Đề số 13
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a)
x
x x
x
2
2
1
2 3 5
lim
1
→
+ −
−
b)
x
x x
x
3
1
1
lim
1
+
→
+ +
−

x x
2 4
2 3 1
3 1= + + − +
b)
x x
y
x x
cos
sin
= +

Bài 5: Cho đường cong (C):
y x x
3 2
3 2= − +
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại điểm có hoành độ bằng 2.
b) Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng
y x
1
1
3
= − +
.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a,
a
OB
3
3

2 3 5 2 5 7
lim lim
1 2
1
→ →
+ − +
=
+
−
b)
x
x x
x
3
1
1
lim
1
+
→
+ +
−
Ta có
x
x
x
x
x x
x
x

f x x mx x m
3 2
( ) 2= − − +
⇒ f(x) liên tục trên R.
•
f m m f m f f m m
3 4
( ) , (0) (0). ( )= − = ⇒ = −
• Nếu m = 0 thì phuơng trình có nghiệm x = 0
• Nếu m
0≠
thì
f f m m(0). ( ) 0, 0< ∀ ≠
⇒ phương trình luôn có ít nhát một nghiệm thuộc (0; m) hoặc
(m; 0).
Vậy phương trình
x mx x m
3 2
2 0− − + =
luôn có nghiệm.
Bài 3:
x x x
khi x 1
f x
x a
x a khi x = 1
3 2
2 2
( )
3

2 2
1 1 1
( 1)( 2) 2
lim ( ) lim lim 1 0
3( 1) 3
→ → →
− + +
= = = >
−
và
f (1) 0=
nên hàm số không
liên tục tại x = 1
• Nếu a ≠ –3 thì
x x
x x
f x
x a
2
1 1
( 1)( 2)
lim ( ) lim 0
3
→ →
− +
= =
+
, nhưng
f a(1) 3 0= + ≠
nên hàm só không liên tục

2 2 2
sin cos sin cos cos 1
' sin cos (1 cot )
sin
sin
− − −
= + = − − + − +
Bài 5:
y x x
3 2
3 2= − +
⇒
y x x
2
' 3 6= −
a)
x y y
0 0
2 2, (2) 0
′
= ⇒ = − =
⇒ PTTT
y 2= −
.
b) Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
y x
1
1
3
= − +

y x y x3 1 2 2 3 4 2 3= − + + ⇔ = + −
• Với
x y
0 0
1 2 2= + ⇒ = −
⇒ PTTT:
( )
y x y x3 1 2 2 3 4 2 3= − − − ⇔ = − −
Bài 6:
a) • Chứng minh:
SAC
∆
vuông
+
a a a
SO SB OB a SO SO
2 2
2 2 2 2 2
3 6 6
9 9 3
= − = − ⇔ = ⇔ =
.
+
a a
OA OC BC OB a SO
2
2 2 2
3 6
9 3
= = − = − = =

a a
SD SO OD a CD
2 2
2 2
6 3
9 9
= + = + = =
⇒ ∆DSC cân tại D, IS = IC nên ID ⊥ SC (6)
Từ (5) và (6) ta suy ra ID ⊥ (SBC), mà ID
⊂
(SCD) nên (SBC) ⊥ (SCD).
c) Tính khoảng cách giữa SA và BD.
OH ⊥ SA, OH ⊥ BD nên
a
d SA BD OH
3
( , )
3
= =
.
============================
3
I
K
H
O
A
B
D C
S