Chuyên đề 1 : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Các ví dụ và phương pháp giải
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a.
( ) ( )
11
22
+−+
axxa
b.
nn
xxx
−+−
+
3
1
.
Giải:
a. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung
( ) ( )
11
22
+−+
axxa
=
xxaaax
−−+
22
( ) ( ) ( )( )
1
−−=−−−=

nnn
nn
xxxx
xxxxxxxxx
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử :
a. x
8
+ 3x
4
+ 4.
b. x
6
- x
4
- 2x
3
+ 2x
2
.
Giải:
a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi sử dụng hằng đẳng thức
x
8
+ 3x
4
+ 4 = (x
8
+ 4x
4
+ 4)- x

2
(x
4
- x
2
- 2x +2)
( ) ( )
[ ]
( )
( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
221
11111
1212
2
2
2
22
2
2
2
22
2242
++−=
++−=−+−=
+−++−=

−−+=
−−−+=−+−+=
+−+++−+=
=−+−+−−+=
−+−+−+
22
222222
222222
224242
42442
2
2
222222
222222
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức
20072062007
24
+++ xxx
( )
( )
( ) ( )
( )( )
20071
1200711
200720072007
22
22
24
+−++=
+++++−=

3
.Do đó:
=−++
abccba 3
333
( )
[ ]
( )
abcbaabcba 33
3
3
−+−++=
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
( )
( )
cabcabcbacba
cbaabccbabacba
−−−++++=
++−++−+++=
222
2
2
3
b.
( ) ( )
[ ]
( )
3

( ) ( )
abccbaabccba
cbaabbacba
303
3
333333
3333
3
=++⇒=−++⇒
−=+++⇒−=+⇒
Ví dụ 6: Cho 4a
2
+ b
2
= 5ab, và 2a > b > 0. Tính
22
4 ba
ab
P
−
=
Giải: Biến đổi 4a
2
+ b
2
= 5ab
⇔
4a
2
+ b

z
c
y
b
x
a
thì
1;
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
Giải:
000
=++⇒=
++
⇒=++
cxybxzayz
xyz
cxybxzayz
z


++⇒=++
c
z
b
y
a
x
abc
cxybxzayz
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
1. Phân tích đa thức thành nhân tử :
a.

3
- (a - y)x
3
+ (x - y)a
3
.
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc.
3.x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz.
4. Tìm x,y thỏa mãn: x
2
+ 4y
2
+ z
2
= 2x + 12y - 4z - 14.
5. Cho a +| b + c + d = 0.
Chứng minh rằng a
3

+−−+−−+
baababbbaa
9. Cho x,y,z là 3 số thỏa mãn đồng thời:





=++
=++
=++
1
1
1
333
222
zyx
zyx
zyx
. Hãy tính giá trị biếu
thức
P =
( ) ( ) ( )
1997917
111
−+−+−
zyx
.
10.
a.Tính

)(b
3
+ c
3
)(c
2008
- a
2008
).
==========o0o==========
HƯỚNG DẪN:
1. Phân tích đa thức thành nhân tử :
a.
( )( )
3412
2
+−=−−
xxxx
b.
( )( )
53158
2
++=++
xxxx
c.
( )( )
82166
2
−+=−−
xxxx

3.x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz
( )( )( )
xzzyyx
+++
4. x
2
+ 4y
2
+ z
2
= 2x + 12y - 4z - 14
( ) ( ) ( )
222
2|321
−+−+−⇔
zyx
5. Từ a + b + c + d = 0
( ) ( )

3
3
zyxxyzzxyzxyxyz
zyxxyzzxyzxyxyzzyx
zyxxyzzxyzxyxyzzyx
zyxxyzzyxzyx
xyzzyx
++=++−
++=++−++⇔
++=++−++⇔
++=++++
⇒=++
Nhưng:
( ) ( )
222
2
20 zyxzxyzxyxyzzyx
++=++−⇒=++
(**)
Thay (**) vào (*) ta được:
2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2

zyx
( ) ( )( )( )
xzzyyxzyxzyx
+++=−−−++⇒
3
333
3





=+
=+
=+
0
0
0
xz
zy
yx

2
−=⇒
P
10.
a. Sử dụng hằng đẳng thức a
2
- b
2


=M M

1 1 0 0
... 5 0;5
n n
a a a a a

=M
1 1 0
... 4
n n
a a a a

M
( hoặc 25)
1 0
4a a M
( hoặc 25)

