Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Thi Nguyên - Năm 2010
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1. Tiến sĩ: Nguyễn Minh Hà
Trường THPT Chuyên – ĐHSP Hà Nội

Thi Nguyên - Năm 2010
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
MỤC LỤC
Trang
Lời nói đầu……………………………………………………………...
2
Chƣơng 1: ĐỊNH NGHĨA PHƢƠNG TRÌNH…………………………
3
1.1. Định nghĩa bằng khái niệm biểu thức chứa ẩn…………………….
3
1.1.1. Đẳng thức..............................................................................
3
1.1.2. Phƣơng trình..........................................................................
3
1.2. Định nghĩa bằng khái niệm hàm số...................................................
4
1.2.1. Mệnh đề, mệnh đề chứa biến.................................................
4

minh hằng đẳng thức………………………………………………….
39
Kết luận…………………………………………………………………
43
Danh mục tài liệu tham khảo…………………………………………..
44

www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2
LỜ I NÓ I ĐẦ U

“Phƣơng trình” là một vần đề quan trọng trong chƣơng trình toán phổ
thông, xung quanh khái niệm “ Phƣơng trình” có rất nhiều vấn đề đáng quan tâm.
Đƣơng nhiên, vấn đề đƣợc quan tâm nhất vẫ n là các k thut gii phương trnh .
Tuy nhiên, vì quá quan tâm tới kĩ thật giải phƣơng trình nên chúng ta (SGK và
những ngƣời giáo viên toán) thƣờng không chú ý tới các vấn đề khác: định nghĩa
phương trnh, đường lối chung để gii một phương trnh. Với các em học sinh,
tình trạng trên dẫn đến một hệ quả tất yếu: chỉ thấy cây mà không thấy rừng. Rất
nhiều học sinh không trả lời đƣợc các câu hỏi đại loại nhƣ: “1=2 là đẳng thức
hay là phƣơng trình?”; “Mục đích của việc đặt điều kiện trong khi giải phƣơng
trình?” ….
Chính vì lẽ đó, em chọn cho mình đề tài luận văn:
“ Phƣơng trình, đƣờng lối chung để giải một phƣơng trình”
Luận văn nhằm phân tích 2 cách định nghĩa phƣơng trình trong chƣơng
trình Toán phổ thông để từ đó đƣa ra nhận xét nên sử dụng cách định nghĩa nào
thuận lợi cho việc giải phƣơng trình ở phổ thông. Hình thành các phƣơng pháp
tổng quát giải phƣơng trình quen thuộc từ bài toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều
kiện. Phân tích vai trò của bƣớc đặt điều kiện khi giải phƣơng trình và đặt điều

4
(đẳng thức có thể đúng hoặc sai tuỳ theo giá trị của
biến x, y, z).
Chú ý:
Việc biết một đẳng thức đúng hay sai nói chung là không đơn giản, bởi vì
sẽ có những biểu thức rất phức tạp nên để xét sự bằng nhau của chúng hoàn toàn
không dễ dàng.
Nhƣ vậy câu hỏi “1 = 2 là phƣơng trình hay đẳng thức?” đã đƣợc trả lời.
Câu trả lời là: “1 = 2” là đẳng thức (đẳng thức sai) và cũng là phƣơng trình
(phƣơng trình vô nghiệm).
1.1.2. Phƣơng trình
Hai biểu thức có chứa các đại lƣợng chƣa biết (gọi là ẩn) nối với nhau bởi
một dấu bằng đƣợc gọi là phƣơng trình.
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
Mỗi biểu thức nói trong định nghĩa trên đƣợc gọi là một vế của phƣơng
trình.
Những giá trị của ẩn làm cho phƣơng trình trở thành đẳng thức đúng đƣợc
gọi là nghiệm của phƣơng trình.
Dƣới đây là một vài ví dụ.
2 = 2 (phƣơng trình nhận mọi giá trị của ẩn làm nghiệm).
1 = 2 (phƣơng trình vô nghiệm).
5x + 1 = 5 (phƣơng trình (ẩn x) có duy nhất nghiệm x =
4
5
).
3x
2

g
.
Đặt D là giao của D
f
và D
g
.
Mệnh đề chứa biến “ f(x) = g(x)” đƣợc gọi là phƣơng trình một ẩn, x gọi là
ẩn số, D đƣợc gọi là tập xác định của phƣơng trình. Số x
0
thuộc D đƣợc gọi là
nghiệm của phƣơng trình f(x) = g(x) nếu “f(x
0
) = g(x
0
)” là mệnh đề đúng.
1.3. Nhận xét
Với các em học sinh phổ thông, định nghĩa nào trong hai định nghĩa trên là
hợp lí? Ta hãy cùng phân tích để tìm câu trả lời.
Trong lịch sử toán học, khái niệm “Phƣơng trình” có trƣớc khái niệm
“Hàm số”. Nói cách khác, không có khái niệm hàm số, loài ngƣời đã biết định
nghĩa phƣơng trình (một cách chặt chẽ) bằng khái niệm đẳng thức chứa ẩn.
Tất cả các loại phƣơng trình đƣợc đề cập đến trong chƣơng trình Toán phổ
đều có thể định nghĩa bằng khái niệm đẳng thức chứa ẩn.
Định nghĩa bằng khái niệm hàm số mở rộng thêm lớp các phƣơng trình.
Ví dụ, phƣơng trình f(x) = g(x), trong đó
2
2 1 1
3 2 1
x khi x

