ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
HOÀNG THỊ KIM NGỌC
NGHIÊN CỨU HIỆU CHỈNH HÓA
TRONG BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Mã số: 60. 46. 36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH LÊ DŨNG MƯU

THÁI NGUYÊN - 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn2
▼ô❝ ❧ô❝
▼ô❝ ❧ô❝ ✶
▼ë ➤➬✉ ✷
❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✹
✶✳✶✳ ❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹
✶✳✷✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈➭ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤î♣ r✐➟♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾
❈❤➢➡♥❣ ✷✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐Õ✉ ✈➭ ➤➵♦ ❤➭♠ t➝♥❣ ❝➢ê♥❣ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥
❝➞♥ ❜➺♥❣ ✶✻
✷✳✶✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐Õ✉ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻
✷✳✷✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➵♦ ❤➭♠ t➝♥❣ ❝➢ê♥❣ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✳ ✳ ✷✺

t tì ủ ũ tỏ ò ết
s s ế t ủ ì
t t tr ộ t rờ
ọ ọ ọ ù ọ ớ
ọ t t ề ệ t ợ ộ í ệ ể

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn4
✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤✳
▼➷❝ ❞ï t➳❝ ❣✐➯ ➤➲ ❝è ❣➽♥❣ ♥❤➢♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❦❤ã tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤÷♥❣ t❤✐Õ✉
sãt✱ ❤➵♥ ❝❤Õ✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ♠♦♥❣ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ ♥❤÷♥❣ ý ❦✐Õ♥ ➤ã♥❣ ❣ã♣ ❝ñ❛ ❝➳❝ t❤➭②
❝➠ ✈➭ ❜➵♥ ➤ä❝ ➤Ó ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤✐Ö♥ ❤➡♥✳
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ✶✵✴✷✵✵✾
❍ä❝ ✈✐➟♥
❍♦➭♥❣ ❚❤Þ ❑✐♠ ◆❣ä❝
✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn5

t
ớ tệ ột số ệ ế tứ ề
t trờ ợ r ủ ó rớ t t qt
ột số ế tứ ề tí ồ sẽ ù ế tr ủ
ế tứ ị
tí ồ ó trò q trọ tr ệ ứ tí
ự tt t t ụ í í ủ
ột số ế tứ ề tí ồ ị ý ợ
ứ ó tể tr [4]
í ệ R t số tự R
n
n ề
ị ĩ ể a, b tr nề

n
ợ ọ ó ế
x A, 0 x A.
ột ó ứ ể ố 0 R
n
A R
n
ợ ọ ó ồ ế
A ừ ó ừ t ồ tứ

1
x +
2
y A, x, y A,
1
,
2
0.
ị ĩ t ồ A R
n
ể x
0
clA
N
C
(x
0
) =

t R

ệt ế d
1
= d
2
, > 0 P ù
d ủ t A ợ ọ ự ủ A ế tồ t
ù ệt d
1
d
2
ủ A s d =
1
d
1
+
2
d
2
,
1
,
2
> 0
ị ĩ ột t ợ ủ ột số ữ ử
ó ợ ọ t ồ ệ ọ ú ồ
ị ĩ B ủ ú ồ A ợ ọ ột ệ ủ
A ế ễ B ứ ột ể tr ủ ột t ó ủ A tì B
ứ t ó ủ A ứ
a, b A ế x = a + (1 )b B, 0 < < 1 a, b B
ột ệ ó tứ 0 ợ ọ ột ỉ ột ể ự

j

ủ ủ A
ị ĩ M, K t ồ rỗ ủ R
n
M K
f : K ì K R {+} ó
a, f ệ tr M ớ số > 0 ế ớ ỗ
x, y M t ó
f(x, y) + f(y, x) x y
2
.
b, f ệ t tr M ế ớ ọ x, y M t ó
f(x, y) + f(y, x) < 0.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn8
c, f ệ tr M ế ớ ỗ x, y M t ó
f(x, y) + f(y, x) 0.
d, f ệ tr M ế ớ ỗ x, y M tì
f(x, y) 0 f(y, x) 0.
ị ĩ f ồ ị tr t ồ X R
n

