1
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC
Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2007-2008
Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút Bi 1: (2 im)
Gii h phng trỡnh:



=
=+
82
82
2
2
xy
yx

Bi 2: (2 im)
Chng minh rng phng trỡnh:
( )
4 2 2 4
2 2 3 0x m x m + + + =
luụn cú 4 nghim
phõn bit
1 2 3 4
, , ,x x x x
vi mi giỏ tr ca
m


Bi 5: (1 im)
Chng minh vi mi s thc
, ,x y z
luụn cú:

( )
2x y z y z x z x y x y z x y z+ + + + + + + + + +Ht
SBD thớ sinh: ................. Ch ký GT1: ..............................
1
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC
Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2007-2008

P N - THANG IM

BI NI DUNG im
B.1





0,25
+ Nu 2 0x y + = , thay 2y x= + vo phng trỡnh u thỡ:
( )
2 2
2 2 8 2 4 0x x x x+ + = + = .

0,25
Gii ra: 1 5 ; 1 5x x= = + .
0,25

Trng hp ny h cú hai nghim:
( )
( )
; 1 5;1 5x y = ;
( )
( )
; 1 5;1 5x y = + +

0,25
B.2
( )
4 2 2 4
2 2 3 0x m x m + + + =
(1)
(2)
t :
2
t x= , ta cú :
( )
2 2 4

2
t
,
2
t+
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 2 1 1 2 2
x x x x x x x x t t t t t t t t+ + + + = + + + +
( )
1 2 1 2
2 t t t t= + +
0,25
( )
2 2 2 2 2 4 4 2
1 2 3 4 1 2 3 4
4 2 3 4 11x x x x x x x x m m m m+ + + + = + + + = + + .
0,25

2 2 2 2 4 2 4 2
1 2 3 4 1 2 3 4
11 4 11 11 4 0 0x x x x x x x x m m m m m+ + + + = + + = + = =



0
45QRE SRF+ = (4)
0,25
Từ (3) và (4) :
 

ERF QRE SRF= + .

0,25
Câu3.2

(1đ)
Ta chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF luôn qua điểm cố định P.

0,25
Ta có :

0,25
Ta có:


ENM EFM= (do M, N, F, E ở trên một đường tròn);

 
EFM QFM QRM= =
(do M, F, R, Q ở trên một đường tròn). Suy ra:


DRM QRM= . D nằm trong đọan MN.
0,25
Hai tam giác vuông DRM và QRM bằng nhau, suy ra : MQ = MD 0,25

Tương tự : Hai tam giác vuông DRN và SRN bằng nhau, suy ra : NS = ND .
Từ đó : MN = MQ+NS
0,25
B. 4
1232 +−−=−+− qppqqp
(
α
)
(2đ)
Điều kiện: 2 0,p − ≥ 3 0,q − ≥ 2 1 0.pq p q− − + ≥ (p, q là các số nguyên)
0,25
Bình phưong hai vế của (
α
) : 2 2 3 3 2 6p q pq p q− ⋅ − = − − + .
0,25

H
N
NN
N
F
FF
F
E
EE
E
M
MM
M
S
SS
S
R
RR
R
Q
QQ
Q
P
PP
P
3
+ Xét 2p > và 3q > . Ta có :
( )( )
4 2 3p q= − − ( p, q là các số nguyên)
Chỉ xảy ra các trường hơp :

2 2
c a b c ab a c b c ca cb c ab ca cb c ab⇔ ⋅ + + + ≥ + ⋅ + ⇔ + + + ≥ + + + (***)
0,25
Đặt:
2
ca cb c A+ + = ; ab B= , ta có B B= (do a.b ≥ 0) ta có:
(***) ⇔ A + B ≥ BA + ⇔ A . B ≥ AB ⇔ AB ≥ AB .
Dấu đẳng thức xảy ra trong trường hợp các số: a, b, c, a + b + c chia làm 2 cặp cùng
dấu. Ví dụ: 0ab ≥ và
( )
0c a b c+ + ≥ .
0,25

Chú ý: Có thể chia ra các trường hợp tùy theo dấu của a, b, c (có 8 trường hợp) để chứng
minh(*)