
= x + 2, khi đó
phơng trình có dạng x 3 + x + 2 = 7 <=> x = 4, thuộc khoảng đang xét.
Vậy phơng trình có nghiệm x
1
= -3; x
2
= 4.
Ví dụ 6: Giải phơng trình:
594
=+
xx
Giải:
Cách 1: Lập bảng xét dấu
/>
6
Với A
0
Với A < 0
Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải
x
4 9
x
.
+ Nếu x > 9, thì x 4 > 0 =>
4
x
= x 4 và x - 9 > 0 =>
9
x
= x - 9, khi đó
phơng trình có dạng x 4 + x - 9 = 5 <=> x = 9, không thuộc khoảng đang xét.
Vậy phơng trình có nghiệm là
94
x
.
Cách 2: Viết phơng trình có dạng
594
=+
xx
.
Chu ý rằng 5 chính là tổng của x 4 và 9 x. Nh vậy tổng các giá trị tuyệt đối của
hai biểu thức bằng giá trị tuyệt đối của tổng hai biểu thức ấy, điều này chỉ xẩy ra khi (x
4)(9 x)
0.
Giải bất phơng trình này ta đợc
94
Để giải các phơng trình bậc cao dạng f(x) = 0, ta phân tích đa thức f(x) thành
nhân tử để đa về giải các phơng trình bậc nhất một ẩn.
1. Ví dụ
Ví dụ 7: Giải phơng trình:
(x 1)
3
+ x
3
+ (x + 1)
3
= (x + 2)
3
Giải:
Sau khi biến đổi phơng trình ta đợc.
x
3
3x
2
3x 4 = 0
<=> x
3
1 3x
2
-3x 3 = 0
<=> (x 1)(x
2
+ x + 1) -3(x
2
+ x + 1) = 0
<=> (x
2
7 = 9 <=> x =
4
+ Với y = -9 ta có x
2
7 = - 9 <=> x
2
= -2, vô nghiệm.
Vậy phơng trình có nghiệm là x =
4
* Chú ý:
Trong cách giải trên ta đã đặt ẩn phụ. Khi giải phơng trình bậc bốn dạng:
(x + a)
4
+ (x + b)
4
= c ta thờng đặt ẩn phụ y = x +
2
ba
+
. Khi giải phơng trình đối
xứng bậc chẵn, chẳng hạn ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ bx + a = 0 ta thờng đặt ẩn phụ y = x +
2
3x + 1 = 0.
* Nhận xét:
Hai phơng trình trên đều là những phơng trình đối xứng(Chú ý các hệ số có tính
đối xứng). Trong phơng trình đối xứng, nếu a là nghiệm thì
a
1
cũng là nghiệm.
Phơng trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một trong các nghiệm là x = -1. Ph-
ơng trình đối xứng bậc chẵn 2n đợc đa về phơng trình bậc n bằng cách đặt ẩn
phụ y = x +
x
1
.
Giải:
a) Biến đổi phơng trình thành
(x + 1)(x + 2)(2x + 1) = 0
Phơng trình có ba nghiệm: x
1
= -1; x
2
= -2; x
3
=
2
1
b) Cách 1: Đa phơng trinh về dạng (x 1)
2
(x
2
3y + 2 = 0 nên y
1
= 1; y
2
= 2.
Với y = 1, ta có x
2
x + 1 = 0, vô nghiệm
/>
8
Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải
Với y = 2 ta có x
2
2x + 1 = 0, nên x = 1.
Vậy phơng trình có nghiệm x = 1.
Ví dụ 11: Giải phơng trình:
x
4
+ x
3
+ x
2
+ x + 1 = 0
Giải: Ta thấy x 1
0 vì x = 1 không nghiệm đúng phơng trình.
