Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠ I HỌ C THÁ I NGUYÊN
TRƯỜ NG ĐẠ I HỌ C SƯ PHẠ M

DƯƠNG THỊ HỒNG NGỌC MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU GẦN ĐÂY VỀ
CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TÁCH BIẾN

CHUYÊN NGÀ NH : TOÁN GIẢI TCH
M SỐ : 60.46.01
LUẬ N VĂN THẠ C SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚ NG DẪ N KHOA HỌ C: TS . NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI
Thái Nguyên- 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

MỤC LỤC


MỞ ĐẦU

Nghiên cứu về ánh xạ chỉnh hình tách biến là một trong những hướng
nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Những kết quả cơ bản trong lĩnh
vực này gắn liền với các tên tuổi như Riemann, Hartogs, Oka, Bernstein ...
Ngày nay, nhiều nhà toán học trên thế giới vẫn tiếp tục quan tâm đến vấn đề
trên bằng những cách tiếp cận khác nhau nhằm giải quyết được những bài
toán cụ thể đặt ra trong lĩnh vực đó. Trong đó có hai bài toán cơ bản sau:
Bài toán 1: Cho
,XY
là hai đa tạp phức, giả sử
D
( tương ứng
G
)
là một tập con mở của
X
(tương ứng
Y
),
A
(tương ứng
B
) là một tập con
của
D
(tương ứng
G
) và
Z



( , )f W ZÎ O
sao cho với mọi
( ) ,WÎz,h

( , )f z w
dần tới
( , )f zh
khi


( , )z w WÎ
dần tới
()z,h
.
Trước khi nói đến bài toán thứ hai ta đưa ra một vài thuật ngữ và ký
hiệu sau:
Cho
, , , , ,X Y D G A B
và
Z
và
W
như trong bài toán 1.Giả sử
,MW

tập hợp
 
: :( , ) , ,

,,
a
M a AÎ
(tương ứng tất cả các thớ nằm ngang
,,
b
M b BÎ
) có tính chất này.
Bài toán 2: Với giả thiết ở trên và ký hiệu


W
là bao chỉnh hình của
W
được
đưa ra trong bài toán 1 .Với mỗi tập con
MW
đa cực địa phương đóng
tương đối(tương ứng mỏng) trong các thớ trên
A
và
B
(có thể
M Æ
) thì
tồn tại một tập"tối ưu" các điểm kỳ dị



MW

tới
( , )f zh
khi



( , ) \z w W MÎ
dần tới
()z,h
.
Có rất nhiều nhà toán học đã nghiên cứu giải quyết hai bài toán trên
trong một số trường hợp cụ thể. Kết quả chủ yếu đầu tiên của chỉnh hình tách
là định lý thác triển Hartogs đối với các hàm chỉnh hình tách (xem [9]) giải
quyết bài toán 1 trong trường hợp
, , , ,       
nm
X Y A D B G Z
và
kết quả là


W D G
. Sử dụng hàm cực trị tương đối, Siciak đã giải quyết
bài toán 1 trong trường hợp
, , ,     A D B G X Y Z
. Các bước
nghiên cứu tiếp theo được bắt đầu bởi Zahariuta vào năm 1976 sau đó là
Nguyễn Thanh Vân và Zeriahi. Shiffman là người đầu tiên tổng quát hoá một
số kết quả của Siciak đối với các ánh xạ chỉnh hình tách với giá trị trong
không gian giải tích phức (xem [33]).

Bài toán 2 được bắt đầu với một bài báo của Oktem năm 1998 (xem
[24, 26]). Trong công trình gần đây của mình Henkin và Shananin đã đưa ra
một vài áp dụng kết quả của Bernstein trong lý thuyết chỉnh hình tách mà cụ
thể là đối với bài toán 2. Đó là kết quả chung nhất trong hướng nghiên cứu
này.
Nguyễn Việt Anh đã tổng quát hoá các kết quả nghiên cứu xung
quanh hai bài toán 1 và bài toán 2 trong trường hợp
,XY
là các đa tạp tuỳ ý.
Chủ yếu tác giả sử dụng lý thuyết Poletsky về các đĩa, định lý Rosay trên các
đĩa chỉnh hình và định lý Alehyane - Zeriehi. Ngoài ra, tác giả đã vận dụng
một kỹ thuật quan trọng khác là sử dụng các tập mức của độ đo đa điều hoà
dưới, định lý chữ thập hỗn hợp.
Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại, cùng những
chứng minh chi tiết một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình
tách biến. Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, hai chương chính, kết luận
và danh mục các tài liệu tham khảo.
Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm miền xấp xỉ, tập
đa cực, hàm cực trị tương đối, độ đo đa điều hoà dưới, chữ thập và ánh xạ
chỉnh hình tách, không gian phức có tính chất thác triển Hartogs.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
Phần cuối chương, chúng tôi trình bày các kết quả liên quan và một
số vấn đề của lý thuyết đa thế vị như lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý
Rosay trên các đĩa chỉnh hình.
Chƣơng 2: Một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình
tách biến.

