Chng 1 : iu khin ti u
Hc kì 1 nm hc 2005-2006 Chng 1

IU KHIN TI U Vài nét lch s phát trin lý thuyt điu khin .
- Phng pháp bin phân c đin Euler_Lagrange 1766 .
- Tiêu chun n đnh Lyapunov 1892 .
- Trí tu nhân to 1950 .
- H thng điu khin máy bay siêu nh 1955 .
- Nguyên lý cc tiu Pontryagin 1956 .
- Phng pháp quy hoch đng Belman 1957 .
- iu khin ti u tuyn tính dng toàn
phng LQR ( LQR : Linear Quadratic
Regulator ) .
- iu khin kép Feldbaum 1960 .
- Thut toán di truyn 1960 .
- Nhn dng h thng 1965 .
- Logic m 1965 .
- Lut điu khin h thng thích nghi mô hình tham chiu MRAS và b t
chnh đnh STR 1970 ( MRAS : Model-Reference Adaptive System , STR :
Self-Tuning Regulator ) .
- H t hc Tsypkin 1971 .
- Sn phm công nghip 1982 .
- Lý thuyt bn vng 1985 .
- Công ngh tính toán mm và điu khin tích hp 1985 .


ca đi lng đc điu khin x so vi tr s mong mun x
0
, lng quá điu
khin ( tr s cc đi x
max
so vi tr s xác lp
( )
x ∞ tính theo phn trm ) ,
thi gian quá đ … hay theo mt ch tiêu hn hp trong điu kin làm vic
nht đnh nh hn ch v công sut , tc đ , gia tc … Do đó vic chn mt
lut điu khin và c cu điu khin đ đt đc ch đ làm vic ti u còn
tùy thuc vào lng thông tin ban đu mà ta có đc .
 đây chúng ta có th thy đc s khác bit ca cht lng ti u khi
lng thông tin ban đu thay đi ( Hình 1.2 ) .
Chng 1 : iu khin ti u
Trang 3 Hình 1.2 :
Ti u cc b và ti u toàn cc .

Khi tín hiu điu khin u gii hn trong min [u
1
,u
2
] , ta có đc giá tr ti
u cc đi
1
J
∗

i
J
∗
thì đó là giá tr ti u cc b . Nhng khi bài toán
không có điu kin ràng buc đi vi u thì giá tr ti u là
()
i
JextremumJ
∗∗
= vi
i
J
∗
là các giá tr ti u cc b , giá tr J
∗
chính là
giá tr ti u toàn cc .
iu kin tn ti cc tr :
•
o hàm bc mt ca J theo u phi bng 0 :
0=
∂
∂
u
J

• Xét giá tr đo hàm bc hai ca J theo u ti đim cc tr :
0
2
2

điu khin ti u là xác đnh tín hiu điu khin u(t)
làm cho ch tiêu cht lng J đt cc tr vi nhng điu kin hn ch nht
đnh ca u và x .
Ch tiêu cht lng J thng có dng sau :
0
[(),(),]
T
JLxtuttdt=
∫

Trong đó L là mt phim hàm đi vi tín hiu x , tín hiu điu khin u và
thi gian t .
Ly ví d v bài toán điu khin đng c đin mt chiu kích t đc lp
kt
constΦ= vi tín hiu điu khin u là dòng đin phn ng i
u
và tín hiu ra
x là góc quay
ϕ
ca trc đng c .
Hình 1.3 :
ng c đin mt chiu kích t đc lp .