Nhân hai về của phơng trình với x 1
0 ta đợc x
+ x)
2
+ 4(x
2
+ x) = 12
b) x(x 1)(x + 1)(x + 2) = 24
c) (x 7)(x 5)(x 4)(x 2) = 72
d) (x 1)(x 3)(x + 5)(x + 7) = 297
e) (6x + 7)
2
(3x + 4)(x + 1) = 6
Bài 8: Giải các phơng trình sau:
a) (x
2
4)
2
= 8x + 1
b) (x
2
4x)
2
+ 2(x 2)
2
= 43
c) (x 2)
4
+ (x 6)
4
= 82
d) x
sâu, tôi xin tập chung sâu ở các phơng trình có liên quan tới bậc hai trở lên (phơng
trình bậc cao) cùng với một số phơng pháp giải.
A/ Lý thuyết:
1/ Công thức nghiệm:
Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a
0
) (1)
Ta có
= b
2
4ac (
'
= b
2
ac)
(1) vô nghiệm <=>
< 0 (
'
< 0)
/>
9
Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải
(1) có nghiệm kép <=>
=
a
b
2
+
( x
1
=
a
b '
+
) ; x
2
=
a
b
2
( x
2
=
a
b '
)
(1) có nghiệm <=>
0 (
'
0
).
- Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm x
1
= 1; x
2
=
a
c
- Nếu a b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm x
1
= -1; x
2
=
a
c
4/ Hệ thức Vi ét đảo:
Nếu hai số x, y thoả mãn x + y = S và x.y = P thì hai số x, y là nghiệm của phơng trình:
X
2
SX + P = 0.
( áp dụng: để tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng và dùng để lập phơng trình
bậc hai khi khi biết trớc hai nghiệm )
5/ Chú ý (Điều kiện cần và đủ ):
Để PT (1) có hai nghiệm trái dấu <=> a.c < 0
Để PT (1) có hai nghiệm cùng dấu <=>
{
0
2
+ mx 5 = 0.
a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm là 1.Tìm nghiệm còn lại.
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm là -1.Tìm nghiệm còn lại.
Bài 2: Cho phơng trình: x
2
+ 2(m - 1)x 2m +5 = 0.
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn:
-
1
2
2
1
x
x
x
x
+
= 2.
/>
10
Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải
- x
1
+ x
2
+ 2x
1
x
x
2
= 10.
Bài 4: Cho phơng trình: x
2
8x + m + 5 = 0.
a) Giải phơng trình với m = 2.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dơng.
c) Tìm m để phơng trình có một nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia. Tìm các
nghiệm trong trờng hợp này.
Bài 5: Cho phơng trình: x
2
2(m + 1)x + 2m = 0.
a) Chứng tỏ rằng(CTR) phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình. CTR: A = x
1
+ x
2
x
1
x
2
không phụ
thuộc vào m.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
+ x
2
3
Bài 7: Cho phơng trình: x
2
+ 2x + 2m + 5 = 0.
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép? Hai nghiệm phân biệt?
b) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Tính A = x
1
2
+ x
2
2
theo m.
c) Tìm m để A = 10.
d) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm là y
1
=
2
1
x
, y
2
=
, x
2
thoả mãn:
3
10
1
2
2
1
=+
x
x
x
x
Bài 10: Cho phơng trình: 3x
2
4x + m 1 = 0.
a) Giải phơng trình với m = 6.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu? Trái dấu?
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn x
1
= 3x
2
.
Bài 1 1 :
Cho phơng trình: x
2
4x + m = 0.
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm.
2
2
= 8.
d) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm gấp đôi các nghiệm của phơng trình
(1).
Bài 13 :
Cho phơng trình: x
2
2(a 1)x + 2a - 5 = 0.
a) CMR: Phơng trình luôn có nghiệm với mọi a.
b)Tìm a để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: x
2
< 1 < x
1
Bài 1 4:
Cho phơng trình: x
2
+ (m +1)x + m - 1 = 0.
a) CMR: Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để A = x
1
2
x
2
+ x
1
x
2
2
4x
2.