chiều và đếm được ở vô cực, tất cả các không gian giải tích phức được thu
gọn, bất khả quy và đếm được ở vô cực. Với một tập con
S
của không gian
tôpô
M
, ký hiệu
S
là bao đóng của
S
trong
M
. Với hai không gian giải
tích phức
(tương ứng, hai không gian tôpô)
D
và
Z
,
( , )DZO
( tương ứng
( , )DZC
) là
ký hiệu tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình ( tương ứng, liên tục) từ
D
vào
Z
.
1.1. Miền xấp xỉ
1.1.1. Định nghĩa. Cho

aa
z
tạo nên một cơ sở các lân cận mở
của
z
(tức là với mỗi lân cận mở
U
của một điểm
DÎz
tồn tại
Î I
z
a
sao cho
()AÎ U
a
zz
).
(ii) Với mọi
DÎz
và
z
a IÎ
,
()AÎ
a
zz
.

()A


6
D
được sử dụng để giải quyết vấn đề giới hạn tại các điểm trong
D
của các
ánh xạ xác định trên một số tập con mở của
D
. Hơn nữa từ định nghĩa 1.1.1
suy ra rằng trong một vài trường hợp đặc biệt họ con
,
( ( ))
DI
A
z
a z a
z
không
phụ thuộc vào việc chọn hệ các miền xấp xỉ
A
. Vì vậy hai hệ chính tắc của
các miền xấp xỉ bất kỳ là tương đương, ta có quy ước như sau:
Với mỗi tập mở
DX
chúng ta cố định một hệ chính tắc của các
miền xấp xỉ. Khi đó muốn xác định một hệ các miền xấp xỉ
A
của một tập mở
DX
ta chỉ cần chỉ rõ họ con

( limsup )( ): sup limsup ( ) ,
I  

z
w z w z
u z u w z D
A
A Î
a
a

Từ định nghĩa 1.1.1(i),
( limsup )
D
uA |
trùng với khái niệm hàm
chính quy hoá nửa liên tục trên thông thường của
.u

1.1. 2. Một số hệ các miền xấp xỉ
Có rất nhiều hệ các miền xấp xỉ có ứng dụng trong giải tích phức.
Trong phần này chúng ta sẽ giới thiệu một số các hệ đó.
1.1.2.1. Hệ chính tắc của các miền xấp xỉ
Hệ chính tắc của các miền xấp xỉ được đưa ra trong định nghĩa 1.1.1
(i)-(ii').
1.1.2.2. Hệ các miền xấp xỉ góc với đĩa đơn vị mở
Cho
E
là một đĩa đơn vị mở của


là hàm argument thông thường.
,0
2
( ( ))


a
za
z
E <<
A
là hệ các miền xấp xỉ góc( hoặc Stolz) của
E
. Trong trường
hợp này
A
-giới hạn cũng được gọi là giới hạn góc.
1.1.2.3. Hệ các miền xấp xỉ góc của các tập con mở "tốt" của các diện
Riemann.
Chúng ta sẽ khái quát việc xây dựng (cho đĩa đơn vị mở) trong
trường hợp tổng quát. Đặc biệt hơn, chúng ta sẽ sử dụng mô hình có tính địa
phương hệ các miền xấp xỉ góc của
E
.
Cho
X
là một đa tạp phức của chiều 1( trong các phát biểu khác
X
là
diện Riemann) và

z
được gọi là kiểu 2. Dễ dàng nhận thấy nếu
z

là kiểu 2 thì tồn tại một lân cận mở
V
của
z
và hai miền Jordan rời nhau
12
,VV
sao cho
12
V D V VÇÈ
. Hơn nữa
D
được gọi là tốt trên một tập con
A
của
D
nếu
D
là tốt tại tất cả các điểm của
A
.
Sau đây là một ví dụ đơn giản mà có thể minh hoạ cho định nghĩa
trên. Cho
G
là hình vuông mở trong