Ta có phng trình cân bng moment ca đng c :
Chng 1 : iu khin ti u
Trang 5


ki M
dt
ϕ
= (3)
Nu xét theo thi gian tng đi bng cách đt :

/
M q
tk M
τ
=

thì (3) có dng :

2
2
u
d
i
d
ϕ
τ
= (4)
T đó ta có :

2
2
dx
u
d

0
1

PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 6
http://www.khvt.com
• Bài toán nng sut ti u :
Nng sut  đây đc xác đnh bi góc quay ln nht ca đng c trong thi
gian T nht đnh . Khi đó ch tiêu cht lng J có dng :

0
00
[ (), (),] ()
TT
T
JLxtuttdt tdt
ϕϕ ϕ
==−=
∫∫


Do đó [ (), (),] () ()Lxtutt t xt
ϕ
= =


và ta s có ch tiêu cht lng J đi vi
bài toán nng sut ti u nh sau :
()
0
T

2
0
00
()
TT
ec
uu T uu
M
kM
QUidt Ridt
k
ϕϕ
== −+
∫∫

 có đc tiêu hao nng lng ti thiu , ta ch cn tìm cc tiu ca J :

2
00
[(),(),]
TT
u
JLxtuttdtidt==
∫ ∫

Mà dòng đin phn ng i
u
 đây chính là tín hiu điu khin u . Vì vy ch
tiêu cht lng J đi vi bài toán nng lng ti thiu có dng :
2

)3(
2
1
OduLduduLdL
uu
TT
u
++= (1.1)
Vi O(3) có th coi là s hng th 3 . Grad ca L theo u là mt vector m ct :

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
=
∂
∂
Δ
m

Δ
ji
uu
uu
L
u
L
L
2
2
2
(1.3)
L
uu
đc gi là ma trn un .
Mt đim cc tr hoc đim dng xut hin khi s bin thiên dL vi thành
phn th nht tin v 0 vi mi bin thiên du trong quá trình điu khin . Vì
vy , đ có đim cc tr thì :
0
=
u
L (1.4)
Gi s đang  ti đim cc tr , có L
u
= 0 nh (1.4) .  đim cc tr tr
thành đim cc tiu , chúng ta cn có :
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 8
http://www.khvt.com

)3(

uu
L , thì thành phn th hai s không hoàn
toàn ch ra đc loi ca đim cc tr .
2. Ti u hóa vi các điu kin ràng buc
Cho hàm ch tiêu cht lng vô hng
( )
uxL , , vi vector điu khin
m
Ru ∈
và vector trng thái
n
Rx ∈
. Bài toán đa ra là chn u sao cho hàm
ch tiêu cht lng L(x,u) đt giá tr nh nht và tha mãn đng thi các
phng trình điu kin ràng buc .

( )
0, =uxf (1.7)
Vector trng thái x đc xác đnh t mt giá tr u cho trc bng mi quan
h (1.7) , vì th f là mt h gm n phng trình vô hng ,
n
Rf ∈

.
 tìm điu kin cn và đ ca giá tr cc tiu , đng thi tha mãn
()
0, =uxf , ta cn làm chính xác nh trong phn trc . u tiên ta khai
trin
dL di dng chui Taylor , sau đó xác đnh s hng th nht và th
hai .

x
T
u
)(
1−
−= (1.11)
o hàm riêng ca
L theo u cha hng s f đc cho bi phng trình :

()
x
T
x
T
uu
T
ux
T
x
T
u
df
LffLffLL
u
L
−−
=
−=−=
∂
∂

T
x
T
uu
LffL
(1.14)
ây là điu kin cn đ có giá tr cc tiu . Trc khi đi tìm điu kin đ ,
chúng ta hãy xem xét thêm mt vài phng pháp đ có đc (1.14) .
Vit (1.8) và (1.9) di dng:

0=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

⎤
⎢
⎣
⎡
ux
T
u
T
x
T
ff
LL
λ
(1.16)
Hay:
0=+
x
TT
x
fL
λ
(1.17)

0=+
u
TT
u
fL
λ
(1.18)

(1.20)
Vì vy:

()
λ
−==
∂
∂
−
=
T
x
T
x
du
fL
f
L
1
0
(1.21)
Do đó -
λ
là đo hàm riêng ca L vi bin điu khin u là hng s . iu này
nói lên tác dng ca hàm ch tiêu cht lng vi bin điu khin không đi
khi điu kin thay đi .
Nh là mt cách th ba đ tìm đc (1.14) , ta phát trin thêm đ s dng
cho các phân tích trong nhng phn sau . Kt hp điu kin và hàm ch tiêu
cht lng đ tìm ra hàm Hamilton .


