Mặt Phẳng Phan Thanh Tuaán
MẶT PHẲNG
A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Phương trình mặt phẳng :
1). Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với A
2
+B
2
+C
2
≠0 là phương trình
tổng quát của mặt phẳng, trong đó
n A B C( ; ; )=
ur
là một vectơ pháp tuyến của nó.
2). Mặt phẳng (P) đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và nhận vectơ
n A B C( ; ; )=
ur
làm vectơ pháp tuyến có dạng
A(x – x
0
) + B(y – y
0

 ÷
= =
 
 ÷
 
ur r r
.
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0
(P) cắt (Q) ⇔ A : B : C ≠ A’: B’: C’
(P) // (Q) ⇔ A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’
(P) ≡ (Q) ⇔ A : B : C : D = A’: B’: C’: D’
2). Cho hai mặt phẳng cắt nhau : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’= 0 .
Phương trình chùm mặt phẳng xác định bởi (P) và (Q) là:
m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = 0 (trong đó m
2
+ n
2
≠ 0)
Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:
Khoảng cách từ M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi công thức :
0 0

+ +
= = =
+ + + +
uur uur
uur uur
uur uur
(0
0
≤φ≤90
0
)
0
90
P Q
n n
ϕ
= ⇔ ⊥
uur uur
⇔ hai mặt phẳng vuông góc nhau.
• Trong phương trình mặt phẳng không có chứa x thì mặt phẳng song song Ox, không có chứa y thì
song song Oy, không có chứa z thì song song Oz.
Một số dạng mặt phẳng thường gặp
D1: Mp (
α
) qua M và vuông góc với vectơ
a
r
. Thì mp (
α
) có:

α
) có:
* Điểm thuộc (α) là A
* Vtpt
n A B A C,
 
=
 
uuur uuuur
r
⇒ pt (α)
D4: Mp (
α
) //
1 2 3
a a a a( ; ; )=
r
và //
1 2 3
b b b b( ; ; )=
r
và đi qua M. Thì mp (
α
) có:
* Điểm thuộc (α) là M
* Vtpt
n a b,
 
=
 

⇒ pt (α)
D7: Mp (
α
) đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mp (
β
).Thì mp (
α
) có:
* Điểm thuộc (α) là A (hoặc B)
* Vtpt
n A B n,
β
 
=
 
uuur
r r
⇒ pt (α)
D8: Mp (
α
) đi qua 2 điểm A và đồng thời vuông góc với mp (
β
) và mp (
γ
).Thì mp (
α
) có:
* Điểm thuộc (α) là A
* Vtpt
n n n,

 
= =
 
uuur
r r
r
2
Mặt Phẳng Phan Thanh Tuaán
⇒ pt (α)
D3: Mp (
α
) qua A và chứa Oz. Thì mp (
α
) có:
* Điểm thuộc (α) là A
* Vtpt
0 0 1n OA k k, , ( ; ; )
 
= =
 
uuur
r r
r
⇒ pt (α)
D4: Mp (
α
) qua A và // Oxy. Thì mp (
α
) có:
* Điểm thuộc (α) là A

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.
c) Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa AB và song song với CD.
d) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vuông góc với mp(ABC).
Bài 2: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua M(1, 2, 3) và //
4 6 3 2 7 5a b ( , , ), ( , , )= =
r
r
b) Đi qua 3 điểm A(1,1,1), B(2,4,5), C(4,1,2)
c) Đi qua A(1, 2, 3) và nhận
3 2 1 3 0 1u v ( , , ), ( , , )= = −
r
r
làm cặp vectơ chỉ phương.
d) Đi qua 2 điểm E(4,-1,1), F(3,1,-1) và song song với trục Ox.
e) Đi qua 3 điểm A(a,0,0) B(0,b,0), C(0,0,c)
Bài 3 : a)Viết phương trình mp (α ) đi qua điểm M(2,4,2) và //với
3 0 3 4 1 0a b( , , ), ( , , )= − = − −
r
r
b) Hãy lập phương trình mp (β) đi qua A(1,2,3) và song song với (α )
Bài 4: Lập phương trình mp(α) đi qua 3 điểm A(1,-1,2) B(0,3,0) C(2,1,0)
Bài 5: Lập phương trình các mp đi qua I(2,6,-3) và song song với các mp tọa độ
Bài 6: Lập phương trình mp:
a) Chứa trục Ox và đi qua P(4,-1,2) b) Chứa trục Oy và đi qua Q(1,4,-3)
3
Mặt Phẳng Phan Thanh Tuấn
c) Chứa trục Oz và đi qua R(3,-4,7)
Bài 7: Cho tứ diện có các đỉnh A(5,1,3) B(1,6,2) C(5,0,4) D(4,0,6)

