SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP
TOÁN CHUYÊN NGÀNH
(Dùng cho sinh viên ngành ĐT-VT hệ đào tạo đại học từ xa)
Lưu hành nội bộ
HÀ NỘI - 2006

==========
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

được nâng lên thành giáo trình, nội dung bám sát hơn nữa những đặc thù của chuyên ngành viễn
thông. Chẳng hạn trong nội dung của phép biến đổi Fourier chúng tôi sử dụng miền tần số
f
thay
cho miền
ω
. Dựa vào tính duy nhất của khai triển Laurent chúng tôi giới thiệu phép biến đổi
Z

để biểu diễn các tín hiệu rời rạc bằng các hàm giải tích. Tuy nhiên do đặc thù của phương thức
đào tạo từ xa nên chúng tôi biên soạn lại cho phù hợp với loại hình đào tạo này.
Tập giáo trình bao gồm 7 chương. Mỗi chương chứa đựng các nội dung thiết yếu và được
coi là các công cụ toán học đắc lực, hiệu quả cho sinh viên, cho kỹ sư đi sâu vào lĩnh vực viễn
thông. Nội dung giáo trình đáp ứng đầ
y đủ những yêu cầu của đề cương chi tiết môn học đã được
Học viện duyệt. Trong từng chương chúng tôi cố gắng trình bày một cách tổng quan để đi đến các
khái niệm và các kết quả. Chỉ chứng minh các định lý đòi hỏi những công cụ vừa phải không quá
sâu xa hoặc chứng minh các định lý mà trong quá trình chứng minh giúp người đọc hiểu sâu hơn
bản chất của định lý và giúp người đọc d
ễ dàng hơn khi vận dụng định lý. Các định lý khó chứng
minh sẽ được chỉ dẫn đến các tài liệu tham khảo khác. Sau mỗi kết quả đều có ví dụ minh hoạ.
Cuối cùng từng phần thường có những nhận xét bình luận về việc mở rộng kết quả hoặc khả năng
ứng dụng chúng. Tuy nhiên chúng tôi không đi quá sâu vào các ví dụ minh hoạ mang tính chuyên
sâu về viễn thông vì sự hạn chế của chúng tôi về lãnh vực này và c
ũng vì vượt ra khỏi mục đích
của cuốn tài liệu.
Thứ tự của từng Ví dụ, Định lý, Định nghĩa, được đánh số theo từng loại và chương. Chẳng
hạn Ví dụ 3.2, Định nghĩa 3.1 là ví dụ thứ hai và định nghĩa đầu tiên của chương 3… Nếu cần
tham khảo đến ví dụ, định lý, định nghĩa hay công thức nào đó thì chúng tôi chỉ rõ số thứ tự củ
a ví

c, chuỗi lũy thừa, chuỗi Laurent… Để nghiên cứu các
vấn đề này chúng ta thường liên hệ với những kết quả ta đã đạt được đối với hàm biến thực. Mỗi
hàm biến phức
() ( ) (, ) (, )wfz fxiy uxyivxy==+= +
tương ứng với hai hàm thực hai biến
(, )uxy
,
(, )vxy
. Hàm phức
()f z
liên tục khi và chỉ khi
(, )uxy
,
(, )vxy
liên tục.
()f z
khả vi
khi và chỉ khi
(, )uxy
,
(, )vxy
có đạo hàm riêng cấp 1 thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann. Tích
phân phức tương ứng với hai tích phân đường loại 2 …Mỗi chuỗi số phức tương ứng với hai
chuỗi số thực có số hạng tổng quát là phần thực và phần ảo của số hạng tổng quát của chuỗi số
phức đã cho. Sự hội tụ hay phân kỳ được xác định bởi sự hội tụ hay phân kỳ
của hai chuỗi số thực
này.
Từ những tính chất đặc thù của hàm biến phức chúng ta có các công thức tích phân
Cauchy. Đó là công thức liên hệ giữa giá trị của hàm phức tại một điểm với tích phân dọc theo
đường cong kín bao quanh điểm này. Trên cơ sở công thức tích phân Cauchy ta có thể chứng

y
là phần ảo của
z
, ký hiệu
Im
z
.
Khi
0y =
thì
zx
=
là số thực; khi
0x =
thì
ziy=
gọi là số thuần ảo.
Số phức
x iy−
, ký hiệu
z
, được gọi là số phức liên hợp với số phức
zxiy=+
.
Chương 1: Hàm biến số phức

6
Hai số phức
11 1
zxiy= +

12 12
zxx iyy=++ +
được gọi là tổng của hai số phức
1
z
và
2
z
, ký hiệu
12
zz z=+
.
b) Phép trừ: Ta gọi số phức
zxiy−=−−
là số phức đối của
zxiy= +
.
Số phức
()( )
1212 12
()zz z x x iy y=+− = − + −
được gọi là hiệu của hai số phức
1
z
và
2
z
,
ký hiệu
12

