Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình

Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực

1
PH
ƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC

Ta xem ph
ương trình không mẫu mực những phương trình không thể biến ñổi
t
ương tương, hoặc biến ñổi hệ quả từ ñầu cho ñến khi kết thúc. Một sự phân loại
như thế chỉ có tính tương ñối.

I. PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ðẶT ẨN PHỤ.
1. M
ục ñích ñặt ẩn phụ.
1.1. H
ạ bậc một số phương trình bậc cao.
• ðưa một số phương trình bậc 4 về phương trình trùng phương.
Ph
ương trình bậc bốn: ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0 ( a
≠
0 ) ñưa về ñược phương
trình trùng ph

Gi
ải. ðặt y = x
4
- 4x
3
- 2x
2
+ 12x - 1
Giả sử ñường thẳng x = x
0
là trục ñối xứng của ñồ thị hàm số.
Khi
ñó qua phép biến ñổi:
0
x x X
y Y
= +


=

hàm số ñã cho trở thành:
Y = (x
0
+ X)
4
- 4(x
0
+ X)
3


Y là hàm số chẵn của X
0
3 2
0 0 0
4 4 0
4 12 4 12 0
x
x x x
− =


⇔

− − + =



Suy ra: x
0
= 1 và Y = X
4
- 8X
2
+ 6
Phương trình ñã cho tương ñương với: X
4
- 8X
2
+ 6 = 0

0
là trục ñối xứng của ñồ thị hàm số.
Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình

Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực

2
Khi
ñó qua phép biến ñổi:
0
x x X
y Y
= +


=

hàm số ñã cho trở thành:
Y = (x
0
+ X)
4
+ 8(x
0
+ X)
3
+ 12(x
0
+ X)
2

= - 2
Y = X
4
- 12X
2
+ 35
Y = 0
⇔
X
2
= 5, X
2
= 7
⇔
X =
5±
, X =
7±

Suy ra bốn nghiệm X = - 2
5±
, X = - 2
7±Bài tập tương tự:
BT1. Gi
ải phương trình 2x
4
- 16x

ề phương trình bậc hai.
Do a + d = b + c nên ph
ương trình ñã cho tương ñương:
(x - a)(x - d)(x - b)(x - c) = m
⇔
[x
2
- (a+d)x + ad] [x
2
- (b+c)x + bc] = m

2 2
( )( )
( ) ( )
X ad X bc m
x a d x X x b c x
+ + =

⇔

− + = = − +


Ph
ương trình ñã cho chuyển ñược chuyển về: (X + ad)(X + bc) = m

⇔
X
2
+ (ad + bc)X + abcd - m = 0

X X
x x X

− + =


+ =


⇔
2
1, 10
2
X X
x x X
= =


+ =
⇔ x = - 1 2± , x = - 1 11± .
Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình

Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực

3

Ví d

3
X X
x x X

− − =


+ =


⇔
2
3, 5
3
X X
x x X
= − =


+ =

⇔ x =
3 29
2
− ±

Ví d
ụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể phương trình sau:
(x
2

2
2 15 (1)
4 (2)
X X m
x x X

− − =


+ =



a) Ph
ương trình (2) có nghiệm ⇔ X ≥ - 4
Ph
ương trình ñã cho có nghiệm chỉ khi phương trình (1) có nghiệm X ≥ - 4.
Cách 1: Ph
ương trình (1) có nghiệm X ≥ - 4
( 4) 0
' 0
( 4) 0
4
2
f
f
b
a
− ≤


[- 4; + ∞ ) và có cực tiểu duy nhất trên ñó tại X = 1.
Suy ra, trên [- 4; +
∞ ) ta có min f(X) = f(1) = - 16. Vậy phương trình (1) có
nghi
ệm X
≥
- 4 khi m
≥
- 16.
b) 4 nghi
ệm phân biệt ?
Th
ấy ngay là các phương trình x
2
+ 4x = X
1
, x
2
+ 4x = X
2
có nghiệm trùng nhau khi
và ch
ỉ khi X
1
= X
2
. Do vậy phương trình ñã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ
khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt X
1
> X

- 16 < m
≤
9
Cách 2: Hàm s
ố f(X) = X
2
- 2X - 15 , X
≥
- 4 có f '(X) = 2X - 2.