nghĩa phƣơng trình nhiều ẩn bằng khái niệm biểu thức chứa ẩn. Rất phản sƣ
phạm!
Tất cả các lập luận trên giúp ta đi đến khẳng định: nhiều bài toán giải
phƣơng trình ta không nhất thiết phải tìm tập xác định, điều kiện ngay khi bắt tay
vào giải, ta có thể thực hiện bƣớc tìm điều kiện nhƣ một bƣớc trong lời giải.
Khẳng định trên sẽ đƣợc minh hoạ cụ thể bởi các ví dụ trong mục 2.3.2.
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7
Chƣơng 2
ĐƢỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI MỘT PHƢƠNG TRÌNH
2.1. Bài toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện
Bài toán tm đối tượng tho mãn điều kiện là bài toán quen thuộc với tất cả
chúng ta. Về hình thức, nó đƣợc phát biểu nhƣ sau.
Tìm tất cả các đối tƣợng
A( ).a


Bƣớc 2: thử lại*.
A A( ).Î Þ aT

Phƣơng pháp 2: biến đổi tương đương*.
A( ) A .a Û Î T

Chú ý:
Về phƣơng diện logic, phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng cũng chính là
phƣơng pháp biến đổi hệ quả và thử lại. Tuy nhiên, trong lời giải mỗi bài toán
tìm kiếm đối tượng tho mãn điều kiện cụ thể, sử dụng phƣơng pháp nào trong
hai phƣơng pháp trên là vấn đề không đơn giản đòi hỏi ngƣời giải toán phải có kĩ
năng.
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8
Phƣơng pháp 3: đoán nhn và khẳng định*.
Bƣớc 1: đoán nhn*. Bằng một cách nào đó chỉ ra rằng
{ }
A( ) .ÐaT

Bƣớc 2: khẳng định*.
A A( ).Ï Þ aT

A A( ).Î Þ aT

Chú ý:
Nếu sử dụng phƣơng pháp đoán nhn và khẳng định thì ta phải có công
đoạn đoán nhn tập hợp
T

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9
Giải phƣơng trình tức là tìm hết các nghiệm của phƣơng trình.
Nhƣ vậy bài toán giải phƣơng trình là một trong các bài toán tìm đối tượng
tho mãn điều kiện. Do đó, về phƣơng diện logic nó chỉ có thể đƣợc giải bởi một
trong ba phƣơng pháp sau: biến đổi hệ qu và thử lại; biển đổi tương đương;
đoán nhn và khẳng định.
Các ví dụ dƣới đây là sự cụ thể hoá ba phƣơng pháp trên.

Ví dụ 2.2.1.1. Biến đổi hệ qu và thử lại.
Giải phƣơng trình sau.

1632  xx
(1).
Lời giải.

Bƣớc 1: biến đổi hệ qu.
Giả sử x
0
là nghiệm của (1). Ta thấy:

00
x 3 16 2x- = -
là đẳng thức đúng

2
00
x 3 (16 2x )Þ - = -


= 7 thay vào phƣơng trình (1):
2.7 7 3 16  
nên 7 là nghiệm của
phƣơng trình.
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10
Với
0
37
x
4
=
thay vào vế trái phƣơng trình (1):
37 37
2. 3 16
44
  
nên
37
4

không là nghiệm của phƣơng trình.
Kết luận.
Phƣơng trình (1) có nghiệm là 7.
Ví dụ 2.2.1.2 Biến đổi tương đương.
Giải phƣơng trình sau.

x 1 x(x 3)- = - -

ê
Û
ê
í
- - = - -
ï
ê
ï
ê
ì
ï
ê
-<
ï
î
ë0
0
2
0
0
2
0
0
x 2x 1 0
x1
lµ tuyÓn hai hÖ ®¼ng thøc vµ bÊt ®¼ng thøc ®óng
x 4x 1 0
0
0
0
0
0
0
x 1 2
x 1 2
x1
lµ tuyÓn hai hÖ ®¼ng thøc vµ bÊt ®¼ng thøc ®óng
x 2 3
x 2 3
x1
é
í
é
ï
=+
ï
ê
ê
ï
ê
ï
ê
ï
ê
ì

ê
ê
ë
ï
ê
ï
ï
ê
<
ï
ï
î
ë

www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11

0
0
0
x 1 2
x 2 3 lµ tuyÓn ba ®¼ng thøc®óng.
x 2 3
é
=+
ê
ê
Û = - +


0
0
x 1 2
x 1 2
é
=+
ê
Û
ê
=-
ê
ë
là tuyển hai đẳng thức đúng
Kết hợp với điều kiện
0
x 1 0,
ta thấy:
x
0
là nghiệm của phƣơng trình

0
x 1 2Û = +
là đẳng thức đúng.
Trƣờng hợp 2.
0
x 1 0.