, tất cả các điểm của
G
là
kiểu 1 và tất cả các điểm của
11
,
22




là kiểu 2.
Giả sử
D
là tốt trên một tập con khác rỗng
A
của
D
. Ta định nghĩa
hệ các miền xấp xỉ góc giá trên
A
:
,
( ( ))


z
a
za
z

miền xấp xỉ góc tại điểm
0
2
( ) : ( ( ( )))

  A
<<
Î E
a
a
zz
tới điểm
Î Dz
(xem
[28]).
Bằng cách sử dụng các ánh xạ bảo giác theo con đường cổ điển ta có
thể chuyển nhiều khái niệm tồn tại trên
E
(tương ứng
E
) tới
D
(tương ứng
D
).
1.1.2.4. Hệ các miền xấp xỉ nón
Cho
 
n
D

( ( ))

z
aa
z
I
A
trùng với các miền xấp xỉ chính tắc.
• Nếu
Î Az
thì
 
( ): : . ( , ) ,Tz D z zA distÎ<
az
z z a

trong đó
: (1, )I
z
và
( , )Tz
z
dist
là ký hiệu khoảng cách Euclid từ
điểm
z
tới
T
z
.

là một tập con mở, ký hiệu
()DPSH
là tập của tất cả các hàm đa điều hoà dưới trên
D
. Khi đó
+
AD
được gọi là mỏng trong
D
nếu mọi điểm
aDÎ
, tồn tại lân
cận liên thông

a
U U D
và một hàm chỉnh hình
f
trên
D
không đồng nhất
bằng không sao cho
1
(0)

U A fÇ
.
+
AD
được gọi là đa cực trong

A
được gọi là không đa cực (tương ứng không đa cực địa phương)
nếu nó không đa cực (tương ứng không đa cực địa phương).
Theo một kết quả cổ điển của Josefson và Bedford (xem [20] và [4])
ta thấy nếu
D
là một miền Riemann- Stein thì
AD
là đa cực địa phương
nếu và chỉ nếu nó là đa cực.
1.3. Hàm cực trị tƣơng đối
Với một tập
AD
đặt

 
,
: sup : ( ), 1 trong , -limsup 0 trong ,  
AD
h u u D u D u APSH AÎSố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10
Định nghĩa 1.3.1. Với một tập
AD
hàm cực trị tương đối của
A
đối với

AD
là đa chính quy địa phương tại một điểm
aAÎ

nếu
( , , ) 0w a A U D UÇÇ
với mọi lân cận mở
U
của
a
.
+ Tập
A
được gọi là đa chính quy địa phương nếu nó là đa chính quy
địa phương tại mọi điểm
ÎaA
.
Ta ký hiệu

A
là tập hợp sau


( ) : Ç È Î ÇA D a A D A
là đa chính quy địa phương tại

a
.
Nếu
AD

, đặt
 
()
()




PA
A A PA
trong đó
( ) ( , ): :

  A A P DA {
là đa chính quy địa phương,

PA}
,
Hàm độ đo đa điều hoà dưới của
A
đối với
D
là hàm

( , , )w AD
được
định nghĩa bởi :

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


tương đối của Siciak
( , , )w AD
trong hai trường hợp đặc biệt quan trọng:
AD
và
,AD
trong phần này ta chỉ thảo luận trường hợp
AD
còn
trường hợp
AD
sẽ thảo luận ở phần 2.2 và 2.5.
Nếu
A
là một tập con mở của một đa tạp phức tuỳ ý
D
, thì dễ thấy


( , , ) ( , , ),  Îz A D z A D z Dww
.
Nếu
A
là một tập con (không nhất thiết là mở) của một đa tạp phức
tuỳ ý
D
thì ta chứng minh được rằng (xem bổ đề 7.1 trong [22])


( , , ) ( , , ),

12
Cho
,XY
là hai đa tạp phức,
DX
và
GY
là các tập mở khác
rỗng, cho
,A D B G
. Hơn nữa
D
(tương ứng
G
) được trang bị một hệ các
miền xấp xỉ
,
( ) ( ( ))


DI
D
z
a
za
zAA
(tương ứng
,
( ) ( ( ))


( , ; , ): (( ) ) ( ( )),
   
   
   
W A B D G D A B A B G
W A B D G A G D B
W A B D G D A B A G B
oo
X
X
X
ÈÈÈ
È
ÈÈÈ

trong đó

A
và

B
được định nghĩa trong định nghĩa độ đo đa điều hoà dưới.
Hơn nữa đặt

  
( , ): ( , , ) ( , , ), ( , ) ,
( , ): ( , , ) ( , , ), ( , ) .
  