ế
f

x + (1 )y

f(x) + (1 )f(y),
ớ t ì x, y X số tự [0, 1]

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn9
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✺✳ ❬✹❪ ❈❤♦ ❤➭♠ f ❧å✐✱ ❦❤➯ ✈✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ A✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐
x, y ∈ A ❝ã✿
f(y) − f(x) ≥

∇f(x), y − x

.
◆Õ✉ f ❧å✐ ❝❤➷t✱ ❦❤➯ ✈✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ A✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ A ✈➭ x = y t❛
❝ã✿
f(y) − f(x) >

∇f(x), y − x

.
◆Õ✉ f ❧➭ ❧å✐ ♠➵♥❤ ✈í✐ ❤Ö sè β > 0✱ ❦❤➯ ✈✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ A✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐
x, y ∈ A t❛ ❝ã✿
f(y) − f(x) ≥

∇f(x), y − x

+ β  y − x 
2
.
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✻✳ ❬✶❪ ❈❤♦ f ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✱ ❦❤➯ ✈✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ A✳ ▼ét ➤✐Ó♠
x
∗
∈ A ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ tè✐ ➢✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ❧å✐✿
min
x∈A

∗

, ∀x ∈ A.
❚❐♣ ❤î♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ y
∗
t❤♦➯ ♠➲♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ➤➢î❝ ❦Ý ❤✐Ö✉ ∂f(x
∗
)✳
❚❐♣ ∂f(x
∗
) ♥❤×♥ ❝❤✉♥❣ t❤➢ê♥❣ ❝❤ø❛ ♥❤✐Ò✉ ➤✐Ó♠✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ∂f(x
∗
)
❝❤Ø ❝❤ø❛ ❞✉② ♥❤✃t ♠ét ➤✐Ó♠ t❛ ♥ã✐ r➺♥❣ f ❦❤➯ ✈✐ t➵✐ x
∗
✳
✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn10
í ụ f(x) = x t ọ ể x = 0 f(x) = x
1
x
t x = 0 f(x) = {y : x

y, x

,y}
ị ĩ D R
n
, D = , f : D R ột ể
x

t ột số t t ớ t
ộ ủ ế ủ ợ t tr [2]
r t ộ t tết K t ồ ó rỗ
tr R
n

ị ĩ f : K ì K R t f(x, x) =
0, x K ó t ợ t ể s
ì x

K s f(x

, y) 0, y K.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn11
❍➭♠ sè f t❤♦➯ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t f(x, x) = 0, ∀x ∈ K ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ❝➞♥
❜➺♥❣ tr➟♥ K✳
◆❤➢ ➤➲ ♥ã✐ ë tr➟♥✱ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉❛♥ trä♥❣ ❝ã t❤Ó ➤➢❛ ✈Ò ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳
❉➢í✐ ➤➞② t❛ tr×♥❤ ❜➭② sù t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈í✐ ❝➳❝ ❜➭✐
t♦➳♥ ❦❤➳❝✳
❇➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ❬✷❪
❈❤♦ J : K → R ❧➭ ♠ét ❤➭♠ sè ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥ K✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉
➤➢î❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ♥❤➢ s❛✉✿
❚×♠ x
∗
∈ K s❛♦ ❝❤♦ J(x
∗
) ≤ J(y), ∀y ∈ K. ✭✶✳✷✮
◆Õ✉ t❛ ➤➷t f(x, y) := J(y) − J(x) ✈í✐ ∀x, y ∈ K t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ t➢➡♥❣
➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳

⇒ J(y) ≥ J(x
∗
), ∀y ∈ K.
❱❐② x
∗
∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.2)✳
❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ tæ♥❣ q✉➳t ❬✷❪
✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn12
❈❤♦ T : K → 2
R
n
❧➭ ➳♥❤ ①➵ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ tõ ♠ét ➤✐Ó♠ ✈➭♦ ♠ét t❐♣ ❤î♣
s❛♦ ❝❤♦ T (x) ❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t✱ ∀x ∈ K✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥
♣❤➞♥ tæ♥❣ q✉➳t ➤➢î❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ♥❤➢ s❛✉✿
❚×♠ x
∗
∈ K, ξ
∗
∈ T (x
∗
) s❛♦ ❝❤♦

ξ
∗
, y − x
∗

≥ 0, ∀y ∈ K ✭✶✳✸✮
◆Õ✉ t❛ ➤➷t f(x, y) := max

ξ
∗
, y − x
∗

≥ 0,∀y ∈ K.
❱❐② x
∗
∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.1)✳
◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ❝❤♦ x
∗
∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.1) ♥➟♥
f(x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ K.
❚❤❡♦ ❝➳❝❤ ➤➷t t❛ ❝ã✿
f(x
∗
, y) = max
ξ
∗
∈T (x
∗
)

ξ
∗
, y − x
∗



x, y

≥ 0, ∀y ∈ K}
❧➭ ♥ã♥ ➤è✐ ❝ù❝ ❝ñ❛ ♥ã♥ K✳
✶✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn13
❈❤♦ ➳♥❤ ①➵ T : K → R
n
❧✐➟♥ tô❝✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜ï ♣❤✐ t✉②Õ♥ ➤➢î❝ ♣❤➳t
❜✐Ó✉ ♥❤➢ s❛✉✿
❚×♠ x
∗
∈ K s❛♦ ❝❤♦ T (x
∗
) ∈ K ✈➭

T (x
∗
), x
∗

= 0. ✭✶✳✺✮
◆Õ✉ t❛ ➤➷t f(x, y) :=

T (x), y − x

, ∀x, y ∈ K t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ❜ï ♣❤✐ t✉②Õ♥
(1.5) sÏ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ (1.1)✳
❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sö x

T (x
∗
), x
∗

=

T (x
∗
), y

≥ 0, ∀y ∈ K.
❱❐② x
∗
∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ (1.1)✳
◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ❝❤♦ x
∗
∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.1) t❛ ❝ã✿
f(x
∗
, y) ≥ 0 ∀y ∈ K.
❚❤❡♦ ❝➳❝❤ ➤➷t t❛ ❝ã✿
f(x
∗
, y) =

T (x
∗
), y − x
∗


≥ 0 ❤❛②

T (x
∗
), x
∗

≥ 0✳❱❐②

T (x
∗
), x
∗

= 0✳
❍➡♥ ♥÷❛✱ ❞♦
0 ≤

T (x
∗
), y − x
∗

=

T (x
∗
), y


t ể t ộ t
T : R
n
2
R
n
ớ KT (x) t t ồ rỗ ớ x K
ó t ể t ộ t ợ t ể s
ì x

K s x

T (x

)
ế t t f(x, y) := max
T (x)

x , y x

,x, y K tì t
(1.1) t ớ t ể t ộ (1.6)
t sử x

K ệ ủ (1.6)
T (x

) = x

.


), y x


, y K.
ọ y = T (x

) K t ó
f(x

, y) =

x

T (x

), T (x

) x


0, y K
x

T (x

) 0, y K
x

T (x

i
t ồ rỗ ủ R
n
i
t ế ợ ủ ờ tứ i
f
i
: K
1
ì . . .ì K
p
R trớ tổ tt ủ ờ tứ
i ế ợ ủ ữ ờ ớ i I
x = (x
1
, . . . , x
p
) K
1
ì . . . K
p
y = (y
1
, . . . , y
p
) K
1
ì . . . K
p
ị ĩ t x[y