. Vậy nếu
1
''zxiy
−
= +
thì

22 22
''1
','
''0
xx yy
x y
xy
yx xy
x yxy
−=
⎧
−
⇒= =
⎨
+=
++
⎩
. (1.3)
Số phức
1
12 12 12 12
12
22 22

,zzz
.
Giải:
()
()
()
2
222
2zxiy xyixy=+ = − +
,
22
zz x y= +
.
Ví dụ 1.2: Tìm các số thực
,
x y
là nghiệm của phương trình

( )( ) ( )( )
51 23311x yixii i++−+ +=−
.
Giải: Khai triển và đồng nhất phần thực, phần ảo hai vế ta được

2523
7
3,
456 11
5
xy
xy

255
ii
ii
iz i z
i
+−
++
+=+⇒= = =
+
,
()
13 3
1
55
ii
wiz i
−+ +
⎛⎞
⇒= −= =−
⎜⎟
⎝⎠
.
Ví dụ 1.4: Giải phương trình
2
250zz++=
.
Giải:
() ()()( )( )
222
2

của nó.
Vì vậy người ta đồng nhất mỗi điểm có tọa độ
(; )
x y
với số phức
zxiy= +
, lúc đó mặt phẳng
này được gọi là mặt phẳng phức.
1.1.4. Dạng lượng giác của số phức
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn
Oxy
, nếu ta chọn
Ox
JJG
làm trục cực thì điểm
(; )
M xy
có tọa độ cực
()
;r
ϕ
xác định bởi
( )
,,rOM OxOM
ϕ
==
JJG JJJJG

thỏa mãn
cos

y

O
i
JJG
j
JJG
r

ϕ

x

x

M

y

y

O

i
JJG

j
JJG

Chương 1: Hàm biến số phức

arg
z
π π
− <≤
.
Từ công thức (1.4) ta có
( )
cos sin
zxiyr i
ϕ ϕ
=+ = +
(1.7)
gọi là dạng lượng giác của số phức.
Sử dụng khai triển Maclaurin có thể chứng minh được công thức Euler

cos sin
i
ei
ϕ
ϕ ϕ
=+
(1.8)
Do đó
cos , sin
22
ii ii
ee ee
i
ϕ ϕϕϕ
ϕϕ

zz
i
+−
==
.
zzz
∈ ⇔=

. (1.12)

12 12
12
12 12
arg arg Arg Arg 2
zz zz
zz
zz zzk
π
⎧⎧
==
⎪⎪
=⇔ ⇔
⎨⎨
==+
⎪⎪
⎩⎩
(1.13)

2
zz z=

. (1.15)

()
1
12 1 2 1 2
2
Arg Arg Arg , Arg Arg Arg
z
zz z z z z
z
⎛⎞
=+ =−
⎜⎟
⎝⎠
(1.16)

iyxz +=

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≤
⇒
zy
zx
và
yxz +≤

1.1.5. Phép nâng lũy thừa, công thức Moivre
Lũy thừa bậc
n
của số phức
z
là số phức
n
n
zzzz=

"
lÇn

Từ công thức (1.15)-(1.16) ta có công thức Moivre:
()
cos sin , Arg 2
n
n
zz nin z k
ϕ ϕϕπ
=+ =+
. (1.18)
Đặc biệt, khi
1z =
ta có
()( )
cos sin cos sin
n
inin
ϕϕ ϕ ϕ

iii
ππ
⎛⎞
⎛⎞
=+=−+=−+
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
.
1.1.6. Phép khai căn
Số phức
ω
được gọi là căn bậc
n
của
z
, ký hiệu
n
z=ω
, nếu
z
n
=ω
.
Nếu viết dưới dạng lượng giác:
)sin(cos,)sin(cos θ+θρ=ωϕ+ϕ= iirz
thì


Vì Argument của một số phức xác định sai khác một bội số nguyên của
π2
nên với mỗi số
phức
0≠z
có đúng
n
căn bậc
n
. Các căn bậc
n
này có cùng mô đun là
n
r
, Argument nhận
các giá trị
n
k
n
π
+
ϕ
=θ
2
ứng với
1,...,1,0 −=
nk
, vì vậy nằm trên đỉnh của n-giác đều nội tiếp
trong đường tròn tâm O bán kính
n


i

4
π

Chương 1: Hàm biến số phức

10
2
1
4
sin
4
cos
0
i
iz
+
=
π
+
π
=
,
2
1
01
i
izz

);( yx
trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
. Mặt
khác nếu ta dựng mặt cầu
)(
S
có cực nam tiếp xúc với mặt phẳng
Oxy
tại O, khi đó mỗi điểm
z

thuộc mặt phẳng
Oxy
sẽ tương ứng duy nhất với điểm
ω
là giao điểm của tia
Pz
và mặt cầu
)(
S
,
P
là điểm cực bắc của
)(
S
.
Vậy mỗi điểm trên mặt phẳng
Oxy
được xác định bởi một điểm trên mặt cầu

z
được định nghĩa hoàn toàn tương tự với
−ε
lân cận
trong
2

, đó là hình tròn có tâm tại điểm này và bán kính bằng
ε
.