),( uxf
H
H =
∂
∂
=
λ
λ
(1.24)
Gi s chúng ta chn các giá tr ca u tha mãn :
0
=
λ
H (1.25)
Sau đó ta xác đnh x vi giá tr ca u đã có bng phng trình điu kin ràng
buc
()
0, =uxf . Trong trng hp này hàm Hamilton tng đng vi
hàm ch tiêu cht lng:
Chng 1 : iu khin ti u -
Trang 11

LH
f
=
=0
(1.26)
Nhc li : nu f = 0 , ta s tìm đc dx theo du t (1.10) . Ta không nên xét
mi quan h gia du và dx đ thun tin trong vic chn
λ

Nu gi nguyên (1.25) và (1.27) thì:
duHdHdL
T
u
== (1.29)
Vì H = L, đ có đc đim dng ta phi áp đt điu kin:
0
=
u
H (1.30)
Tóm li , điu kin cn đ có đc đim cc tiu ca L(x,u) tha mãn điu
kin ràng buc f(x,u) = 0 gm có :

0==
∂
∂
f
H
λ
(1.31a)

0=+=
∂
∂
λ
T
xx
fL
x
H

, chúng ta chn
λ
sao
cho dx và du có th đc xem là hai đi lng bin thiên đc lp vi nhau .
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 12
http://www.khvt.com
Ly đo hàm riêng ca H ln lt theo các bin nh trong (1.31) , nh th ta
s có đc đim dng .
Khi đa ra tha s Lagrange , chúng ta có th thay th bài toán tìm giá tr
nh nht ca L(x,u) vi điu kin ràng buc f(x,u) = 0 , thành bài toán tìm
giá tr nh nht ca hàm Hamilton H(x,u,
λ
) không có điu kin ràng buc .

iu kin đã (1.31) xác đnh mt đim dng . Ta s tip tc chng minh đây
là đim cc tiu nh đã thc hin trong phn trc .
Vit chui Taylor m rng cho đ bin thiên ca L và f nh sau : [] []
)3(
2
1
O
du
dx
LL
LL
dudx
du


[]
[]
)3(
2
1
O
du
dx
ff
ff
dudx
du
dx
ffdf
uuux
xuxx
TT
ux
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢

du
dx
HH
HH
dudx
du
dx
HH
df
dL
uuux
xuxx
TTT
u
T
x
T
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

x
H , 0=
u
H và 0=df . Sau đó, t
(1.33) ta có :
)2(
1
Oduffdx
ux
+−=
−
(1.35)

Chng 1 : iu khin ti u -
Trang 13
Thay vào (1.34) ta đc :

[]
)3(
2
1
1
Odu
I
ff
HH
HH
IffdudL
ux
uuux

T
x
T
uuxuxxu
T
x
T
uuu
ux
uuux
xuxx
T
x
T
u
f
uu
f
uu
ffHffffHHffH
I
ff
HH
HH
IffLL
11
1
−−−−
−
−

2
Ru ∈ và :

[]
ussu
qq
qq
uuL
T
21
2212
1211
2
1
)( +
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
(1)

uSQuu
TT
+=
Δ
2
1

<q
và 0
2
122211
>− qqq ) . Nu
0<Q
, thì u* là đim
yên nga . Nu
0=Q , thì u* là đim k d , chúng ta không th xác đnh
đc đó là cc tiu hay cc đi t L
uu
.
Bng cách thay (4) vào (2) ta s tìm đc giá tr ca hàm ch tiêu cht lng
nh sau :

SQSSQQQSuLL
TT 111**
2
1
)(
−−−
Δ
−==

SQS
T 1
2
1
−
−=

⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−=
1
1
1
0
11
12
*
u (8)
là mt cc tiu , vì L
uu
> 0 . T (6) ta thy rng giá tr nh nht ca L là L* =
-1/2 .
Các đng đng mc ca L(u) trong (7) đc v trong Hình 1.4 , vi u = [u
1

u
2

Ví d 1.2 : Ti u hóa bng tính toán vô hng .
Phn trên chúng ta đã đ cp phng pháp gii bài toán ti u bng cách s
dng các vector và gradient . Sau đây ta s tip cn bài toán vi mt cách
nhìn khác , xem chúng nh là nhng đi lng vô hng .
 chng minh , ta xét :