X -
4 1
+ ∞
f '(X) - 0 + f(X)
9
+ ∞ - 16
Bài tập tương tự:
BT1. Gi
ải phương trình x
4
- 2x
3
- 7x
2

2
:
Ph
ương trình ñã cho tương ñương : ax
2
+ bx

+ c + b
1
x
+ a
2
1
x
= 0
2
2
1 1
( ) 0a x b x c
x x
 
⇔ + + + + =
 
 

( )
2
2 0a X bX c⇔ − + + = ,
trong ñó X = x +
1

2,
2
X X⇔ = = −
, trong ñó X = x +
1
x
hay x
2
- Xx + 1 = 0,
2X ≥

i) X = 2: x
2
- 2x + 1 = 0
⇔
x = 1
ii) X = -
7
2
: 2x
2
+ 7x + 2 = 0
⇔

7 33
4
− ±

VD2. Cho ph
ương trình x

X = x +
1
x
hay x
2
- Xx + 1 = 0 (2) ,
2X ≥
.
Cách 1. Phương trình (2) nếu
2X ≥
thì có hai nghiệm cùng dấu. Nên muốn có
nghi
ệm âm thì
- b/a = X < 0. Suy ra X
≤
- 2. Nhưng (1) luôn luôn có hai nghiệm X
1
< 0 < X
2
nên
ch
ỉ mang về cho (2) ñược X
1
. Vậy X
1
< - 2 < 0 < X
2
. Khi ñó f(- 2) < 0, f(X) =
2
3X hX+ −

2 2
2
3 3
'( ) 0,
X X
f X
X X
− − −
= = <
2X ≥

X - ∞ - 2 2
+ ∞
f '(X) - -

f(X)
+
∞ -
1
21
2

- ∞
Phương trình (2) nếu
2X ≥
thì có hai nghiệm cùng dấu. Nên muốn có nghiệm âm
thì

BT2. Cho ph
ương trình x
4
+ mx
3
- 2x
2
+ mx + 1 = 0.
Tìm m
ñể phương trình có không ít hơn hai nghiệm dương phân biệt.

1.2. Làm m
ất căn thức.
VD1. Gi
ải phương trình x(x + 5) = 2
3
2
5 2 2x x+ − −

Gi
ải. ðặt
3
2
5 2x x+ −
= X
⇒

3 2
2 5X x x+ = +



1 1
' , 3 6
2 3 2 6
t x
x x
= − − < <
+ −
.

3
' 0 3
2
t x≥ ⇔ − < ≤

X -
3 3/ 2
6
f '(X) + 0 -

f(X)

3 2

3
3
Suy ra: 3
≤
t
≤

− + + − =
−
(1)
1) Gi
ải phương trình khi m = - 3
2) Tìm tất cả các giá trị m ñể phương trình (1) có nghiệm
HD.
ðặt
1
( 3)
3
x
x t
x
+
− =
−
(1)

⇒
2
( 3)( 1)x x t− + =
, x
≤
- 1 hoặc x > 3 (2)
Ph
ương trình
⇔
t
2

+
− = − ⇔ ⇔
 
− + =
−
− − =


1 5x⇔ = −

1 5x = −
thoả ñiều kiện x
≤
- 1.
* t = - 3:
2
3 0
3 0
1
( 3) 3
( 3)( 1) 9
3
2 12 0
x
x
x
x
x x
x
x x

- 1 hoặc x > 3

⇔
x
2
- 2x - 3 = t
2
, x
≤
- 1 hoặc x > 3
ðặt f(x) = x
2
- 2x - 3, x
≤
- 1 hoặc x > 3
Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình

Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực

7
f '(x) = 2x - 2
x -
∞ - 1 3 + ∞
f '(x) - +

f(x)

+ ∞ + ∞

0 0

 
⇔
 
− + = = − − − =
 

Th
ấy ngay F(3) = - t
2
< 0 nên F(x) có nghiệm x > 3.
3i) t < 0: (1)
2 2 2
1 0 1
( 3)( 1) ( ) 2 3 0
x x
x x t F x x x t
+ ≤ ≤ −
 
⇔
 
− + = = − − − =
 Th
ấy ngay F(- 1) = - t
2
< 0 nên F(x) có nghiệm x
≤
- 1.

− = −
− +
(1)
ðặt
1
1
n
x
t
x
+
=
−
, khi ñó (1)
⇔
t

- 3
1
t
+ 2 = 0
⇔
t
2
+ 2t - 3 = 0
⇔
t = 1, t = - 3
i) t = 1 :
1 1
1 1

n n n
n
x
x x x x
x
+ −
= − ⇔ + = − − ⇔ + = − ⇔ =
− +

1.3. Làm m
ất giá trị tuyệt ñối.
VD1. Tìm m
ñể phương trình sau có nghiệm

2 2
2 1 0x x m x m− − − + =

Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình

Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực

8
HD.
ðặt
1 0x t− = ≥

⇒

2 2
2 1x x t− = −

2
m

⇒
m =
2
3
thoả
ii) ∆ > 0
⇔
-
2
3
< m <
2
3
:
+ (1) có 2 nghiệm dương
⇔
P > 0, S > 0
⇔
m > 1. Suy ra 1 < m <
2
3
thoả
+ (1) có hai nghi
ệm trái dấu
⇔
P < 0
⇔