( )
{ }
ε<−∈=
ε 00
zzzzB

(1.23)
−N
lân cận
∈∞
:
( )
{ }
{ }
∞∪>∈=∞ NzzB
N

(1.23)’
b. Điểm trong, tập mở

P

)(
S

Chương 1: Hàm biến số phức

11
c. Điểm biên
Điểm
1
z
, có thể thuộc hoặc không thuộc
E
, được gọi là điểm biên của
E
nếu mọi lân cận
của
1
z
đều có chứa các điểm thuộc
E
và các điểm không thuộc
E
.
Tập hợp các điểm biên của
E
được gọi là biên
E
, ký hiệu


không phải là tập mở vì các điểm biên
rzz
=−
0

không phải là điểm trong.
d. Tập liên thông, miền
Tập con
D
của mặt phẳng phức hay mặt cầu phức được gọi là tập liên thông nếu với bất kỳ
2 điểm nào của
D
cũng có thể nối chúng bằng một đường cong liên tục nằm hoàn toàn trong
D
.
Một tập mở và liên thông được gọi là miền.
Miền
D
cùng biên
D∂
của nó được gọi là miền đóng, ký hiệu
DDD
∂∪=
. Miền chỉ có
một biên được gọi là miền đơn liên, trường hợp ngược lại gọi là miền đa liên.
Ta qui ước hướng dương trên biên của miền là hướng mà khi ta đi trên biên theo hướng đó
thì miền
D
ở bên tay trái.

Nếu với mỗi
z
chỉ cho tương ứng duy nhất một giá trị
w
thì
( )
zf
được gọi là hàm đơn trị.
Trường hợp ngược lại
f
được gọi là hàm đa trị.
Hàm số
( )
3
2
+==
zzfw
là một hàm đơn trị, còn hàm số
( )
zzfw
==
là một hàm đa
trị.
Tập
D
trong định nghĩa trên được gọi là tập xác định. Ta chỉ xét tập xác định
D
là một
miền, vì vậy
D

Chương 1: Hàm biến số phức

12
iy
xz
+=
và
( )
ivuzfw
+==
thì
( )
()
⎩
⎨
⎧
=
=
yxvv
yxuu
,
,
(1.24)
Gọi
()
yxu ,
là phần thực,
()
yxv ,
là phần ảo của hàm

t
thay cho
z
.
Trường hợp miền xác định
D
là tập số tự nhiên  thì ta có dãy số phức
()
∈=
nnfz
n
,
,
ta thường ký hiệu dãy số là
()
∈n
n
z

hay
( )
∞
=1n
n
z
.
1.2.2. Giới hạn
Định nghĩa 1.2: Dãy số
()
∞

, ký hiệu
∞=
∞→
n
n
zlim
, nếu
ε>⇒≥>∃>ε∀
n
zNnN :0,0
(1.26)
Từ (1.17) suy ra rằng

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
⇔+==
∞→
∞→
∞→
0
0
000
lim
lim
lim

0
lim
, nếu với mọi lân cận
()
LB
ε
tồn tại lân cận
()
0
zB
δ
sao cho với mọi
()
00
, zzzBz
≠∈
δ
thì
( ) ( )
LBzf
ε
∈
.
Trường hợp
∈Lz
,
0
định nghĩa trên được viết dưới dạng cụ thể sau:
( ) ()
ε<−⇒δ<−<∀>δ∃>ε∀⇔=

vyxv
uyxu
Lzf
yxyx
yxyx
zz
(1.29)
trong đó
00000
, ivuLiyxz
+=+=
.
Chương 1: Hàm biến số phức