1 1 0
... 8
n n
a a a a

M
( hoặc 125)
2 1 0
8a a a M
( hoặc 125)

( ) ( )
1 0 5 4 3 2 7 6
101 ... ... 101A a a a a a a a a + + + +

M M
II.Vớ d
Ví dụ 1: Tìm các chữ số x, y để:
a)
134 4 45x yM
b)
1234 72xyM
Giải:
a) Để
134 4 45x yM
ta phải có
134 4x y
chia hết cho 9 và 5

y = 0 hoặc y = 5
Với y = 0 thì từ
134 40 9x M
ta phải có 1+3+5+x+4
9M 4 9 5x x + =M

khi đó ta có số 13554
với x = 5 thì từ :
134 4 9x yM
ta phải có 1+3+5+x+4 +5
9M
9 0; 9x x x = =M

M M
M M
Vậy số cần tìm là 713625
Ví dụ 3 a) Hỏi số
1991
1991 1991
1991...1991
so
A =
1 4 2 4 3
có chia hết cho 101 không?
b) Tìm n để
101
n
A M
Giải:
a) Ghép 2 chữ số liên tiếp nhau thì A
1991
có 2 cặp số là 91;19
Ta có: 1991.91-1991.19 = 1991. 72
M
101 nên
1991
101A M
b)
101 .91 .19 72 101 101
n
A n n n n = M M M
II. MT S NH L V PHẫP CHIA HT
A.Tóm tắt lý thuyết

d) Nếu
ab cM
và (c,b) = 1 thì
a cM
2. Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích.
- Nếu



mb
ma


mba
+
- Nếu



mb
ma


mba

- Nếu



mb

+
nn
Gii:
( )
( ) ( ) ( )
2
2
1 1 1 1 2 4! 24A n n n n n n

= + = + + =

M
Bi tp t luyn:
2. Chng minh rng
a.
4886
23
nnn
++
vi n chn
b.
384910
24

+
nn
vi n l
3. Chng minh rng :
722
246

b)
(mod ) (mod )a b m na nb m⇒M M
c)
(mod ) (mod )
n n
a b m a b m≡ ⇒ ≡
d)
(mod ) (mod )a b m ac bc m≡ ⇒ ≡
c) Một số hằng đẳng thức:
•
m m
a b a b− −M
•
n n
a b a b+ +M
(n lẻ)
•
( )
( )
n
a b B a b+ = +
II.Ví dụ:
1. Chứng minh:
9 99
2 2 200+ M
Giải:
2 + 2 = 2 = 512 ≡ 112(mod 200) (1)
⇒ 2 = 2 ≡ 112 (mod 200) .
112 = 12544 ≡ 12 (mod 200) ⇒ 112 ≡ 12 (mod 200)
12 = 61917364224 ≡ 24(mod 200) .

−
5.
( )
1980198219811979
19811979

+−
6.
( )
1203...333
10032

++++
7.
( )
755552222
22225555

+
--------------------------------
QUY NẠP TOÁN HỌC
I.PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
B
1
: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1?
B
2
: Giả sử Mệnh đề đúng với n = k
≥
1. Chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1

57.
*Chú í: Trong trường hợp tổng quát với n là số nguyên và n
≥
n
0
. Thì ta
kiểm tra mệnh đề đúng khi n = n
0
?
III.BÀI TẬP:
Chứng minh : Với n là số tự nhiên thì:
1.
( )
23225
1412

+++
++
nnn
2. 11 + 12
M
133
3.
( )
5985.265
122

++
++
nnn

abE
=
sao cho
( )
3
2
baab
+=
4. A =
( )
2
baab
+=
HD:
( )
2
baab
+=
⇔
( )( )
2
991
≤=−++
ababa
⇒
(a + b)
≤
9 và (a + b) = 9k
⇒
k = 1

=
)2(99
)1(99
x
x

(1)
⇒
B = 9801
(2)
⇒











=−+
=+



=−+
=+
lyx

=
sao cho

3
1...1.........








+=+

n
n
nn
dddcccbbbaaa