2
2
221
2
121
2
1
),( uuuuuuuL +++= (1)
Vi
21
,uu là các đi lng vô hng . im cc tr xut hin khi đo hàm
riêng ca L theo tt c các đi s phi bng 0 :

0
21
1
=+=
∂
∂
uu
u
L
(2a)


⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
u
x
u
x
uxuxL 10
21
11
2
1
),( (1)

(6)
Gii (4) , (5) , (6) ta đc : x = 3 , u = -2 ,
λ
= -1 . im dng là :

( ) ( )
2,3, −=
∗
ux (7)
 xác đnh (7) là đim cc tiu , tìm ma trn un theo (1.37) :
2=
f
uu
L (8)
0>=
f
uu
L , vì th
( ) ( )
2,3, −=
∗
ux
là đim cc tiu .
Các đng đng mc ca L(x,u) và điu kin ràng buc (2) đc v trong
Hình 1.5 .
Grad ca f(x,u) trong h ta đ (x,u) đc vit nh sau:
Chng 1 : iu khin ti u -
Trang 17

⎥

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
12ux
ux
L
L
u
x
(10)
Ti đim cc tiu (3,-2) , grad L(x,u) s có giá tr :

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
1

⎛
+=
2
2
2
2
2
1
),(
b
y
a
x
uxL
(1)
Vi điu kin ràng buc tuyn tính :

( )
cmuxuxf −+=, (2)
Các đng đng mc ca L(x,u) là nhng ellip ; nu L(x,u) = F/2 , thì bán
trc chính và bán trc ph là al và bl . iu kin ràng buc f(x,u) là mt h
các đng thng cha thông s c . Xem Hình 1.6 ( lu ý rng u là bin đc
lp , vi x đc xác đnh bi f(x,u) = 0 ) .
Hàm Hamilton là :

)(
2
1
2
2

λ
a
x
H
x
(5)

0
2
=+= m
b
u
H
u
λ
(6)

Hình 1.5 :
Các đng đng mc ca L(x,u) và điu kin ràng buc f(x,u) . Hình 1.6 : Các đng đng mc ca L(x,u) và điu kin ràng buc f(x,u).

Chng 1 : iu khin ti u -
Trang 19
 gii h phng trình này , trc ht ta s dng phng trình (6) đ đa
ra bin điu khin ti u theo tha s Lagrange .

λ
mbu

1
2
22
cx
a
mb
λ
(8)
Gii ra ta đc giá tr ca đim dng :

222
2
mba
ca
x
+
= (9)

222
mba
c
+
−=
λ
(10)
Thay (9) , (10) vào (7) , ta có đc giá tr u ti u :

222
2
mba

L
+
= (13)
 kim chng (1.21) , lu ý rng:

λ
−=
∂
∂
=
∂
∂
=
c
L
f
L
du
*
0
*
(14)

Gradf trong min (u,x) là :

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
2
a
x
b
u
L
L
x
u
(16)
và ti đim dng (11) , (9) s có giá tr :

222
*
1
mba
c
m
L
L
x
u
+


RuuQxxL
TT
2
1
2
1
+= (1)
vi điu kin ràng buc tuyn tính :
0
=++= cBuxf (2)
vi Q , R và B là các ma trn , c là vector n hàng . Gi s Q ≥ 0 và R > 0
( vi Q , R là ma trn đi xng ) . Các đng đng mc ca L(x,u) là các
đng ellip trong không gian , và f(x,u)=0 là mt phng ct ngang qua
chúng . im dng xut hin khi gradf và gradL song song vi nhau .
Hàm Hamilton là :
)(
2
1
2
1
cBuxRuuQxxH
TTT
++++=
λ
(3)
và các điu kin đ có đim dng là :
0
=++= cBuxH
λ

