BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11
GIỚI HẠN DÃY SỐ
Bài 1: Dùng đònh nghóa, chứng minh rằng:
a)
n
n 1 1
lim
2n 1 2
→∞
+
=
−
b)
2
2
n
1 2n 2
lim
1 3n 3
→∞
−
= −
+

c)
2
n
3
lim 0
n 1
→∞

c)
3
2
n
2n 5n 1
lim
2n n 3
→∞
+ −
− +
d)
2
n
n 3n 3
lim
n 2n 2
→∞
+
+ +
e)
3
n
(2n 1)(n 1)(3n 4)
lim
(6n 1)
→∞
+ − −
+
f)
2

3
3
n
lim( n n n)
→∞
− +

e)
2
2
n
4n 1 (2n 1)
lim
n 4n 1 n
→∞
+ − +
+ + −
f)
3
3
2
n
2 n n
lim
n 1 n
→∞
− +
+ −
g)
3 3 2 2

2 3
lim
2 3
+ +
→∞
+
+

d)
n n n 1
n
n n 1
n
2 6 4
lim
3 6
+
+
→∞
+ −
+
e)
2
n
n
lim
2n 1
→∞
 
 

1 1 1
a ...
1.2 2.3 (n 1)n
= + + +
−
d)
n
2
1 2 ... (n 1)
a
2n 3n
+ + + −
=
+
e)
n
1 1 1
a ...
1.3 3.5 (2n 1)(2n 1)
= + + +
− +

GIỚI HẠN HÀM SỐ
Bài 1: Dùng đònh nghóa, chứng minh rằng:
a)
x 1
lim(2x 3) 6
→
+ =
b)

x 9
→−
+
−
b)
2
2
x 2
x x 6
lim
x 4
→
+ −
−
c)
2
2
x 4
x 16
lim
x x 20
→
−
+ −

d)
3 2
2
x 1
x x x 1

x 1
lim
x 1
→−
+
+
b)
6 5
2
x 1
4x 5x x
lim
(1 x)
→
− +
−
c)
x 0
(1 x)(1 2x)(1 3x) 1
lim
x
→
+ + + −
d)
5
5 2
x 0
(1 x) (1 5x)
lim
x x

x 0
x x ...x n
lim
x 1
→
+ + −
−
d)
x 0
(1 x)(1 2x)...(1 nx) 1
lim
x
→
+ + + −
Bài 5: Tính các giới hạn sau:
a)
x 0
1 2x 1
lim
2x
→
+ −
b)
x 0
4x
lim
9 x 3
→
+ −
c)

2x 7 3
lim
2 x 3
→
+ −
− +
g)
2
2
x 0
x 1 1
lim
x 16 4
→
+ −
+ −

h)
x 4
x 5 2x 1
lim
x 4
→
+ − +
−
k)
x 0
x 1 x 4 3
lim
x

−
+ −

d)
3 3
3
x 1
x 9 2x 6
lim
x 1
→
+ + −
+
e)
3
x 0
1 x 1 x
lim
x
→
+ − +

f)
3
2
x 2
8x 11 x 7
lim
x 3x 2
→

−
(m, n ∈ Z
+
)
c)
3 5
4
4
x 1
(1 x)(1 x)(1 x)(1 x)
lim
(1 x)
→
− − − −
−  GIỚI HẠN HÀM SỐ LƯNG GIÁC:
Bài 8: Tính các giới hạn sau:
a)
x 0
sinx
lim
2x
→
b)
x 0
tgx
lim
x

lim
x.sin x
→
−
Bài 9: Tính các giới hạn sau:
a)
x 0
1 cos x
lim
1 cos3x
→
−
−
b)
3
x 0
tgx sin x
lim
x
→
−
c)
2
x 0
cosx cos3x
lim
sin x
→
−


lim
sin x
→
+ −
h)
2
x 0
1 cos x cos2x
lim
x
→
−

Bài 10: Tính các giới hạn sau:
a)
x 0
1 1
lim( )
sin x tgx
→
−
b)
x 0
1 1 1
lim( )
sin x sin3x x
→
−

