BÁT ĐẲNG THỨC CÔ SI
VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC
*
(Tài liệu tham khảo: Phương pháp giải các bài toán
cực trị trong hình học – NGUY6ẼN HỮU ĐIỀN)
A. BÀI TOÁN CÓ LỜI GIẢI:
Bài 1
Ba con đường cắt nhau tạo thành tam giác.
Trong tam giác hoặc trên cạnh của nó, đặt xí
nghiệp ở đâu để tổng khoảng cách từ xí nghiệp
ra các con đường là ngắn nhất.
B'
A'
C'
M
C
B
A
Giả sử BC ≥ CA ≥ AB
( ) ( ) ( ) ( )S ABC S MAB S MBC S MCA= + +
( )
1
( ) '. '. '.
2
S ABC MA BC MB CA MC AB= + +
( )
1
( ) ' ' '
2
S ABC MA MB MC BC≤ + +
2 ( )

Con đường ta (t) cần tìm phải cắt AB (tại E) hoặc AD
(tại F).
Đặt x=d(A,t) và y=d(B,t)
Nếu (t) cắt AB tại E:
2S(CAB)=2S(CAE)+2S(CBE)=(x+y)CE
Nếu (t) cắt AD tại E:
2S(CAD)=2S(CAF)+2S(CDF)=(x+y)CF
Vậy x+y nhỏ nhất khi mà CE hoặc CF lớn nhất.
Điều này xảy ra khi E hay F trùng với A (địa điểm dân
cư xa nhất đối với C).
Bài 3: (bài toán đẳng chu)
Trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi cho
trước thì hình vuông có diện tích lớn nhất..
Gọi 2a là chu vi và kích thước hình chữ nhật là x và y
thì a=x+y
Diện tích hình chữ nhật là S=xy.
Ta có
2
2
2 4
x y a
S xy
+
 
= ≤ =
 ÷
 
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=a/2.
Bài toán được chứng minh.
Bài 4: (bài toán cổ)

Gọi r và h là bán kính đáy và chiều cao hình trụ.
Gọi R và H là bán kính đáy và chiều cao hình nón.
Ta có
R H
r H h
=
−
Suy ra
( )
R
r H h
H
= −
Sxq của hình trụ là:
2 2 ( )
R
Sxq rh h H h
H
π π
= = −
2
2 2
2
R h H h
Sxq RH
H
π π
+ −
 
≤ =

π
≥ = =
2
2Sxq R
π
≤
2
( ) 2Max Sxq R
π
=
Khi 4r
2
=h
2
tức là h=2r. Bài toán được chứng minh.
Bài 7:
Trong các hình chữ nhật có đường chéo d cho
trước. Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất..
Gọi các kích thước hình chữ nhật là x và y.
Gọi S là diện tích hình chữ nhật.
2 2 2
2 2d x y xy S= + ≥ =
2
( )
2
d
Max S =
khi
2
d

x y= =
Bài 9:
Tìm khối nón có thể tích nhỏ nhất ngoại tiếp
hình cầu bán kính r cho trước.
R
R
h-r
r
r
r
2t
Gọi R và h là bán kính và chiều cao hình nón.
Gọi 2t là góc giữa đường sinh và đáy hình nón.
t là góc nhọn nhỏ hơn 45
0
.
Thể tích khối nón là:
2
1
3
V R h
π
=
.tan
tan
r
r R t R
t
= ⇒ =
2

 ÷
+ −
 
3
8
( )
3
r
Min V
π
=
khi
1
tan
2
t =
Suy ra
2R r=
và
2
4
1
1
2
r
h r= =
−
Bài 10:
Nếu tổng 2 cạnh của một tam giác là k và góc
giữa 2 cạnh đó là t, hãy tìm độ dài các cạnh sao

cho trước, hãy tìm tam giác vuông có bán kính
đường tròn nội tiếp lớn nhất..
r
r
r
r
y
x
x+y=c
r
y
x
K
B
A
C
Giả sử cạnh huyền AB tiếp xúc đường tròn nội tiếp tại
K.
Đặt AK=x, BK=y.
Ta có AC=x+r, AB=y+r
Mà AB
2
=CA
2
+CB
2
ta có:
2 2 2 2
( ) ( ) ( )c x y x r y r= + = + + +
Suy ra

.
Bài 12:
Trong một hình tứ diện có đáy là tam giác đều
cạnh a, các cạnh bên bằng b, tổng bình phương
các cạnh bằng Q. Hãy tìm giá trị lớn nhất của
Sxq của tứ diện.
Ta có Q=3a
2
+3b
2
.
2 2 2
2
3 3 3
2 4 2 3 4
a Q a a
Sxq a b a
−
= − = −
2 2
3 1
15 (4 15 )
4 15
Sxq a Q a= −
2 2
3 15 4 15
2
4 15 2 5
a Q a Q
Sxq

2
2 2
2 2
4.
4 .cot
sin
S
c x S t
x t
= + −
a) Đặt Q=AB+AC=x+b ta được:
2 2
2
sin sin
S S
Q x
x t t
= + ≥
Suy ra
2 2
( ) 2 ,
sin sin
S S
Min Q x b
t t
= = =
b)
2
2 2
2 2

c)
Chu vi tam giác là P=x+b+c
Vì x+b và c cùng nhỏ nhất khi
2
sin
S
x
t
=
nên P cũng
đạt nhỏ nhất tại đó
2
2 2 tan
sin 2
S t
P S
t
= +
Bài 14:
Từ những hình hộp chữ nhật với diện tích đáy
bằng Q và chiều cao hình hộp bằng đường chéo
mặt đáy, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích
xung quanh.
Gọi x là một cạnh đáy, cạnh còn lại là Q/x.
Chiều cao hình hộp là
2
2
2
Q
h x

x
+
đạt nhỏ nhất
2 2
2 2
2 2
2 . 2
Q Q
x x Q
x x
+ ≥ =
( ) 4 2Min Sxq Q=
khi
x Q=
Nghĩa là đáy hình hộp là hình vuông.
Bài 15:
Hãy tìm đoạn thẳng ngắn nhất chia một tam
giác thành 2 phần có diện tích bằng nhau.
C'
B'
m
y
x
C
B
A
Đoạn thẳng định thành tam giác AC’B’.
AB’=x, AC’=y, B’C’=m, S là diện tích ABC.
2 2 2
2 cosm x y xy A= + −

các điểm O và A,B,C,…,Q,M để có bất đẳng
thức số.
Xét trong mặt phẳng: với O(0;0), A(a
1
,a
2
),
B(a
1
+b
1
;a
2
+b
2
), …,M(a
1
+b
1
+…+m
1
;a
2
+b
2
+…+m
2
)
Ta có:
2 2 2 2 2 2

BC+AB=k (cho trước). Hãy xác định góc B của
tam giác ABC để diện tích ABC lớn nhất.
x=AB thì cạnh huyền BC=k−x.
Suy ra
2 2
( ) ( 2 )AC k x x k k x= − − = −
Diện tích
1
( 2 ) ( 2 )
2 2
k
S x k k x xx k x= − = −
3
2
2
2 3
6 3
k x x k x k
S
+ + −
 
≤ =
 ÷
 
2
( )
6 3
k
Max S =
khi

 ÷
 
Vậy S lớn nhất là
2
3 3
p
khi a=b=c=2p/3
Bài 18: