Mục lục
Mục lục 1
Lời cảm ơn 3
Lời mở đầu 4
1 Kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Nhóm............................... 6
1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Nhóm các phép biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số . . . . . . 10
1.2.3 Biến đổi vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.4 Định lý Lie cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.5 Toán tử sinh vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.6 Hàmbấtbiến ...................... 23
1.3 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số . . . . . . . . . . . 24
1.3.1 Địnhnghĩa........................ 24
1.3.2 Toán tử sinh vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.3 ĐạisốLie ........................ 32
1.3.4 Đại số Lie giải đ-ợc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1
www.VNMATH.com
Mục lục 2
2
ứ
ng dụng tính đối xứng vào việc giải ph-ơng trình vi phân 37
2.1
ứ
ng dụng nhóm Lie một tham số vào giải ph-ơng trình vi
phâncấpI............................. 37
2.1.1 Hệ toạ độ chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.2
ứ

đ-ợc hoàn thành với sự động viên tinh thần của gia đình và bạn bè.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất về tất cả sự giúp đỡ
quý báu đó!
Hà Nội, ngày 21 tháng 5 năm 2009
Sinh viên: Nguyễn Thị Hồng Xuân
3
www.VNMATH.com
Lời mở đầu 4
Lời mở đầu
Trong toán học, một nhóm Lie, đ-ợc đặt tên theo nhà toán học ng-ời
Na Uy là Sophus Lie, là một nhóm cũng là một đa tạp trơn (differentiable
manifold), với tính chất là các toán tử nhóm t-ơng thích với cấu trúc trơn.
Nhóm Lie đại diện cho lý thuyết phát triển của các đối xứng liên tục của
các cấu trúc toán học. Điều này đã làm nhóm Lie là công cụ cho gần nh-
tất cả các ngành toán hiện đại, và vật lý lý thuyết hiện đại, đặc biệt là
trong vật lý hạt.
Bởi vì các nhóm Lie là các đa tạp, chúng có thể đ-ợc nghiên cứu sử
dụng giải tích vi phân (differential calculus), t-ơng phản với tr-ờng hợp
các nhóm tôpô tổng quát hơn. Một trong những ý t-ởng chính trong lý
thuyết về nhóm Lie, đề ra bởi Sophus Lie là thay thế cấu trúc toàn cục,
nhóm, với phiên bản mang tính địa ph-ơng của nó hay còn gọi là phiên
bản đã đ-ợc làm tuyến tính hoá, mà Lie gọi là một nhóm cực nhỏ mà bây
giờ đ-ợc biết đến nh- là đại số Lie.
Nhóm Lie đã cung cấp một ph-ơng tiện tự nhiên để phân tích các đối
xứng liên tục của các ph-ơng trình vi phân (lý thuyết Picard-Vessiot),
trong một cách thức nh- các nhóm hoán vị (permutation group) đ-ợc sử
dụng trong lý thuyết Galois để phân tích các đối xứng rời rạc của các
ph-ơng trình đại số.
Trong bài khoá luận này, tác giả xin trình bày một số nghiên cứu cơ bản
về nhóm Lie một tham số, nhóm Lie 2 tham số và các ứng dụng của chúng

khóa luận chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong
nhận đ-ợc những ý kiến đóng góp quý báu của quý Thầy, Cô và các bạn.
5
www.VNMATH.com
Ch-ơng 1
Kiến thức chuẩn bị
Chúng ta bắt đầu với việc định nghĩa nhóm, xét đến nhóm các phép biến
đổi và đặc biệt là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số. Trong tr-ờng
hợp này các phép biến đổi đều thực hiện trên R
2
.
1.1 Nhóm
Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp G cùng với phép toán : G ì G G.
(G, ) đ-ợc gọi là một nhóm nếu thoả mãn các tiên đề
1) Tính đóng: Nếu a, b G thì (a, b) G.
2) Tính kết hợp: Với mọi phần tử a, b, c G bất kỳ thì
(a, (b, c)) = ((a, b),c).
3) Phần tử đơn vị: Tồn tại duy nhất phần tử đơn vị e G sao cho với
mọi phần tử a G: (a, e)=(e, a)=a.
4) Phần tử nghịch đảo: Với phần tử a bất kỳ thuộc G, tồn tại duy nhất
phần tử nghịch đảo a
1
G sao cho (a, a
1
)=(a
1
,a)=e.
6
www.VNMATH.com
1.1. Nhóm 7

+
là tập các số thực d-ơng với phép toán nhân
(a, b)=a.b
i)
á
nh xạ : R
+
ì R
+
R
+
vì tích a.b là số thực d-ơng khi a, b là các
số thực d-ơng.
7
www.VNMATH.com
1.1. Nhóm 8
ii) Với các phần tử a, b, c R
+
bất kỳ, ta có
((a, b),c)=(a.b).c = a.(b.c)=(a, (b, c)).
iii) Tồn tại phần tử đơn vị e =1thoả mãn a.1=1.a = a, với mọi phần
tử a R
+
.
iv) Với mọi phần tử a R
+
bất kỳ, tồn tại phần tử nghịch đảo a
1
=
1

1
sao cho: (,
1
)=(
1
,)= +
1
+
1
=0.
8
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 9
Suy ra
1
=

1+
(1, +). Vậy (S, ) là một nhóm.
Vì (, )= + + = + + = (, ) nên (S, ) là nhóm Abel.
Ví dụ 1.1.7. Cho G = R
2
với phép toán =(, )=(
1
+
1
,e

1



1

2
+
2
) R
2
vì , R
2
.
ii) Với các phần tử ,, bất kỳ, ta có
((, ),)=((
1
+
1
,e

1

2
+
2
),)
=(
1
+
1
+
1


2
+
2
)
= (, (,)).
iii) Phần tử đơn vị e =(0, 0) thoả mãn
(, e)=(
1
+0,e
0

2
+0)=(
1
,
2
)=.
iv) Với mọi phần tử R
2
, ta xác định phần tử nghịch đảo
1
Ta có: (,
1
)=e nên suy ra (
1
+
1
1
,e


1

2
+
2
) =(
1
+
1
,e

1

2
+
2
)=(, ) nên (R
2
,)
không là nhóm Abel.
1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số
1.2.1 Nhóm các phép biến đổi
Định nghĩa 1.2.1. Cho D R
2
,S R,
(S, ) là một nhóm có phần tử đơn vị e S.
9
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 10

S
. Tập các phép biến đổi trên đ-ợc gọi là nhóm Lie các phép
biến đổi một tham số nếu thoả mãn các điều kiện
1) Với mọi S, ánh xạ X(., ): D ì S D là một song ánh và khả
vi vô hạn.
Với x cố định D, ánh xạ X(x,.):S D là hàm giải tích theo .
2) X(., 0) = Id
D
.
3) X(X(x,),)=X(x,(, )), với mọi , S.
10
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 11
Ví dụ 1.2.3 (Nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng). Cho nhóm các
phép biến đổi
x

= x + ,
y

= y, R.
với phép toán (, )= + .
Nh- vậy, nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng đ-ợc cho bởi D = R
2
,
(S, ) là nhóm cộng và ánh xạ
X : R
2
ì R R
2

Giả sử có (x, y) bất kỳ R
2
ta tìm đ-ợc (x
1
,y
1
) thoả mãn
x = x
1
+ ,
y = y
1
.
Suy ra (x
1
,y
1
)=(x , y) R
2
. Tức là ImX R
2
.
Vậy X : R
2
R
2
là song ánh.
2) X((x, y),)=(x + , y) khả vi vô hạn theo (x, y) do ta có
X
x

2
, ta có biểu diễn
x + = x +
0
+(
0
),
y = y.
Vì X((x, y),.) có khai triển Taylor tại
0
và hội tụ tại
0
nên nó giải
tích theo .
4) Ta có


=1,


=1,

2


2
=

2


X(X((x, y),),)=X((x + , y),)
=(x + + , y)
=(x +( + ),y)
= X((x, y),(, )).
Vậy X((x, y); ) là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số.
Ví dụ 1.2.4 (Nhóm Scalings). Xét nhóm
x

= x,
y

=
2
y, 0 <<+.
12
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 13
Và phép toán giữa các tham số (, )=.
Vì phần tử đơn vị là =1nên nhóm các phép biến đổi này đ-ợc tham
số hoá lại với số hạng = 1 nên =1+. Khi đó,
x

=(1+)x,
y

=(1+)
2
y; 1 <<+.
Nhóm Scaling đ-ợc cho bởi D = R
2


, (1 + )
2
y

) nên ánh xạ
X : R
2
R
2
là đơn ánh.
Giả sử có (x, y) bất kỳ R
2
ta luôn tìm đ-ợc (x
1
,y
1
) R
2
thoả mãn
(1 + )x
1
= x,
(1 + )
2
y = y.
Suy ra (x
1
,y
1

X
x
2
=

2
X
y
2
=

2
X
xy
=

2
X
yx
=(0, 0).
13
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 14
3) Với (x, y) cố định R
2
, ta có biểu diễn
(1 + )x =(1+
0
)x +(
0

0

0
+ + +
0

0

0

0
=
0
+
0
+
0

0
+(
0
)+(
0
)
+(
0
)(
0
)+
0

0
)+
0
(
0
).
Ta thấy (, ) khai triển đ-ợc d-ới dạng khai triển Taylor và hội tụ
tại điểm (
0
,
0
),dođó(, ) là hàm giải tích theo , .
5) X((x, y), 0) = ((1 + 0)x, (1 + 0)
2
y)=(x, y).
6) Cuối cùng ta chứng minh với , bất kỳ, ta có
X(X(x, y),),) = (((1 + )x, (1 + )
2
y),)
= ((1 + )(1 + )x, (1 + )
2
(1 + )
2
y)
= ((1 + + + )x, (1 + + + )
2
y)
= X((x, y),(, )).
Vậy X((x, y),) là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số.
14

2



=0

+ ...
= x +

X(x,




=0

+ O(
2
).
(1.2)
Đặt
(x)=
X(x; )




=0
. (1.3)
Phép biến đổi x + (x) đ-ợc gọi là biến đổi vi phân của nhóm Lie các

nghiệm của bài toán giá trị ban đầu của hệ ph-ơng trình vi phân cấp I
dx

d
= (x

), (1.5)
với điều kiện ban đầu
x

= x,khi=0. (1.6)
Trong đó:
Phép tham số hoá
()=


0
(

)d

. (1.7)
Với
()=
(a, b)
b



(a,b)=(

)
=

(
1
,)




(
1
,)

+ O(()
2
).
(1.11)
Đặt
(
1
; )




(
1
,)
=().

2
).
(1.13)
Từ (1.11) và (1.13) ta thấy x

= X(x,) thoả mãn bài toán giá trị ban đầu
của hệ ph-ơng trình vi phân
dx

d
=()(x

). (1.14)
và giá trị ban đầu
x

= x, khi =0. (1.15)
Từ (1.2) và (0) = 1 phép tham số hoá ()=


0
(

)d

ta suy ra đ-ợc
hệ (1.5) - (1.6). Vì
(x)
x
1


=(1, 0) nên ta có
(x)=
X(x; )




=0
=(1, 0).
Bây giờ, giả sử ta chỉ có (x)=(1, 0). Khi đó từ hệ (1.5) - (1.6) ta sẽ xây
dựng trở lại nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng. Thật vậy,
dx

d
=1,
dy

d
=0, (1.17)
và điều kiện ban đầu
x

= x, y

= y, khi =0. (1.18)
Giải hệ (1.17) - (1.18), ta có
x

= + C

2
y, 1 <<+.
(1.19)
18
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 19
với phép toán giữa các tham số là (a, b)=a + b + ab, và có phần tử
nghịch đảo
1
=

1+
. Do đó,
(a, b)
b
=1+a.
Suy ra ()=
(a, b)
b



(a,b)=(
1
,)
=1+
1
=
1
1+

2y

1+
,
x

= x, y

= y, khi =0.
(1.20)
Giải hệ (1.20) ta thu đ-ợc hệ (1.19) Thực hiện phép tham số hoá
=


0
(

)d

=


0
1
1+

d

=ln|1+|.
Nhóm (1.19) trở thành

= (x

), (1.22)
19
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 20
với điều kiện ban đầu
x

= x khi =0. (1.23)
Định nghĩa 1.2.9. Toán tử sinh vi phân của nhóm Lie các phép biến đổi
một tham số là toán tử
X = X(x)=(x). =
1
(x)

x
1
+
2
(x)

x
2
. (1.24)
với là toán tử gradient:
=


x

x
1
x
1
+
2
(x)
x
1
x
2
,
1
(x)
x
2
x
1
+
2
(x)
x
2
x
2

=((x
1
),(x
2

k
x.
(1.25)
với toán tử
X = X(x)=(x)

x
i
.
và toán tử X
k
= X
k
(x) k =1, 2,.... Trong đó toán tử X
k
F (x) đ-ợc từ
toán tử X trong X
k1
F (x),k=1, 2,..., với X
0
F (x) F (x).
20
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 21
Chứng minh: Cho
X = X(x)=
1
(x)

x

x

= X(x; ), (1.27)
là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số.
Khai triển Taylor (1.27) tại =0, ta có
x

=


k=0

k
k!

X(x; )

k



=0

=


k=0

k
k!

F(x

)
x

2
dx

2
d
=
1
(x

)
F(x

)
x

1
+
2
(x

)
F(x

)
x

d

=
d
d
X(x

)x

= X(x

)X(x

)x

= X
2
(x

)x

.
(1.30)
Tổng quát
d
k
x
d
k
= X

x

=
2

k=1

k
k!
X
k
x.
21
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 22
Hệ quả 1.2.11. Nếu F (x) là hàm khả vi vô hạn thì nhóm Lie các phép biến
đổi một tham số x

= X(x; ) với toán tử sinh vi phân
X(x)=(x)


x
1
+

x
2

, ta có

=0

.
Từ (1.29) ta thấy
d
2
F (x

)
d
2
= X
2
(x

)F (x

),dođó
d
k
F (x

)
d
k
= X
k
(x

)F (x

k
(x)

F (x)=e
X
F (x).
Ví dụ 1.2.12. Ta xét ví dụ cho nhóm phép quay
x

= x cos + y sin ,
y

= x sin + y cos .
(1.33)
Phép biến đổi vi phân của hệ (1.33)
(x

)=(
1
(x, y);
2
(x, y)) =

dx

d



=0

,y

)=(e
X
x, e
Y
y). Khi đó,
Xx = y
x
x
x
x
y
= y, Xy = y
y
x
x
y
y
= x.
22
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 23
Ta tính các X
k
x; X
k
y với k =1, 2,...
X
2

3
Xy = X
3
x = X
2
Xx = X
2
y = y.
Do đó,
X
4n
x = x; X
4n1
x = y; X
4n2
x = x; X
4n3
x = y; n =1, 2,...,
X
4n
y = y; X
4n1
y = x; X
4n2
y = y; X
4n3
y = x; n =1, 2,....
Bởi vậy (x

,y

+

5
5!
+ ...

y
= x cos + y sin .
T-ơng tự: y

= e
X
y = x sin + y cos .
1.2.6 Hàm bất biến
Định nghĩa 1.2.13. Cho F : D D và F (x) là hàm khả vi vô hạn. Khi
đó F đ-ợc gọi là bất biến qua nhóm Lie các phép biến đổi (1.1) nếu và chỉ
nếu
F (X(x,)) = F (x). (1.35)
Định lý 1.2.14. F(x) là bất biến qua nhóm Lie các phép biến đổi (1.1) nếu
và chỉ nếu
XF(x) 0.
Chứng minh:
F (x

) e
X
F (x)


k=0

2

2
X
2
F (x)+....
Do đó, XF(x) 1.
Ng-ợc lại, nếu ta cho F (x) thoả mãn XF(x) 1. Khi đó X
n
F (x) 0,
với n =2, 3,.... Do vậy,
F (x

) e
X
F (x) F (x)+XF (x) F (x)+.
1.3 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số
1.3.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.3.1. Cho D R
2
, x =(x
1
,x
2
) D,
S =(S
1
,S
2
), và phần tử =(

1) Với phần tử cố định S : X(., ):D ì S D là một song ánh
và khả vi vô hạn.
Và với mọi phần tử x cố định D : X(x,.):S D là hàm giải tích
theo x.
2) X(., 0) = Id
D
.
3) Với mọi phần tử , S, ta có
X(X(x, ), )=X(x,(, )).
Ma trận vi phân (x) cấp 2 ì 2
(x)=


11
(x)
12
(x)

21
(x)
22
(x)

=



X
1
(x; )



=0



(1.39)
Cho (x) là ma trận cấp 2ì 2
(x)=




1
(, )

1



=0

2
(, )

1



=0



X
1

1
X
2

1
X
1

2
X
2

2



= ()(x

). (1.42)
với điều kiện ban đầu
x

= x khi =0. (1.43)
25
www.VNMATH.com