Nguyễn Đức Nghị Trường THCS Lương Phú – Phú bình Thái Nguyên
* Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng
minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng
thức Bu-nhi-a-cốp-ski
. Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện
theo dõi, tôi sẽ liệt kê các bất đẳng thức vào dưới đây.
1.
abba 2
22
≥+
(a,b>0). (BĐT Cô-si)
2.
( )
abba 4
2
≥+
3.
( )
( )
2
22
2 baba
+≥+
4.
0,;2
>≥+
ba
a
b
b
a

≥+
2
22
9.
( )
zyx
cba
z
c
y
b
x
a
++
++
≥++
2
222
Ví dụ 9:Chứng minh
cba
b
ca
a
bc
c
ab
++≥++
(Với a,b,c > 0)
Giải:2A - 2B =
cba

222
b
a
a
b
c
a
c
c
a
b
b
c
c
b
a

Áp dụng bất đẳng thức
0,;2
>≥+
ba
a
b
b
a
.Ta có:2A - 2B
( ) ( ) ( )
0222222
≥−+−+−≥
cba

yx
xy
++
≥








+
+=
+
+=
+
+
( )
8
8
2
=
+
=
yx
.Đẳng thức xảy ra khi
2
1
==

b
a
.2.2
2
2
2
2
=≥+
;
a
b
a
c
c
b
a
c
c
b
.2..2
2
2
2
2
=≥+
;
b
c
b
a

a
a
c
c
b
b
a
++≥++⇒






++≥








++
2
2
2
2
2
2

+
++
>
+
+
+
+
+
3111111
Ví dụ 13: Chứng minh:
4
11
...
4
1
3
1
2
1
3333
<++++=
n
A
.Với n là số tự nhiên và
2
≥
n
Giải:
( )
( ) ( )

=
+
−
−
kkkkkk
nn
kkkk
Suy ra:
( )
( ) ( )
11
1
1
111
233
+−
=
−
=
−
<
kkk
kkkkk
=
( ) ( )






1
3.2
1
2.1
1
2
1
nnnn
( )
4
1
1
1
2
1
2
1
<






+
−=
nn
==========o0o==========
Bài tập áp dụng:
38. Chứng minh:B =

+
++
+
++
=

(a,b,c,d >0) .Chứng minh rằng :
21
<<
C
40. Chứng minh
2
3
1
1
1
1
1
1
≥
+
+
+
+
+
=
xzyzxy
P
. Trong đó x , y , z là 3 số dương và
3

1
...
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
−






++
+
+






+++







+++






+++






+++<
2
2
1
2
1
2
1
2
1
.

+++
>

cbad
cd
badc
bc
adcb
ab
dcba
da
C
+++
+
+
+++
+
+
+++
+
+
+++
+
<
49. Áp dụng BĐT 9 ta có
( )
222
3
9
zyx

baba
ta được:
bbacbcba
2
2
411
=≥
−+
+
−+
,tươngtự:
cbacacb
211
≥
−+
+
−+
;
abaccba
211
≥
−+
+
−+
. Suy ra






+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
.
Giải:
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a < b + c
⇒

cba
ca
cb
a
cb
a
++
+
<
+
⇒<
+
1
tương tự

2
.
Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được ĐPCM.
BÀI TẬP:
50. Chứng minh rằng :
(a + b -c)( a - b + c)(-a + b + c)
≤
abc.Với a,b,c là 3 cạnh tam giác
51. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . Chứng minh rằng
( )
cbacba
++<++
2
222
52. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . Chứng minh rằng

3
≥
−+
+
−+
+
−+
cba
c
bca
b
acb
a
53. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác .

52. Đặt x = a + b -c; y = a - b + c ; z = b + c - a. Suy ra :
6
≥
+
+
+
+
+
y
zx
x
zy
z
yx
53. Ta cần chứng minh
bacbca
+
>
+
+
+
111
;
cbcaba
+
>
+
+
+
111

+
+
+
111
=========o0o==========
Năm học 2009 - 2010
Nguyễn Đức Nghị Trường THCS Lương Phú – Phú bình Thái Nguyên
Tiết 29-32
Ví dụ 14:Cho
2
22
≤+
ba
. Chứng minh rằng
2
≤+
ba
Giải:
Giả sử :
2
>+
ba

( )
42
22
2
>++=+⇒
abbaba
mặt khác:

≤
1. Mâu thuẫn với điều giả sử.Vậy có ít nhất một trong ba BĐT
trên là sai.
Bài tập áp dụng
54. Cho a + b + c > 0. abc > 0; ab + bc + ca > 0,Chứng minh rằng a > 0; b > 0; c > 0
55. Cho 3 số dương a , b,c .Chứng minh một trong 3 BĐT sau là sai:

2
1
<+
b
a
.;
2
1
<+
c
b
;
2
1
<+
a
c
56. Chứng minh không có các số dương a,b,c nào thoả mãn cả 3 BĐT sau:
4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a) > 1
57. Chứng minh không có các số a,b,c nào thoả mãn cả 3 BĐT sau:
;acb
>−


a
.;
2
1
<+
c
b
;
2
1
<+
a
c
Thì
6
111
<+++++
a
c
c
b
b
a
.Điều này không đúng.
56. Giả sử: 4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a) > 1
Thì : 64(1 - a)(1 - b) (1 - c) > 1 (*) và (1 - a) > 0; (1 - b) > 0:
(1 - c) > 0
Nhưng 4a(1 - a)
≤
1; 4b(1 - b)

>−−+−⇔>−−⇔>−⇔
bacbacbacbac
•
;cba
>−
( ) ( ) ( )( )
00
2
2
2
2
>−−+−⇔>−−⇔>−⇔
cbacbacbacba
Nhân theo vế 3 BĐT này ta suy điều vô lý
Năm học 2009 - 2010