  
z w z A D w B G z w D G

w
w

1.5.2. Ánh xạ chỉnh hình tách
Cho
Z
là không gian giải tích phức và
MW
là một tập con đóng
tương đối trong các thớ trên
A
và
B
.
Ta nói rằng một ánh xạ
0
: f W M Z\
là chỉnh hình tách và viết
là
0
( , )OÎ
S
f W M Z\
nếu với mỗi
aAÎ
( tương ứng
ÎbB
) ánh xạ
( , )
a

a
BM
fa
\

(tương ứng
()
( , )
DA

È
|
b
M
fb
\
) là liên tục.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13
Cho
W
là một tập con mở của
DG
, một điểm
( , ) Î DGzh
được
gọi là một điểm cuối của
W

Từ (1.1) ta suy ra nếu


, AB
thì
 

End( ).WW

1.5.3.
A
- giới hạn
Cho
S
là một tập con đóng tương đối của


W
và


( , ) End( )Î WSzh \
. Khi đó một ánh xạ


: f W S Z\
được gọi là nhận
A
-
giới hạn

+ Một ánh xạ
: fZM
được gọi là bị chặn nếu tồn tại một lân
cận mở
U
của
()f M
trong
Z
và một phép nhúng chỉnh hình
f
của
U

trong đa đĩa đơn vị của
k

sao cho
()

U
là tập giải tích trong đa đĩa này.
+
f
được gọi là bị chặn địa phương dọc theo
NM
nếu với mỗi
điểm
NÎz
có một lân cận mở

22
( ) :( ) , ( , ) (0,0),
( , ):
1:1, ( ) (0,0).

  




z w z w z w
f z w
zw
[]
[] ,

thì
01
( ( , ; , ), )
s
XPOÎf
nhưng
f
không liên tục tại (0,0).
Định nghĩa 1.6.1. Cho số nguyên
2p
, với
01r<<
tập hợp


được gọi là có tính chất thác
triển Hartogs với chiều
p
nếu mọi ánh xạ
( ( ), )OÎ
p
f H r Z
đều thác triển tới
ánh xạ

( , )OÎ
p
f E Z
. Hơn nữa,
Z
được gọi là có tính chất thác triển Hartogs
nếu nó có tính chất thác triển Hartogs với mọi chiều
2p
.
Ivashkovich đã chứng minh được nếu
Z
có tính chất thác triển
Hartogs trong chiều 2 thì nó sẽ đúng với mọi chiều
2p
(xem[12]).
Shiffman (xem [33]) đã chứng minh được một đặc trưng quan trọng
của không gian có tính chất thác triển Hartogs như sau:
Định lý 1.6.3 (Shiffman).
Không gian giải tích phức
Z


15
Định lý 1.6.4 (Alehyane - Zeriahi ).
Cho
,XY
là các đa tạp Stein, và
,D X G Y
là các miền,
,A D B G
là các tập con không đa cực. Cho
Z
là không gian giải tích
phức có tính chất thác triển Hartogs. Khi đó với mỗi ánh xạ
: f W Z
như
trong giả thiết của bài toán 1 thì tồn tại một ánh xạ duy nhất



( , )f W ZOÎ

sao cho

ff
trên


WWÇ
.
Định lý 1.6.4 vẫn đúng với chữ thập N- lá (

B)
là một tập mở khác rỗng của
D
(tương ứng
.G)
Khi đó với mỗi
hàm
( , )fWCÎ
thoả mãn giả thiết của bài toán 1 với
 Z
thì tồn tại một
hàm duy nhất

 
( , ) ( , )f W W WCOÎ È Ç
sao cho

ff
trên
W
. Trong đó


 
: ( , ) : ( , , ) ( , , ) 1 ,  W z w D G z A D w B GÎ<ww

và
( , , ) ADw
và
( , , ) BGw

A
của
M
, đặt

,
1, ,
1 ( ):
0, .
A
A
A




z
z
z
M
M
Î
Î \

Rosay đã chứng minh được một kết quả đáng chú ý sau
Định lý 1.7.1( Định ký Rosay [32]).
Giả sử
u
là một hàm nửa liên tục trên trên đa tạp phức
M

Bổ đề 1.7.2.
Nếu
T
là một tập con mở của
E
, thì

2
,
0
1
(0, , ) 1 ( ) .
2
ed







Ç
i
E T T
T E E
\
w

Kết quả sau đây là một hệ quả quan trọng của định lý Rosay nêu lên
mối liên hệ giữa phiếm hàm Poisson và độ đo đa điều hoà dưới.

