Chương 1: Hàm biến số phức

41
Ví dụ 1.24: Tính tích phân
()
2
2
0
1
dx
I
x
∞
=
+
∫
.
Giải: Hàm
()
()
()()
222
2
11
1
Rz
zi zi
z
==
−+
+

⎢⎥
+
⎣⎦
++
⎣⎦
∫
.
1.6.4.2. Tích phân dạng
()
cosR xxdx
β
∞
−∞
∫
,
()
sinR xxdx
β
∞
−∞
∫

Hai tích phân trên là phần thực và phần ảo của tích phân
()
ix
R xe dx
β
∞
−∞
∫

, với mọi
0>λ
. Trong đó
{ }
0Im, ≥=∈= zRzzC
R

.
Định lý 1.23: Giải sử
()
)(
)(
zQ
zP
zR =
là một phân thức hữu tỷ thoả mãn các điều kiện sau:
i.
)(zR
giải tích trong nửa mặt phẳng
0Im >z
ngoại trừ tại một số hữu hạn các cực điểm
n
aa ,...,
1
.
ii.
)(zR
có thể có m cực điểm
m
bb ,...,

∑∑
∫
(1.76)
Ví dụ 1.25: Tính tích phân
22
0
cos
,(, 0)
x
Idxa
xa
λ
λ
∞
= >
+
∫
.
Giải: Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn nên
Chương 1: Hàm biến số phức

42
22 22 22
1cos 1 1
Re Re 2 Res ;
22 2 2
ix ix a
x eee
Idx dxiai
x axa xaa

.
Giải: Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn nên
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
dx
x
e
dx
x
x
I
ix
Im
2
1sin
2
1
.

∫
π
2
0
sin,cos dxnxnxR
.
Đặt
ix
ez =
thì
iz
dz
dx
i
zz
nx
zz
nx
nnnn
=
−
=
+
=
−−
,
2
sin,
2
cos

(1.77)
Ví dụ 1.27: Tính tích phân
∫
π
+
=
2
0
sin35 x
dx
I

Giải: Vì hàm số
()
iz
i
zz
i
z 3
3
3
2
1
3
10
3
2
2
+
⎟

ii
iz
zzz zz
iz
π
π
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
=== −=
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞
⎢⎥
+− +− +−
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦
∫∫vv
.
1.7. PHÉP BIẾN ĐỔI Z
Dựa vào tính chất xác định duy nhất của hàm số giải tích trong hình vành khăn
Rzr <<

bởi dãy các hệ số trong khai triển Laurent của nó (1.66) - định lý 1.19, người ta xây dựng phép
biến đổi Z và sử dụng để biểu diễn các tín hiệu rời rạc qua các hàm giải tích trong hình vành khăn.
Chương 1: Hàm biến số phức

43
Phép biến đổi Z có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết xử lý tín hiệu và lọc số, vì nói chung việc
khảo sát các hàm giải tích sẽ thuận lợi và dễ dàng hơn so với khảo sát các dãy rời rạc.

{}
∞
−∞=
n
nx )(
chỉ xác định với
0≥n
, nghĩa là
() 0,
xn
=

0
n∀ <
,
khi đó biến đổi
Z
của tín hiệu này được gọi là biến đổi một phía.
Ví dụ 1.28: Tìm biến đổi
Z
cúa tín hiệu
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤<∞−
=
30

n
n
z
z
zz
zznxzX
.
Đổi
nm −=
vào chuỗi cuối cùng vế phải ở trên ta được:

,
2
2
2
1
1
2
2121
01
1
z
z
z
zz
m
m
m
mm
n

2
2248
)(
23
với
20 << z
.
1.7.2. Miền xác định của biến đổi
Z

Để tìm miền xác định của phép biến đổi
Z
ta có thể áp dụng tiêu chuẩn Cauchy hoặc tiêu
chuẩn D'Alembert (định lý 1.14, công thức (1.62)).
Ta tách chuỗi vô hạn hai phía thành tổng của 2 chuỗi:

( )
)()()()()(
21
1
zXzXznxznxzX
n
n
n
n
+===
∑∑
∞
−∞=
−

2
)()()(
m
m
n
n
zmxznxzX
(đặt
nm −=
).
Có hai tiêu chuẩn sau về miền xác định của
)(zX
.
♦ Tiêu chuẩn D'Alembert
Nếu

)(
)1(
lim
nx
nx
r
n
+
=
∞→
và
)1(
)(
lim

R
−
∞−→
= )(lim
1
(2.80)
thì
)(
zX
xác định khi
Rzr <<
.
Trong ví dụ 1.28:
3,0)( >∀= nnx

0=⇒ r
.
2
1
2
2
)1(
)(
3,2)(
1
==
+
⇒≤∀=
+
n

⎞
⎜
⎝
⎛
=
4
3
)(
.

()
∑∑
∞
=
∞
=
−
−
=
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠

1
4
3
<
z
hay
4
3
>z
.

() ()
∑∑∑
∞
=
−
−∞=
−
−
−
−∞=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟

z
z
z
z
z
m
m
34
3
1
34
4
1
4
3
1
1
1
4
3
0
−
=−
−
=−
−
=−
⎟
⎠
⎞

3
34
4
)(
−−
=
−
+
−
=
, với
3
4
4
3
<< z
.
Ta cũng thấy rằng
4
3
4
3
lim)(lim =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==

⎝
⎛
=
∞→
−
−
∞−→
−
∞−→
Rnx
n
n
n
n
n
n
n
n
.
1.7.3. Biến đổi
Z
ngược
Theo định lý 1.19, mỗi hàm phức
)(zX
giải tích trong hình vành khăn
Rzr <<
,
(
∞≤<≤ Rr0
) đều có thể khai triển thành chuỗi Laurent:

Rzr <<
.
Đặt
n
cnx
−
=)(
thì
∑
∞
−∞=
−
=
n
n
znxzX )()(
với
1
1
() ()
2
n
C
x nzXzdz
i
π
−
=
∫v
. (2.81)

273 3
2
2
22
zz
Xz
zz z
z
zz
−
++
== =+
− +−
⎛⎞
−
−+
⎜⎟
⎝⎠
giải tích tại mọi
1
,3
2
z ≠
. Vì vậy ta có thể tìm biến đổi ngược trong 3 miền sau:
a. Miền
1
2
z <
:
0


Vậy
1
1
20
()
3
00
n
n
n
xn
n
−
−+
⎧
−−∞<≤
⎪
=
⎨
⎪
>
⎩
nÕu
nÕu
.
b. Miền
1
3
2

∑∑∑∑
.
Vậy
1
30
()
20
n
n
n
xn
n
−
−
⎧
−−∞<≤
⎪
=
⎨
−>
⎪
⎩
nÕu
nÕu
.