Ta thấy:

ta thấy:
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12
x
0
là nghiệm của phƣơng trình

0
0
x 2 3
x 2 3
é
= - +
ê
Û
ê
= - -
ê
ë
là tuyển hai đẳng thức đúng
Kết luận.
Kết hợp cả hai trƣờng hơp, ta thấy phƣơng trình có ba nghiệm là
1 2,+

2 3, 2 3.   

Nhận xét.
Để phân biệt cách 1 và cách 2, ngƣời ta nói cách 1 là biến đổi tương

xx

,
điều đó có nghĩa là
2
10


x x x
x
.
Vậy (1) không có nghiệm khi x > 1.
Khi 0 < x < 1, ta có x
x
< 1
x
=1 và x
2
< x, do đó x – x
2
> 0, suy ra
2
0
10 10 1
xx

, điều đó có nghĩa là
2
10


nhn mà chỉ có bƣớc khẳng định.
2.2.2. Phƣơng trình hệ quả, phƣơng trình tƣơng đƣơng
Lời giải của ví dụ 2.2.1.1 là lời giải chuẩn bằng phƣơng pháp biến đổi hệ
quả và thử lại, lời giải của ví dụ 2.2.1.2 là lời giải chuẩn bằng phƣơng pháp biến
đổi tƣơng đƣơng. Tuy nhiên, cả hai lời giải trên đều qúa rƣờm rà. Để khắc phục
tình trạng trên, sử dụng các khái niệm của lí thuyết tập hợp, ngƣời ta đƣa ra hai
khái niệm: phƣơng trình hệ quả, phƣơng trình tƣơng đƣơng.
Nếu tập nghiệm của phƣơng trình f(x) = g(x) nằm trong tập nghiệm của
phƣơng trình F(x) = G(x) thì phƣơng trình F(x) = G(x) đƣợc gọi là phƣơng trình
hệ quả của phƣơng trình f(x) = g(x).
Để biểu thị F(x) = G(x) là hệ quả của f(x) = g(x), ta viết:
f(x) = g(x)

F(x) = G(x).
Nếu tập nghiệm của phƣơng trình f(x) = g(x) bằng tập nghiệm của phƣơng
trình f(x) = g(x) thì ta nói phƣơng trình f(x) = g(x) và phƣơng trình F(x) = G(x)
là hai phƣơng trình tƣơng đƣơng.
Để biểu thị f(x) = g(x) và f(x) = g(x) tƣơng đƣơng, ta viết:
f(x) = g(x)

F(x) = G(x).
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14
Đƣơng nhiên f(x) = g(x)

F(x) = G(x) khi và chỉ khi f(x) = g(x)

F(x)
2
4x 65x 256 0Þ - + =x 7
37
x
4
é
=
ê
ê
Þ
ê
=
ê
ë

Bƣớc 2, thử lại.
Khi x = 7, vế trái của (1) =
2.7 7 3 16  
= vế phải của (1). Do đó 7 là
nghiệm của phƣơng trình (1).
Khi
37
x
4
=

é
í
- = - -
ï
ï
ê
ì
ê
ï
-³
ï
î
ê
Û
ê
í
- - = - -
ï
ê
ï
ì
ê
ï
-<
ê
ï
î
ë
<
ï
î
ëx 1 2
x 1 2
x1
x 2 3
x 2 3
x1
é
í
é
ï
=+
ï
ê
ê
ï
ê
ï
ê
ì
ê
=-
ê
ë
ï

ï
<
ï
ê
î
ëx 1 2
x 2 3
x 2 3
é
=+
ê
ê
Û = - +
ê
ê
ê
= - -
ê
ë

Kết luận.
Phƣơng trình có nghiệm là
1 2.; 2 3; 2 3.+ - + - -

www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


x 1 0,
ta thấy
x 1 2=+
là nghiệm của (1).
Trƣờng hợp 2.
x 1 0.
x 1 x(x 3)
(x 1) x(x 3)
- = - -
Û - - = - -2
x 4x 1 0Û + + =x 2 3
x 2 3
é
= - +
ê
Û
ê
= - -
ê
ë