13
1.2.3. Liên tục
Định nghĩa 1.4: Hàm phức
( )
zfw =
xác định trong miền chứa điểm
0
z
được gọi là liên
tục tại
0
z
nếu
() ( )
0
0

zfzzf
z
Δ
−Δ+
→Δ 0
lim
(1.33)
thì ta nói hàm
( )
zfw =
khả vi (hay có đạo hàm) tại
z
, còn giới hạn đó được gọi là đạo hàm tại
z
, ký hiệu
()
zf '
hoặc
()
zw'
.
Ví dụ 1.8: Cho
2
zw
=
, tính
()
zw'
.
Giải:

yxivyxuzfw
,,
+==
khả vi tại
iyxz
+=
thì phần thực
()
yxu
,
và phần ảo
()
yxv
,
có các đạo hàm riêng tại
),(
yx
và thỏa mãn điều kiện Cauchy-
Riemann

() ()
() ()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∂

yxv
,
khả vi tại
),( yx
và thỏa mãn điều kiện
Cauchy-Riemann thì
()
zfw =
khả vi tại
iyxz +=
và

() () () () ()
yx
y
u
iyx
y
v
yx
x
v
iyx
x
u
zf ,,,,'
∂
∂
−
∂

∂
∂
x
v
y
y
u
y
v
x
x
u
2
2
, do đó hàm khả vi
tại mọi điểm và
()
zyixzw
222'
=+=
.
Chương 1: Hàm biến số phức

14
Ví dụ 1.9: Hàm
iyxzw −==
có
1,1 −=
∂
∂

nếu nó giải tích trong một miền chứa
D
.
Khái niệm khả vi và đạo hàm của hàm phức được định nghĩa tương tự như trường hợp hàm
thực. Vì vậy các tính chất và quy tắc tính đạo hàm đã biết đối với hàm thực vẫn còn đúng đối với
hàm phức.

()
() ()' '() '()
f zgz fzgz±=±
.

()
() ()' '() () () '()
f zgz f zgz f zg z=+
. (1.38)

()
'
2
() '() () () '()
,()0
()
()
fz f zgz fzgz
gz
gz
gz
⎛⎞
−

sincos
irz
thì
( )
ϕ+ϕ= ninrw
n
sincos
.
Vậy ảnh của đường tròn
Rz =
là đường tròn
n
Rw =
. Ảnh cúa tia
π+ϕ=
2Arg
kz
là
tia
π+ϕ= 2'Arg knw
. Ảnh cúa hình quạt
n
π
z
2
arg0 <<
là mặt phẳng
w
bỏ đi trục thực dương.


1.2.6.2. Hàm căn
n
zw =

Hàm căn bậc
n
:
n
zw =
là hàm ngược của hàm lũy thừa bậc
n
.
Mọi số phức khác 0 đều có đúng n căn bậc n, vì vậy hàm căn là một hàm đa trị.
1.2.6.3. Hàm mũ
z
ew =

Mở rộng công thức Euler (1.12) ta có định nghĩa của hàm mũ
( )
yiyeeew
xiyxz
sincos
+===
+
(1.39)
♦
π+==
2Arg,
kywew
x

ee
=
,
zikz
ee =
π+
2
. (1.40)
♦
1,,1
2
0
−===
π
π
i
i
eiee
.
♦ Qua phép biến hình
z
ew =
, ảnh của đường thẳng
ax =
là đường tròn
a
ew =
, ảnh
của đường thẳng
by

viveeezivuzw
uivuw
sincosLn
+===⇔+==
+

Vậy
⎩
⎨
⎧
π+=
=
⇔=
2argIm
lnRe
Ln
kzw
zw
zw
(1.41)
x

y

O

ax
=

by

0
kk =
cố định ta được một nhánh đơn ta trị của hàm
zw
Ln
=
.

( )
π++=
2argln
0
kzizw

Nhánh đơn trị ứng với
0
=k
được gọi là nhánh đơn trị chính và được ký hiệu
z
ln
.

zizz
arglnln
+=

trong đó
ln
ở vế trái là hàm biến phức, còn ở vế phải là hàm biến thực.
Một số tính chất của hàm lôgarit.

)0( <
x
.
1.2.6.5. Các hàm lượng giác phức
Mở rộng công thức (1.12) cho các đối số phức ta được các hàm lượng giác phức


∈∀
−
=
+
=
−−
z
i
ee
z
ee
z
iziziziz
;
2
sin,
2
cos
(1.42)

()
π≠=
π


() ( ) () ()
z
z
z
zzzzz
2
'
2
'''
sin
1
cotg,
cos
1
tg,sincos,cossin
−
==−==
.


∈∀=+ zzz
;1sincos
22

 Các công thức cộng góc, hạ bậc, tổng thành tích, tích thành tổng vẫn còn đúng.
Tuy nhiên có những tính chất của hàm lượng giác thực không còn đúng đối với hàm lượng
giác phức. Chẳng hạn hàm lượng giác thực bị chặn nhưng hàm lượng giác phức không bị chặn (ta
có thể chứng minh điều này bằng cách áp dụng định lý Louville):