SỞ GD – ĐT THANH HÓA ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Trường THPT Như Thanh Năm học: 2010 – 2011. Môn: Toán. Thời gian: 180 phút
-----------------------
Câu 1 (4 điểm):
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
2
1
+
+
=
x
x
y
2/ Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là
nhỏ nhất
Câu 2 (6 điểm):
1/ Giải phương trình:
7
4
cos31
7
3
cos2
2
xx
=+
2/ Giải phương trình:
431532373
2222
+−+−−=−−+−
xxxxxxx

∈
, biết rằng hệ số
của lũy thừa cơ số x trong số hạng thứ ba lớn hơn hệ số của lũy thừa cơ số x trong số hạng
thứ hai là 35. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nói trên.
Câu 4 (6 điểm):
1/ Trong hệ trục Oxy cho Parabol (P) có phương trình:
2
xy
=
và đường thẳng
)(
∆
có phương trình:
022
=++
yx
. Tìm tọa độ điểm M trên (P) sao cho khoảng cách từ M đến
)(
∆
là nhỏ nhất.
2/ Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng a
)0(

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học: 2010 – 2011. Môn: Toán.
- Nếu học sinh làm theo cách khác mà đúng thì GV chấm cho điểm tương tự như
thang điểm trong đáp án.
- Bài hình nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không chấm
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
Câu 1
4
1 2
*) Tập xác định:
{ }
2\
−=
RD
*) Sự biến thiên:
+) Chiều biến thiên: Ta có:
( )
0
2
1
'
2
>
+
=
x
y

Dx
∈∀

−=
x
Ta có:
1
2
1
lim
=
+
+
−∞→
x
x
x
và
1
2
1
lim
=
+
+
+∞→
x
x
x
Tiệm cận ngang là:
1
=
y



2
1
;0B
Điểm
( )
1;2
−
I
là tâm đối xứng
1
=
y
- 2 -1 O x0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
2 2
2
Điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) có dạng:
)
2
1
,(

1
;0
0
M
thì
2
1
=
h
. Dễ nhận thấy
2
1
>
x
và
2
1
0
<<
x
thì
2
1
>
h
.
Nên ta chỉ cần xét khi:




+
+=
x
x
xxf
với






−∈∀
0;
2
1
x
Ta có:
2
1
)(
+
+
+−=
x
x
xxf
với



x
Ta có:
0
)2(
1
1)('
2
<
+
+−=
x
xf
với






−∈∀
0;
2
1
x
Suy ra hàm số:
2
1
)(
+
+

1
;0
0
M
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 2
6
1 2
Ta có:
7
4
cos31
7
3
cos2
2
xx
=+

⇔

02
7


05
7
2
cos3
7
2
cos6
7
2
cos4
23
=+−−
xxx
(1)
Đặt:
7
2
cos
x
t
=

( )
1:
≤
tđk
. Phương trình (1) trở thành:
05364
23

2
cos
=
x

⇔

π
7kx
=
,
Zk
∈
+/ Với
4
211
2
−
=
t
ta được:
4
211
7
2
cos
−
=
x


±=
,
Zk
∈
.
0,75
0,5
0,25
0,25
0,25
3
2 2
*) Tập xác định:
(
]







+∞
+
∪−∞−=
;
6
375
2;D
Đặt:

22
−=−
xdb
Nhận thấy
2
=
x
không là nghiệm của phương trình nên:
)(2)(3
2222
dbca
−−=−
(1).
Mặt khác:
dbca +=−
(2) nên: (1)
⇔

)(2)(3 dbca
−−=+
(3).
Từ (2) ta được:
bcad
−−=
thay vào (3) ta được:
)(2233 bcabca
−−+−=+

⇔


ayx
axyyx
22
⇔




=−+
=++
axyyx
axyyx
2)(
2
(1)
Đặt



=
=+
Pxy
Syx
đk:
PS 4
2
≥
. Khi đó hệ phương trình (1) trở thành:




⇔

3
1
−≥
a
hệ (2) có nghiệm là:





+++=
+−−=
aaP
aS
311
311
và





+−+=
++−=
aaP
aS
311


( )
0312)31(5
3
1
≤++++
aa
vô lý.
0,5
0,5
0,5
0,5
4
+/ TH 2:





+−+=
++−=
aaP
aS
311
311
. Khi đó:
PS 4
2
≥
⇔

a
thì
02
>+
a
)
⇔

80
≤≤
a
Vậy:
[ ]
8,0
∈
a

3 2
Ta có:
∑
=
−
=






+

35
12
=−
nn
CC

⇔

035
)!1(
!
)!2(!2
!
=−
−
−
−
n
n
n
n

⇔

35
2
)1(
=−
−
n


Vậy số hạng không chứa x là:
252
5
10
=
C
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
4 6
1 2
Gọi M bất kỳ thuộc (P)
);(
2
xxM
⇒
. Gọi
h
là khoảng cách từ M
đến
)(
∆
Ta có
5
22
5

x
thì
5
1
=
h
Do đó: GTNN của
h
là
5
1
khi
1
−=
x

⇒

1
=
y
Vậy điểm M cần tìm là:
)1;1(
−
M
0,5
0,5
0,5
0,5
2 4