.
d) Viết phương trình mặt phẳng qua A, B và song song CD.
e) Viết phương trình mặt phẳng qua C, D và vuông góc
( )
α
.
f) Viết phương trình mặt phẳng qua D, vuông góc hai mặt phẳng (ABC) và
( )
α
.
g) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC),
( )
α
và:
Bài 16: Cho A(1;1;3); B(-1;3;2); C(-1;2;3).
a) Kiểm chứng ba điểm A, B, C không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ba
điểm này. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (P).
b) Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện OABC.
Bài 17: Cho hai điểm A(-3;2;1); B(9;4;3). Tìm phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Bµi 18: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng trung trùc cđa AB biÕt:
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5)
c,
1 1
1 0 1 5
2 2
A B; ; , ; ;
   
− −
 ÷  ÷
   

1 2 1 2 3 0M x y; ; , :

+ =
d,
( ) ( )
3 6 5 1 0M x z; ; , :

+ =
Bài 20 Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;3;2) và //
2 1 2 3 2 1a v b( ; ; ); ( ; ; )
r r

Bài 21 : Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1;1;1) và
a) Song song với các trục 0x và 0y. b) Song song với các trục 0x,0z.
c) Song song với các trục 0y, 0z.
Bài 22: Lập phơng trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1;-1;1) và B(2;1;1) và :
a) Cùng phơng với trục 0x. b) Cùng phơng với trục 0y.
c) Cùng phơng với trục 0z.
Bài 23 : Xác định toạ độ của véc tơ
n
ur
vuông góc với hai véc tơ
6 1 3 3 2 1a b( ; ; ); ( ; ; )
r r
.
Bài 24 : Tìm một VTPT của mặt phẳng (P) ,biết (P) //
2 7 2 3 2 4a b( , , ); ( , , )
r r
Bài 25 : Lập phơng trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng toạ
độ.

2 4 1 0P x y z: + + =
c) (P
1
): x+y-z-4=0và
( )
2
2 2 2 8 0P x y z: + =
Bi 2: Xỏc nh cỏc giỏ tr ca m,n cỏc cp mp sau song song nhau:
a) 2x + ny + 3z 5 = 0 v mx 6y 6z = 0 b) 3x 5y + mz 3 = 0 v 2x + ny 3z + 1 = 0
c) mx + 3y 2z 1 = 0 v 2x 5y nz = 0
Bi 3: Xỏc nh cỏc giỏ tr ca m cỏc cp mp sau vuụng gúc nhau:
a) 3x 5y + mz 3 = 0 v x + 3y + 2z + 5 = 0 b) 5x +y 3z 2 = 0 v 2x + my 3z + 1 = 0
c) 7x + 2y 9 = 0 v mx + y 3z 1 = 0
Bi 4: Tớnh gúc gia hai mp sau:
a) 2x y 2z 9 = 0 v x y 6 = 0 b) 8x 4y 8z + 1 = 0 v
2 2 7 0x y + =

Bài toán 3: Chùm mặt phẳng
Bài 1:Lập phơng trình mặt phẳng đi qua điểm M(2;1;-1) và qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng (P
1
) và (P
2
)
có phơng trình : (P
1
): x - y + z - 4 = 0 và (P
2
) 3x y + z 1 = 0
Bài 2: Lập phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến của (P
1