là các đa tạp phức tuỳ ý,
Z
là không gian giải tích phức có
tính chất thác triển Hartogs.
2.1. Dạng tổng quát của định lý Alehyane - Zeriehi trong trƣờng hợp
AD
,
BG
.
Chúng tôi sẽ đưa ra những áp dụng đầu tiên của lý thuyết Poletsky
trên các đĩa và định lý Rosay trên các đĩa chỉnh hình. Chú ý rằng dưới giả
thiết
AD
,
BG
và các định nghĩa về chữ thập 2- lá
W
, phần trong
W
o
và
phần chính quy

W
ở phần 1.5 ta có
WW
o
và
 


là các đa tạp phức tuỳ ý,
DX
và
GY
là các tập mở và
,A D B G
là các tập con không đa cực địa phương. Cho
Z
là một không gian
giải tích phức có tính chất thác triển Hartogs. Khi đó với mỗi ánh xạ
 
,
o
Î O
S
f W Z

tồn tại một ánh xạ duy nhất



 
, Î Of W Z
sao cho

ff
trên


WW


f
như sau
Giả sử
W=
là tập tất cả các điểm
( , ) Îz w D G
với tính chất tồn tại
một đĩa chỉnh hình
( , )EDOÎf
và
tEÎ
sao cho

()tzf
và


1
( , ) ( ( ) , ; , )

fÎÇXt w A E B E G
.
Theo định lý 1.6.4 thì

f
f
là ánh xạ duy nhất trong



¦
hoàn
toàn xác định trên
W
. Từ bổ đề 1.7.2 và bổ đề 1.7.3 suy ra



WW=
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

19
Hơn nữa từ cách xây dựng

¦
, cố định mọi
ÎzD
, ánh xạ thu hẹp

( ,.)fz
là chỉnh hình trên một tập mở


 
:( , )ÎÎw G z w W
. Tuy nhiên là rất khó
để chỉ ra





WW
và


= W W W WÇ
.
ta sẽ tìm giá trị của

f
tại một điểm tuỳ ý cố định

00
( , ) Îz w W
.
Với
0

>
bất kỳ thoả mãn
00
2 1 , , ) ( , , )

z A D w B Gww<(
(2.3)
áp dụng định lý Rosay và bổ đề 1.7.3 có một đĩa chỉnh hình
( , ) EDf O


11
(0,0) ( ( ) , ( ) ; , )

X A E B E E EfyÎ Ç Ç

Hơn nữa từ
 
,
o
¦ Î O
S
WZ
, ta có ánh xạ
h
cho bởi

( , ): ( ( ), ( ))h t f tt f y t
,
11
( , ) ( ( ) , ( ) ; , )

t f yÎ Ç ÇXt A E B E E E

thuộc vào
11
( ( ( ) , ( ) ; , ), )

XO
s
A E B E E E ZfyÇÇ

.
Từ đó dễ dàng chỉ ra

ƒ
hoàn toàn xác định trên

W
. Sau đây chúng tôi
giải thích tại sao


 
,Oƒ W ZÎ
, nếu ta cố định
f
và cho
y
thay đổi (hoặc
ngược lại cho
y
cố định còn
f
thay đổi) trong xây dựng ở trên sau đó ta thực
hiện tương tự như (2.1) và (2.2) và áp dụng kết quả của bước 1 hai lần ta có
kết luận: với mọi

00
( , ) Îz w W
thì


,
n
. Với mỗi

aAÎ
( tương ứng

bBÎ
),cố định một lân cận mở
a
U
của
a
(tương ứng
b
V
của b ) sao cho
a
U
(tương ứng
b
V
) là song chỉnh hình
tới một miền bị chặn trong

m
(tương ứng
n

).














a a a a
b b b b
ab
ab
U z U z A U U a A A
V w V w B V V b B B
A U B V
D z D z A D G w G w B G
ÇÇ
Î Ç < Î Ç
Î Ç < Î Ç
Î < 1- Î < 1-
B
w
w
ww
(2.4)


ÎÇa A A
cho
( , ; , )
:
aa

a A U B U G
ff
X Ç
½
, từ
 
,
o
s
Î Of W Z
suy ra

( ( , ; , ), )
s a a
ÎÇXO
a
f A U B U G Z
.
Vì
a
U
(tương ứng
b

(2.5)
Cho
1
0
2

<
, từ (2.4) và (2.5) ta có thể dán họ ánh xạ

,
()
a
G




a
U
a A A
f
Ç
|

được ánh xạ dán


( , )





f A G
f
f D B BÇ
,

trên
trên