⇔
2
2
0
1 0
0
1 0
t
t t m
t
t t m
 ≥



− − + =



≥




+ − + =


⇔
2
2 Vì x = 1 + t nên m
ỗi nghiệm t cho (1) một nghiệm x. Suy ra không có m thoả
1.4. L
ượng giác hoá các phương trình.
VD. Gi
ải phương trình
3 2 3 2
(1 ) 2(1 )x x x x+ − = −
HD. Do 1 - x
2

≥
0
⇔
- 1
≤
x
≤
1. ðặt x = cost,
[ ]
0;t
π
∈

Ptrình
ñã cho


2
1
cos , 2,sin cos
4 2
2
X X
x X t t
π
−
 
− = ≤ =
 
 
.
(1)
⇔
2 2
3
1 1
3 2
2 2
X X
X X
− −
− =

3 2
2 3 2 0X X X⇔ + − − =
2

x x
x

− + =

⇔

≤


1
2
x⇔ =
.
i) X = 1-
2
: sint + cost = 1 -
2
2
1 1 2x x⇔ + − = −

2
1 1 2x x⇔ − = − −
2 2
1 2 2 2 2(1 2)
1 2 0
x x x
x

− = − − − +

ải phương trình
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
− + + =

HD.
ðặt
(
)
2 3 0
x
t+ = >

⇒

(
)
1
2 3
x
t
− =

Pt
⇔
1

)
(
)
2
2
2 3 2 3 2 3
x
x
−
=



+ = − = +


2, 2.x x⇔ = = −

VD2. Cho phương trình
( ) ( )
tan
5 2 6 5 2 6
x tanx
m+ + − =

1) Gi
ải phương trình khi m = 4
2) Gi
ải và biện luận phương trình (1) theo m.
HD.

2 3t = ±

( ) ( )
tan
5 2 6
5 2 6 2 3 log 2 3
x
tanx
+
⇔ + = ± ⇔ = ±( )
5 2 6
log 2 3x arctan k
π
+
 
⇔ = ± +
 

2) Ptrình
ñã cho có nghiệm khi và chỉ khi Pt(1) có nghiệm t > 0
Th
ấy ngay rằng, nếu (1) có nghiệm thì có hai nghiệm cùng dấu. Do vậy nếu pt (1)
có nghi
ệm dương thì có hai nghiệm dương. Suy ra, cần và ñủ là:
2
4 0
2

tan log arctan log
2 2
m m m m
x x k
π
+ +
 
± − ± −
= ⇔ = +
 
 
 
.
2. Các ki
ểu ñặt ẩn phụ.
1.1.
ðặt một ẩn phụ chuyển phương trình về phương trình của ẩn phụ.
VD. Giải và biện luận phương trình
24
3 1 1 2 1x m x x− + + = −

HD. Th
ấy rằng x = - 1 không thoả ptrình.
Pt
ñã cho tương ñương với
4
1 1
3 2
1 1
x x

⇔
' 0
0
0
P
S
∆ ≥


≥


≥


⇔
1
0
3
m≤ ≤

Hai nghi
ệm của (2) là
1 1 3
3
m
t
± −
=


= =
⇒
=
 
 
+ +
 

khi 0
≤
m
1
3
≤
:
4
1 1 1 3
1 3
x m
x
− ± −
⇒ =
+

4
1
1
1
11 1 1 3
1 3 1

 
 
+ +
 

1.2. ðặt một ẩn phụ và duy trì ẩn cũ trong cùng một phương trình.
VD1. Gi
ải phương trình 2(1 - x)
2 2
2 1 2 1x x x x+ − = − −

Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình

Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực

11
HD. Cách 1:
ðặt
2
2 1x x t+ − = ≥
0
2 2 2 2
2 1 2 1 4x x t x x t x⇒ + − = ⇒ − − = −

Pt
⇔

2
2(1 ) 4x t t x− = − ⇔
2

Cách 1:
ðặt
2
1x t+ =

Cách 2: Bình ph
ương hai vế
1.3.
ðặt một ẩn phụ và duy trì ẩn cũ trong một hệ phương trình.
VD1. Giải phương trình x
2
+
5 5x + =

HD. ðặt
2
5 0 5x y y x+ = ≥ ⇒ = +
(1)
T
ừ Pt ñã cho
⇒
x
2
= 5 - y (2)
Tr
ừ từng vế (1) và (2) ta có: y
2
- x
2
= x + y


ii) y - x - 1 = 0
⇔
y = x + 1
≥
0
⇔
x
≥
- 1: (2)
⇔
x
2
- x - 4 = 0

⇔
x =
1 17
2
− ±

Nh
ưng x
≥
- 1 nên
1 17
2
− +

Cách 2.(Bi

ất ñồ thị của hai hàm ngược nhau)
Pt
ñã cho tương ñương
3
3
1
2 1
2
x
x
+
= −
(1)
Các hàm số
3
3
1
, y 2 1
2
x
y x
+
= = −
là các hàm số ngược của nhau. Vậy nên phương
trình (1) t
ương ñương
3
1
2
x