PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN
ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0 (a ≠ 0)
I. Những dạng đặc biệt
1/ Phương trình trùng phương ax
4
+ bx
2
+ c = 0
Đặt t = x
2
(t ≥ 0), phương trình trở về dạng bậc hai
2/ (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c
Đặt t = x + ½(a + b), pt có dạng : (t + m)
4
+ (t - m)
4
= c, khai triển sẽ được pt trùng phương
3/ (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (m ≠ 0) với a + b = c + d
pt ↔ [x
2
+ (a + b)x + ab].[x

(x) + 1/f
2
(x)] + b[f(x) ± 1/f(x)] + c = 0
Đặt t = f(x) ± 1/f(x) (tổng quát hơn so với dạng phương trình 4)
6/ a.f
2
(x) + b.f(x).g(x) + c.g
2
(x) = 0 (a ≠ 0)
- Với g(x) = 0, pt ↔ f(x) = 0
- Với g(x) ≠ 0, chia 2 vế phương trình cho g
2
(x)
- Đặt t = f(x)/g(x), pt trở về dạng bậc hai theo t
7/ x = f(f(x))
pt ↔ hệ đối xứng loại 2 : t = f(x) và x = f(t)
* Chú ý : Nếu trong phương trình có chứa tham số, trong vài trường hợp ta có thể đổi vai
trò của ẩn và tham số (xét phương trình theo tham số a, tính a theo x rồi suy ra x theo a)
II. Phương trình bậc bốn tổng quát X
4
+ AX
3
+ BX
2
+ CX + D = 0 (công thức Ferrari)
- Đặt X = x - A/4, phương trình trở về dạng khuyết bậc ba :
x
4
= ax
2

= f
2
(x)
PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (a ≠ 0)
Chú ý :
- Phương trình bậc lẻ luôn luôn có nghiệm thực
- Định lý Viete : Nếu phương trình ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (a ≠ 0) có 3 nghiệm x
1
, x
2
, x
3

thì :
x
1
+ x
2
+ x
3
= -b/2a

- Nếu a ± b + c ± d = 0 → x = ±1 là nghiệm
- Nếu (d/a) = (c/b)
3
→ x = -c/b là nghiệm
2. Phương trình dạng A
3
+ B
3
= (A + B)
3
pt ↔ A
3
+ B
3
= A
3
+ B
3
+ 3AB(A + B) ↔ AB(A + B) = 0
II. Những dạng tổng quát
1. Phương trình 4x
3
- 3x = q
* Với │q│ ≤ 1
- Đặt x = cost , pt trở thành : cos3t = q
- Gọi α là góc thỏa cosα = q, như vậy : cos3t = cosα
- Ta chọn t
1
= α/3 ; t
2,3

+ 1 = 0 (→ tìm được a)
- CM x
0
= ½ (a + 1/a) là nghiệm (duy nhất) của phương trình
2. Phương trình 4x
3
+ 3x = q
- Giả sử phương trình có nghiệm x
0
, dùng đạo hàm ta CM được x
0
là nghiệm duy nhất
- Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x
3
+ 3x = ½ (a
3
- 1/a
3
) rồi CM x
0
= ½ (a - 1/a) là
nghiệm (duy nhất) của phương trình (phương pháp tương tự như trên)
3. Phương trình x
3
+ px + q = 0 (Công thức Cardan - Tartaglia)
- Đặt x = u - v sao cho uv = p/3
- Từ pt, ta có : (u - v)
3
+ 3uv(u - v) = u
3

(chọn k sao cho k
3
/4 = pk/3 nếu p > 0 hoặc k
3
/4 = -pk/3 nếu p < 0)
- Phương trình được đưa về dạng 4t
3
± 3t = Q