) f
i
(x

[y
i
]), i I,y K.
ể t (1.8) ọ ể s ề ý ĩ tế ể
ó r t ì ố tủ ọ r ỏ ể
tr ố tủ ò ữ ể
tì ố tủ r ỏ ể sẽ ị t tệt
ế t t f : KìK R ợ ị ở f(x, y) :=
p

i=1
{f
i
(x[y
i
]) f
i
(x)}
ớ x, y K tì t s (1.8) t ớ t
(1.1)
t sử x

K ệ ủ t (1.8)
f
i


f
i
(x

[y
i
]) f
i
(x

)

0, y K.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn16
❚❤❡♦ ❝➳❝❤ ➤➷t ❝ã✿
f(x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ K.
❱❐② x
∗
∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ (1.1)✳
◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ❝❤♦ x
∗
∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ (1.1) ♠➭ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ (1.9)✳
❉♦ x
∗
∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ (1.1) ♥➟♥ t❛ ❝ã✿
f(x

[y
i
]), ∀y
i
∈ K
i
.
❚❛ ❧✃② x
∗
[y
j
] = x
∗
, ∀j = i
0
s✉② r❛
f
i
(x
∗
[y
j
]) − f
i
(x
∗
) = 0, ∀j = i
0
.
❑Õt ❤î♣ ❤❛✐ ➤✐Ò✉ tr➟♥ t❛ s✉② r❛

P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐Õ✉ ✈➭ ➤➵♦ ❤➭♠ t➝♥❣ ❝➢ê♥❣
❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣
❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❝ã ý ♥❣❤Ü❛ t❤ù❝ t✐Ô♥ ❧í♥✱ ❞♦ ➤ã ✈✐Ö❝ t×♠ ❧ê✐ ❣✐➯✐ ❝❤♦ ❜➭✐
t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❧➭ r✃t ❝➬♥ t❤✐Õt✳ ❈❤➢➡♥❣ ♥➭② ♥❤➺♠ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣
❝❤✐Õ✉ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➵♦ ❤➭♠ t➝♥❣ ❝➢ê♥❣ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳ ◆é✐ ❞✉♥❣
❝❤ñ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ➤➢î❝ ①❡♠ tr♦♥❣ [2], [5]✳
✷✳✶✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐Õ✉ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣
P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐Õ✉ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝➡ ❜➯♥ ♥❤✃t ➤Ó ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤è✐ ♥❣➱✉
❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳ ❚r➢í❝ t✐➟♥ t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤è✐ ♥❣➱✉✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✶✳✶✳ ❬✷❪ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ➤➢î❝ ♣❤➳t
❜✐Ó✉ ♥❤➢ s❛✉✿
❚×♠ x
∗
∈ K s❛♦ ❝❤♦ : f(y, x
∗
) ≤ 0, ∀y ∈ K. ✭✷✳✶✮
❚r♦♥❣ ➤ã✱ f : K × K → R ❧➭ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝ t❤♦➯ ♠➲♥✿
a, f(x, x) = 0, ∀x ∈ K✱
b, f(x, .) : K → R ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ✈í✐ ∀x ∈ K✳
❱í✐ ♠ç✐ x ∈ K ➤➷t L
f
(x) = {y ∈ K | f(x, y) ≤ 0}✳ ❘â r➭♥❣✱ x
∗
∈ K ❧➭
♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤è✐ ♥❣➱✉ (2.1) ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ x
∗
∈

y∈K
L

)
(b)
f(z

, y)+(1 )f(z

, x

).
x

ệ ủ t ố
x



yK
L
f
(y) =

yK
{x K | f(y, x) 0}
y = z

ớ [0, 1] t ó f(z

, x

) 0

2
= [0, 2] S
1
S
2

b, f(x, y) = max{0,| x y | 1} S
1
= {1}, S
2
= [0, 2] S
1
S
2

f ệ ĩ x, y K : f(x, y) 0 f(y, x) 0
ệ ề ủ 2.1.1 ú ó t ố t
ó ù t ệ
ó tt t ế 2.1 s ể t ố
t t ế 2.1
ớ k = 0, x
0
K r
0
= x
0

