I. Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân
VD1: CMR: (a
2
+ b
2
)(b
2
+ c
2
)(c
2
+ a
2
) 8a
2
b
2
c
2
a,b,c
Bài toán nay thờng gặp sai lầm sau:
Sử dung kết quả: x
2
+y
2
2xy. Do đó:
a
2
+ b
2
2ab

2
+ b
2
2ab
b
2
+ c
2
2bc
c
2
+ a
2
2ac
suy ra (a
2
+ b
2
)(b
2
+ c
2
)(c
2
+ a
2
) 8a
2
b
2



+
+






+
+






+

+ dcba 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1




+++

+
+++

+
+++

+
+++

+
3
3
3
3
)1)(1)(1(
3
1
1
)1)(1)(1(
3
1
1
)1)(1)(1(
3
1

)(
baabbaab
abbaabba
baba
+=+=






+++=
=






+=+
Nh©n vÕ theo vÕ ta ®îc:

Suy ra: (§PCM)
Chóng ta cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n trªn:
VD4: Cho
CMR:
Vd5: Cho:
CMR:

Gi¶i

1
...
1
1
1
...
1
1
1
1
0,...,,
21
21
221
−
≤





−≥
+
++
+
+
+
>
8
111

c
b
b
a
a
cba
cba
8
2
.
2
.
2
..
1
.
1
.
1
=≥
+++
=
−−−
c
ab
b
ca
a
bc
c

0,...,,
2
2
2
1
21
21
−≥








−








−





4
2
>
+
+
ba
bba
a
II.Kỹ thuật tách nghịch đảo
Kỹ thuật tách nghịch đảo đó là kỹ thuật tách nghịch đảo phần nguyên
theo mẫu số để khi chuyển sang TB nhân thì các phần chứa biến bị triệt
tiêu chỉ còn lại hằng số.
VD1: CMR:
Giải
Vì nên a và b cùng dấu. Do đó:
VD2: CMR:
Giải
VD3: CMR:
Giải
Ta có:

(ĐPCM)
VD4: CMR:
Giải
Ta có: (PCM)
VD5: CMR:
02
+
ab
a

+
a
a
2
1
1
12
1
1
1
1
11
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
+
+
+
++=
+
++
=

+
ba
bab
a
3
)(
1
.).(3
)(
1
)(
)(
1
3
=



++=

+
bab
bba
bab
bba
bab
a
=



+
++


+
+
+
+
+
+=
+
+
3141
)1)((
4
)
2
1
)(
2
1
)((4
1
)1)((
4
2
1
2
1
)(

)1(
13221
1
21
2)1(
)...()()(
1
10...
+


+


+
>>>>
kn
kn
nn
kk
n
n
k
kn
aaaaaaa
a
Zkaaa

[ ]
2)1(





+

+

++

++

++

+

++

+=

+++++
kn
kn
kn
kn
siCo
k
nn
kk
n

))(())((

++
+
++

dcba
cd
dbca
ab
1
2
1
2
1
2
1
=






+
+
+
+
+
=

ca
a
VT
3
3
)1)(1)(1(1
++++
cbaabc
VD2: CMR: (1)
Gi¶i
Ta cã: (1)
Theo B§T C« si ta cã:(§PCM)
Ta cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n nµy:
VD3:CMR: (1)
Gi¶i
Ta cã: (1)
Theo B§T C« si ta cã:
(§PCM)
VD4: CMR:
Gi¶i
Ta cã:
Theo B§T C« si ta cã:

1
)1)(1)(1(
1.1.1
)1)(1)(1(






+
+
+
+
+
+






+
+
+
+
+
≤
1
1
1
1
1
1
1

nn
n
n
n
n
bbbaaababababbbaaa
1
))...()((
...
))...()((
...
2211
21
2211
21
≤
+++
+
+++
⇔
n
nn
n
n
nn
n
bababa
bbb
bababa
aaa

+
+
+
=








+
++
+
+
+
+






+
++
+
+
+
≤

−−
31
1
!
1
11
1
11
...
3
2
3
1
2
1
2
1
1
1
1
...
4
3
3
2
2
1
1
11
...

1
11
11
11
=












−
+++






++





−−
−−
n
n
nn
n
n
nnn
VT
n
n
n
nn
nn
nn
nn
nn