c)

sin x cos x
lim
4x
π
→
−
− π
c)
x
4
1 tgx
lim
1 cot gx
π
→
−
−

d)
x
2
cosx
lim
x
2
π
→
π
−
e)

lim
4cos x 3
π
→
−
−
k)
3
x
3
tg x 3tgx
lim
cos(x )
6
π
→
−
π
+

2
BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11
Bài 12: Tính các giới hạn sau:
a)
x 0
cos(a x) cos(a x)
lim
x
→
+ − −

a)
x 1
x 3 3x 1
lim
x 1
+
→
+ − +
−
b)
x
1 cosx
lim
sin x
+
→π
+
c)
x
2
1 cosx
lim
x
2
+
π
→
+
π
−


−
= →

− +

<

− +

c)
3
2
2
2
6(1 cosx)
nếu x 0
sin x
f(x) khi x 0
x x
nếu x 0
x

−
>


= →

−

2x x 1
lim
x 2
→∞
− +
−

d)
3
3 2
x
2x 3
lim
x 2x 1
→∞
+
− +
e)
2
x
x x 1
lim
x x 1
→∞
+
+ +
f)
2
3
x

x
x 2x 3 4x 1
lim
4x 1 2 x
→∞
+ + + +
+ + −
d)
4
2
x
3x 2 x x 5x
lim
2x 4x 5
→∞
− + −
+ −
Bài 17: Tính các giới hạn sau:
a)
x
1 2 x x
lim
x 3
→∞
+ −
+
b)
3
2
x

x
lim( x x x)
→∞
+ −
b)
2
x
lim(2x 1 4x 4x 3)
→∞
− − −

c)
2 2
x
lim( x x 1 x x 1)
→∞
− + − + +
d)
3
3
x
lim( x 1 x)
→∞
+ −
e)
3
3 2
x
lim( x x x)
→∞

x 2
1 1
lim( )
x 3x 2 x 5x 6
→
−
− + − +

d)
x 0
2
1 1
lim( )
x
tgx
sin
2
→
−
e)
2
2
x
2
sin x
lim( tg x)
cos x
π
→
−

lim [ (x a )(x a )...(x a ) x]
→+∞
+ + + −
 DẠNG VÔ ĐỊNH
0.∞
:
Bài 21: Tính các giới hạn sau:
a)
x
2
lim( x)tgx
2
π
→
π
−
b)
x
4
lim tg2x.tg( x)
4
π
→
π
−
c)
x 0
limsin5x.cotg3x
→


1 nếu x 2

− + −
≠

= =
− +


=

b)
3
3
0
x x 2
nếu x 1
x 1
f(x) tại x 1
4
nếu x 1
3

+ +
≠ −


+
= = −



−
≠


+ −
= =


=


e)
3
0
3x 2 2
nếu x 2
x 2
f(x) tại x 2
3
nếu x 2
4

+ −
≠


−
= =


b)
2
2
0
cosx 1 sin x
nếu x 0
f(x) tại x 0
sin x
10 nếu x 0

− +

≠
= =


− =

c)
0
1 cos x
nếu x 0
sin x.sin2x
f(x) tại x 0
1
nếu x 0
8

−
≠

e)
0
sin x
nếu x 1
f(x) tại x 1
x 1
nếu x 1
π

≠

= =
−


− π =

f)
2
0
1 cosx
nếu x 0
sin x
f(x) tại x 0
1
nếu x 0
4

−
≠

1
x sin nếu x 0
f(x) tại x 0
x
0 nếu x 0

≠

= =


=

Bài 3: Xét tính liên tục tại x
0
của hàm số trong các trhợp sau:
a)
0
2
x 5
nếu x 5
f(x) tại x 5
2x 1 3
(x 5) 3 nếu x 5
−

>

= =
− −


−
>



= = =



+ −
+ <


d)
3
2
0
2
2
6(1 cosx)
nếu x 0
sin x
f(x) 1 nếu x 0 tại x 0
x x
nếu x 0
x

−
>




− <


5