2) Ph ơng pháp giải:
- Nếu a, b, c là các số thực đồng thời khác 0 và n = 2 thì (1) là phơng trình trùng
phơng ma ta đã biết cách giải.
- Nếu trờng hợp n > 2. Đặt x
n
= y, phơng trình (1) đa đợc về dạng
{
yx
cbyay
n
=
=++
0
2
3) Ví dụ
Ví dụ 1: Giải phơng trrình x
6
+ 9x
3
8 = 0.
Giải:
Cách 1: Đặt x
3
= y, ta có phơng trình y
2
9y + 8 = 0. Phơng trình này có nghiệm y
1
=
<=> (x
3
- 1) (8 - x
3
) = 0
Từ đó ta cũng tìm đợc x = 1 hoặc x = 2
Bài tập vận dụng
Bài 16: Giải các phơng trình sau:
a) x
6
7x
3
+ 6 = 0
b) x
8
+ x
4
+ 2 = 0
c) x
8
17x
4
+ 16 = 0
d) x
12
10x
6
+ 24 = 0
e) x
10
; a
n 1
= a
1
, , a
n 2
= a
2
Tuỳ theo n là số chẵn hay số lẻ mà ta có ph ơng
trình đối xứng bậc chẵn hay bậc lẻ.
2)Ví dụ
Ví dụ 2: Giải phơng trình: 2x
4
+ 3x
3
16x
2
+ 3x + 2 = 0. (1)
Nhận xét:
Đây là phơng trình đối xứng bậc chẵn dạng:
ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ bx + a = 0
Phơng trình này không có nghiêm x = 0, chia cảc hai về của phơng trình cho
x
2
Trở lại ví dụ 2 tacó cách giải sau:
Chia hai vế của phơng trình cho x
2
, rồi nhóm lại ta có:
2(x
2
+
2
1
x
) + 3(x +
x
1
) -16 = 0. Đặt t = x +
x
1
=> x
2
+
2
1
x
= t
2
2, ta đợc phơng
trình: 2t
2
+ 3t 20 = 0. Phơng trình này có nghiệm t = -4 và t =
2
5
5x
2
+ 3x + 2 = 0 (2)
/>
13
Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải
Nhận xét:
Đây là phơng trình đối xứng bậc lẻ(bậc 5), có dạng:
ax
5
+ bx
4
+ cx
3
+ cx
2
+ bx + a = 0.
Phơng trình này có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên phơng trình
có nghiệm x = -1.
Hạ bậc của phơng trình theo lợc đồ Hoóc ne
a b c c b a
-1 a b - a a b
c
b - a a 0
Ta đợc phơng trình: (x + 1)[ax
4
+ (b a)x
3
+ (a b c)x
2
1
= x
3
= 1, x
2
= - 0,5 và x
4
= - 2.
Qua hai ví dụ trên ta thấy rằng:
- Nếu hạ bậc của một phơng trình đối xứng bậc lẻ, ta lại đợc một phơng trình đối xứng.
- Các nghiệm của một phơng trình đối xứng đôi một nghịch đảo của nhau. Nh vậy nếu
a là một nghiệm của phơng trình đối xứng thì
a
1
cũng là nghiệm của phơng trình. Vì
lẽ đó các phơng trình đối xứng (bậc chẵn hay bậc lẻ) còn đợc gọi là phơng trình thuận
nghịch (bậc chẵn hoặc bậc lẻ).
Bài tập vận dụng
Bài 17: Giải các phơng trình sau:
a) x
4
+ 5x
3
12x
2
+ 5x + 1 = 0.
b) 6x
4
+ 5x
3
2
- 2x + 1 = 0.
VI/ Một số cách giải các phơng trình bậc cao
ở chơng trình toán sau này chúng ta sẽ có dịp là quen với phép giải tổng quát
phơng trình bậc cao. ở đây chúng ta nghiên cứu một số cách giải khác để giải phơng
trình bậc cao.
1. Phơng pháp đặt ẩn phụ.
/>
14
Copyright: Tài liệu đại học ©