phòng giáo dục - đào tạo
vĩnh tờng
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9
năm học 2010-2011
Môn: toán
Thời gian làm bài 150 phút
Câu1: a) Cho ba số a, b, c thoả mãn
;b c a b c
+
và
2
2( )c ac bc ab
= +
. Chứng minh rằng:
( )
2 2
2
2
( )a a c a c
b c
b b c
+
=

+
b) Rút gọn:
4 5 3 5 48 10 7 4 3A = + + +
Câu 2: Giải các phơng trình:
a)
3 2
2 2 0x x x

. Chứng minh rằng:
2x y z xyz
+ + +
Câu 5: Cho hai đờng tròn (O) và (O

) ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp
tuyến chung trong EF của hai đờng tròn sao cho A và E cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đ-
ờng thẳng OO


( )
'
, ( ); , ( )A E O B D O
.
a) Gọi M là giao điểm của AB và EF. Chứng minh rằng
'
AOM BMO

:
.
b) Chứng minh rằng AE vuông góc với BF.
c) Gọi N là giao điểm của AE và BF. Chứng minh rằng ba điểm O, N, O

thẳng hàng.
Câu 6: a) Hãy tìm tất cả các số nguyên dơng x, y sao cho
2
3x y+
và
2
3y x

2
( ) 2( )
( 2 ) 2 ( ) 2 ( )
2 2 ( ) 2
a a c a c c a c a c ac bc ab a c
a c ac b a c a c a c b a c a c
a c b a c a c a c b
+ = + + = + + +
= + + + = + +
= + = +
Chứng minh tơng tự ta có:
( ) ( ) ( )
2
2
2b b c b c b c a+ = +
Vậy
( )
2 2
2
2
( ) 2( )( )
2( )( )
a a c a c a c b a c
b c a c b b c
b b c
+ +
= =
+
+
0,5đ



+ = + = =


=

Vậy phơng trình có tập nghiệm là:
{ }
1; 2; 1S =
0,25đ
0,25đ
b) (1đ)
ĐKXĐ:
7 9x
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2
( 7 9 ) 2 2 7 9 2 7 9 4
7 9 2(1)
x x x x x x
x x
+ = + + + =
+
Mặt khác:
( )
2
2
16 66 8 2 2(2)x x x + = +
Từ (1),(2) suy ra:

( ) ( )
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2
2011 2 2 5 8 22 2( 2011) 4 4 10 16 44
4 4 16 10 44 4 4 ( 4) 4 9( 4 4) 52
2 4 9 2 52 52 2011 26 2011 26 1985
E x xy y x y E x xy y x y
x xy x y y x x y y y y
x y y E E
= + + = + +
= + + = + + + +
= + + =
Dấu bằng xảy ra khi:
2 4 0 1
2 0 2
x y x
y y
+ = =



= =

Vậy Min E = 1985
1
2
x
y

Do đó
( )
2 2 2
3 2 1993 3 1 664 1 3A n b n b b= + + = + + + M
Mà A > 3 suy ra A là hợp số với mọi số tự nhiên n.
0,5đ
b) (1đ)
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
(1 ) ( ).1 1 1x y z xyz x yz y z x y z yz+ + = + + + + +
(1)
Mặt khác:

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2 2

F
N
a)(1đ)
Theo tính chất hai tiếp tuyến của đờng tròn cắt nhau ta có:
Hai tia MO và MO

theo thứ tự là tia phân giác của các góc AME và
BMF.
Suy ra
'
MO MO
.
'
AOM BMO =
Suy ra
'
( . )AOM BMO g g :
.
0,5đ
0,5đ
b)(1đ)
Ta có
' '
; ;MO AE MO BF MO MO
Suy ra AE vuông góc với BF.
1đ
c) (1đ)
Gọi I là giao điểm của OM và AE. Gọi K là giao điểm của MO

và BF.

a) (0,5đ)
Ta sẽ chứng minh có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng:
( ) ( )
2 2
2 2
3 2 ; 3 2x y x y x y+ < + + < +
Thật vậy giả sử cả hai bất đẳng thức trên đều sai thì:
( ) ( )
2 2
2 2
3 2 ; 3 2x y x y x y+ + + +
0 8x y + +
(vô lý vì x, y là các số nguyên dơng)
Không mất tổng quát giả sử:
( )
2
2
3 2x y x+ < +
Suy ra

( ) ( )
2 2
2 2 2
2 2
3 2 3 1 3 2 1
3 1; 2 1( )
3 4 13 4
x x y x x y x y x
x k y k k N
y x k k

2
suy ra x = 16; y = 11.
Thử lại thấy đúng.
Vậy các cặp số (x,y) phải tìm là (1,2) ;(16,11),(11,16).
0,25đ
0,25đ
b) (0,5đ)
Sau mội lần hai hiệp sĩ có màu tóc khác nhau gặp nhau thì màu tóc mỗi
loại tăng them 2 hoặc giảm đi 1. Nh vậy, hiệu số hiệp sĩ có hai màu tóc
khác nhau trớc và sau mỗi lần nh vậy có cùng số d khi chia cho 3.
Giả sử xảy ra trờng hợp tất cả 45 hiệp sĩ đó đều có cùng một màu tóc và
số hiệp sĩ có hai màu tóc kia là 0.
Ta có:
45 0 3; 45 0 3; 0 0 3 M M M
.
Mặt khác lúc đầu
15 13 2;17 15 2;17 13 4 = = =
đều không chia hết cho
3.
Do đó điều giả sử là sai.
Vậy không thể xảy ra trờng hợp tất cả các hiệp sĩ đều có cùng một màu
tóc.
0,25đ
0,25đ
-------------------------------------