ớ x
k
r

[0, +] t lim
k+

k
= 0
(iii) í x
k+1

x
k+1
= x
k
+ t
k

P
L
f
(y
k
)
(x
k
) x
k

, (2.1c)
tr ó P
L
f

k
, x
k+1
} (2.1d)
trở ề (i) ủ ớ
ệ ề t t ế 2.1 ợ ị ú
ứ
ứ (2.1b) ú t từ tứ (2.1a) (2.1d) t ó
K
k
K
k+1
, k N.
x
0
K x
0
r
0
+ 1 s r x
0
K
0
x
0
K
k
, k N
t t ó ọ K
k

k
) = {x K | f(y
k
, x) 0}

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn20
❧➭ t❐♣ ❧å✐✱ ➤ã♥❣✳ ❉♦ ➤ã✱
x
k+1
= x
k
+ t
k

P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
k

➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✳
❱❐② ♠Ö♥❤ ➤Ò ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ 
▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✶✳✷✳ ❬✷❪ ●✐➯ sö r➺♥❣✿
+∞


k→+∞
 x
k+1
− x
k
= 0.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤
a, ❈❤♦ x
∗
∈
+∞

k=0
L
f
(y
k
)✱ tõ ❝➠♥❣ t❤ø❝ (2.1c) ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥ 2.1 t❛ ❝ã
x
k+1
= x
k
+ t
k

P
L
f
(y
k

2
= x
k
− x
∗

2
+ t
k
2
 P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
k

2
+ 2 t
k

x
k
− x
∗
, P


=
= 2 t
k

x
k
− P
L
f
(y
k
)
(x
k
) + P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
∗
, P
L
f
(y
k

k
) − x
∗
, P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
k

.
✭✷✳✺✮
❚õ (2.4) ✈➭ (2.5) t❛ ❝ã✿
 x
k+1
− x
∗

2
= x
k
− x
∗

2
+ t

+ 2 t
k

P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
∗
, P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
k

.
✭✷✳✻✮
✶✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn21
❉♦ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ trù❝ ❣✐❛♦ ✈➭ x
∗

≤ 0. ✭✷✳✼✮
❚õ (2.6), (2.7) ✈➭ ∀k ∈ N t❛ s✉② r❛✿
 x
k+1
− x
∗

2
≤ x
k
− x
∗

2
+ t
k
2
 P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
k

2
−

k
)
(x
k
) 
2
≤ x
k
− x
∗

2
.
✭✷✳✽✮
❱❐② ❞➲② { x
k
− x
∗
}
k≥0
❦❤➠♥❣ t➝♥❣ ✈➭ ❞♦ ➤ã ❤é✐ tô✳
b, ❚❤❡♦ ❦Õt q✉➯ a, t❛ ❝ã ❞➲② { x
k
− x
∗
}
k≥0
❤é✐ tô✳
▼➷t ❦❤➳❝✱  x
k

)
(x
k
) 
2
≤ x
k
− x
∗

2
−  x
k+1
− x
∗

2
. ✭✷✳✾✮
❱× 0 < α ≤ t
k
≤ 2 − α ✈í✐ 0 < α < 1 t❛ ❝ã 0 < α(2 − α) ≤ t
k
(2 − t
k
)✳
❚õ (2.9) t❛ s✉② r❛✿
α(2 − α)  x
k
− P
L

{x
k
− P
L
f(y
k
)
(x
k
)} = 0. ✭✷✳✶✶✮
❉♦ ➤ã✱
lim
k→+∞
x
k+1
− x
k
t
k
= 0.
❱× 0 < α ≤ t
k
≤ 2−α ♥➟♥ (x
k+1
−x
k
) → 0 ❦❤✐ k → +∞✳ 
▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✶✳✸✳ ❬✸❪ ●✐➯ sö✿
i, ❉➲② {x
k

k
)
(x
k
)− x
k

⇒
x
k+1
− x
k
t
k
=

P
L
f(y
k
)
(x
k
)− x
k

✳
❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt ii, t❛ s✉② r❛✿
lim
k→+∞