+=
λ
(9)
dùng kt qu này thay vào (7) cho ta :
)(
1
QcQBuBRu
T
+−=
−
(10)
hay :
( )
QcBRuQBBRI
TT 11 −−
−=+

( )
QcBuQBBR
TT
−=+ (11)
Vì R > 0 và B
T
QB ≥ 0 , chúng ta có th tìm nghch đo ca (R + B
T
QB) và vì
th giá tr u ti u là :
QcBQBBRu
TT 1
)(

11
−
−−
+=
λ
(15)
nu
0≠Q . Các kt qu trên s rút li thành kt qu ca ví d 1.4 trong
trng hp vô hng .
 xác đnh bin điu khin (12) là mt cc tiu , ta s dng (1.37) đ xác
đnh ma trn un là xác đnh dng vi giá tr ca R và Q đc gii hn .
QBBRL
Tf
uu
+= (16)
S dng (12) và (13) th vào (1) ta có đc giá tr ti u :
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 22
http://www.khvt.com

( )
[ ]
cQBQBBRQBQcL
TTT
1
2
1
*
−
+−= (17)


Và :
0),(
22222
=−−= cxyyxf (4)
vi
()
11
, yx là 1 đim trên parabol và
( )
22
, yx là 1 đim trên đng thng .
Chúng ta chn hàm ch tiêu cht lng là mt na ca bình phng khong
cách gia 2 đim này .

2
21
2
212121
)(
2
1
)(
2
1
),,,( yyxxyyxxL −+−= (5)
 gii bài toán này , ta x lý bng cách đt :

⎥
⎦
⎤

x
x
f
f
f
(6)
và s dng cách tip cn vector ; tuy nhiên , s kt hp gia mt điu kin
ràng buc tuyn tính và mt điu kin phi tuyn s làm phc tp thêm bài
toán . Thay vào đó ta s s dng các đi lng vô hng .

Chng 1 : iu khin ti u -
Trang 23

Hình 1.7 :
Bài toán vi nhiu điu kin ràng buc .

a ra mt tha s Lagrange cho mi điu kin ràng buc , hàm Hamilton
là :

)()()(
2
1
)(
2
1
2221
2
111
2
21

y
(10)
0
221
2
=++−=
λ
yyH
y
(11)
0
1
2
11
1
=−−−= dbxaxyH
λ
(12)
0
22
2
=−−= cxyH
λ
(13)
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 24
http://www.khvt.com
Gii (12) đ có đc
1
y nh sau :
dbxaxy ++=

1
(17)
Theo (10) và (11) ,
λ
1
= -
λ
2
, vy t (15) và (17) ta có :

211
xx
−=
λ( )
cdxbax −+−+−=
1
2
11
)1(
2
1
λ
(18)
Cui cùng , chú ý rng (8) là :

( )( )
012

1
,y
2
) . Mt khi tìm đc x
1
thì ta s tìm đc x
2
, y
1
và y
2
ln lt
theo các phng trình (17) , (14) và (15) . Thay các giá tr ti u này vào (5)
s cho chúng ta khong cách ngn nht là
*2L .

Chng 1 : iu khin ti u -
Trang 25
1.2 CÁC PHNG PHÁP IU KHIN TI U
1.2.1 Phng pháp bin phân c đin Euler_Lagrange
1. Gii thiu
Nhim v ca điu khin ti u là gii bài toán tìm cc tr ca phim hàm
[(),()]Lxt ut bng cách chn tín hiu điu khin u(t) vi nhng điu kin
hn ch ca đi lng điu khin và ta đ pha . Mt trong nhng công c

(1.38)
có cc tr .
L là hàm có đo hàm riêng bc mt và bc hai liên tc vi mi bin ca nó .
 thng nht ,  đây ta ly t
0
= 0 và t
1
= T .
Bin đi ca J do
δ
u to nên là : )()()( uJuuJuuJ
−+=+Δ
δδ∫∫
−++=
TT
dttuuLdttuuuuL
00
),,(),,(

δδdttuuLtuuuuL
T

+
∂
∂
=Δ
∫
(1.40)