} t❛
❝ã✿
r
k
= max{ x
0
, . . . , x
k
}.
❉♦ ➤ã✱ r
k
≤ r, ∀k ∈ N✳
▲➵✐ tõ (2.1a) t❛ ❝ã K
k
= {x ∈ K : x ≤ r
k
+ 1} ♥➟♥ K
k
⊂ B(0, r + 1)✳
❚õ (2.1b) t❛ ❝ã max
y∈K
k
f(y, x
k
) − 
k
≤ f(y
k
, x
k

lim
k
n
→+∞
x
k
n
= x.
❚➢➡♥❣ ø♥❣ t❛ ①Ðt ❞➲② ❝♦♥ {y
k
n
}
k
n
≥0
❝ò♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥✳ ❉♦ ➤ã✱ tå♥ t➵✐ ❞➲② ❝♦♥
{y
k
n
p
}
k
n
p
≥0
❝ñ❛ ❞➲② {y
k
n
}
k

k
n
✳
• ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ f(y, x) = 0?
❚❤❐t ✈❐②✱ tõ tr➟♥ ❝ã lim
k→+∞
{x
k
−P
L
f(y
k
)
(x
k
)} = 0 ♥➟♥ lim
k→+∞
P
L
f(y
k
)
(x
k
) = x.
✷✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn23
❉♦ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ ❝ñ❛ f ♥➟♥ s✉② r❛✿
f(y, x) = f


n
, P
L
f(y
k
n
)
(x
k
n
)

≤ 0.
✭✷✳✶✷✮
❚r♦♥❣ ➤ã✱ P
L
f(y
k
n
)
(x
k
n
) ∈ L
f
(y
k
n
) = {x ∈ K | f(y
k

k
n
→+∞
{f(y
k
n
, x
k
n
) + 
k
n
}
= f( lim
k
n
→+∞
y
k
n
, lim
k
n
→+∞
x
k
n
) + lim
k
n

❱í✐ 0 < δ < 1 ①Ðt B(0, r
∗
+ 1 − δ) ≡ B(δ)
❚õ (2.1d) ❝ã x
k
≤ r
k
≤ r
∗
< r
∗
+1−δ, ∀k ∈ N✱ ♥➟♥ s✉② r❛
x ∈ intB(δ).
❱❐② x ∈

intB(0, r
∗
+ 1 − δ)

∩ K✳
• ❈❤♦

B(δ) = B(δ) ∩ K✱ ①Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ (

EP
δ
) ✈í✐ ❤➭♠ f ✈➭ t❐♣
❝❤✃♣ ♥❤❐♥

B(δ)✿

✷✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn24
r
k
0
≥ r
∗
− δ✳ ❑❤✐ ➤ã✿
r
∗
+ 1 − δ ≤ r
k
+ 1, ∀k ≥ k
0
.
❉♦ ➤ã✱

B(δ) ⊂ K
k
, ∀k ≥ k
0
.
▲✃② z ∈

B(δ)✱ t❛ ❝ã z ∈ K
k
, ∀k ≥ k
0
✳ ❱× ✈❐②✱
f(z, x

n
)
(2.16)
≤ lim
k
n
→+∞
{f(y
k
n
, x
k
n
) + 
k
n
}
= f(y, x) = 0.
✭✷✳✶✼✮
❚ø❝ ❧➭✱
f(z, x) ≤ 0, ∀z ∈

B(δ). ✭✷✳✶✽✮
❚õ (2.18)✱ ❞♦ x ∈ K✱ ✈í✐ ♠ç✐ 0 < δ < 1 t❛ ❝ã✿
x ∈

x∈

B(δ)
L

+∞ s✐ y ∈ K.
✷✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn25