BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Số phức là một nội dung quan trọng được đưa vào cuối chương trình
Giải tích 12 với mục đích kết thúc việc giới thiệu hệ thống các tập hợp số cho
học sinh: số tự nhiên, số nguyên, số thập phân, số hữu tỉ, số thực, số phức.
Những năm gần đây, đề thi Đại học – Cao đẳng thường có những bài toán số
phức với đủ các mức độ nhận biết – thông hiểu – vận dụng và vận dụng cao. Do
đó, việc dạy học giải bài tốn này cũng là một trong những nội dung ôn thi
THPT Quốc Gia của các trường THPT. Tuy nhiên, do thời lượng dạy học nội
dung này không nhiều nên đa phần giáo viên chưa quan tâm đến việc phát triển
nhiều phương pháp giải toán cho học sinh. Trong các phương pháp giải toán số
phức, nếu tiếp cận bài tốn dưới góc độ hình học ta có thể tìm được những lời
giải hay và hiệu quả cho bài tốn đó.
Vì vậy, tác giả chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là “Phát triển năng lực
giải bài tốn số phức dưới góc độ Hình học cho học sinh lớp 12 trường THPT
Bình Xuyên”.
2. Tên sáng kiến
Phát triển năng lực giải bài toán số phức dưới góc độ Hình học cho học
sinh lớp 12 trường THPT Bình Xuyên.
3. Tác giả sáng kiến
Họ và tên: Đào Thùy Linh
Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Bình Xuyên
Số điện thoại: 0914262612 Email:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
Bà Đào Thùy Linh - GV Toán trường THPT Bình Xuyên.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
Sáng kiến được áp dụng trong lĩnh vực dạy học bộ mơn Tốn: cụ thể là
dạy học giải bài tập toán học. Sáng kiến được đưa ra nhằm giải quyết vấn đề
phát triển năng lực giải bài tập toán học cho học sinh.
1

tập tốn học của học sinh được hình thành và phát triển.
2


Năng lực giải toán bao gồm các thành phần: năng lực phân tích tổng hợp,
năng lực khái qt hóa, năng lực suy luận logic, năng lực rút gọn quá trình suy
luận, năng lực tìm ra lời giải hay,... Các năng lực thành phần này thường được
thể hiện qua các phương diện sau:
-

Một là: biết nhìn nhận, hiểu bài tốn.

-

Hai là: biết định hướng giải bài tập toán một cách rõ ràng.

-

Ba là: biết trình bày lời giải bài tốn một cách chính xác

-

Bốn là: biết phân tích lời giải bài toán.

Cũng như năng lực giải bài tập toán học, năng lực giải bài tập số phức
được xem như khả năng vận dụng những kiến thức toán học đã được lựa chọn
vào hoạt động giải bài tập số phức. Ở đây, ta có thể hiểu năng lực giải bài tập số
phức không chỉ giới hạn ở khả năng giải quyết những bài tốn về số phức mà
cịn ở cả khả năng biết sử dụng số phức như một công cụ giải toán.
1.1.2. Phát triển năng lực giải bài tập toán cho học sinh



- Hoạt động phân tích đề bài, tìm tịi suy đoán, phát biểu bài toán theo
nhiều cách khác nhau hay tìm sự liên quan giữa các bài tốn.
- Hoạt động tiếp cận những tri thức phương pháp giải toán và thực hiện
các thao tác như: quy lạ về quen, phân chia trường hợp,…
- Hoạt động luyện tập trình bày lời giải một bài tốn từ cách giải tìm
được; hoạt động theo dõi lời giải cho trước để đánh giá lời giải đó, tìm sai lầm
và sửa chữa sai lầm nếu có.
- Hoạt động tư duy bao gồm: lật ngược vấn đề, khái quát hoá, đặc biệt
hoá bài toán, khai thác các lời giải của bài toán để đề xuất những bài tốn mới
hoặc tìm hướng giải cho những bài tốn khác, giải bài toán theo nhiều cách
khác nhau…
1.1.3. Đề xuất các biện pháp phát triển năng lực giải toán cho học sinh
Thầy cô giáo cần trang bị đầy đủ các tri thức về phương pháp giải toán
cho HS bao gồm: quy trình giải tốn theo 4 bước của G.Polya và những tri thức
phương pháp về nội dung toán học cụ thể. Đặc biệt, đối với những bài tốn chưa
có hoặc khơng có thuật giải: GV thường thơng qua dạy HS giải một số bài toán
cụ thể mà dần dần cho HS cách thức, kinh nghiệm tiến tới kĩ thuật giải một lớp
các bài tốn có dạng quen thuộc.
Học sinh phải được rèn luyện thường xun kĩ năng giải tốn thơng qua
củng cố, luyện tập giải các bài toán trong từng dạng hoặc cùng sử dụng một
phương pháp giải theo các mức độ năng lực tăng dần: nhận biết, thông hiểu, vận
dụng và vận dụng cao .
1.2. Bài tập toán và dạy học giải bài tập tốn
1.2.1. Vai trị của bài tập trong q trình dạy học.
Bài tập tốn học có vai trò là giá mang hoạt động của HS. Khi giải bài tập,
HS phải thực hiện những hoạt động bao gồm: nhận dạng thể hiện, những hoạt
động toán học phức tạp, những hoạt động phổ biến trong toán học, những hoạt
động trí tuệ chung và hoạt động ngơn ngữ.

hợp điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn điều kiện cho trước và bài tốn tìm
GTLN –NN của biểu thức số phức nhờ cơng cụ hình học.
b) Về kĩ năng:
Rèn luyện kĩ năng giải toán số phức gồm:
- Giải bài toán điểm biểu diễn của một số phức.
- Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn điều kiện cho trước .
- Giải bài toán min – max biểu thức số phức nhờ cơng cụ hình học.
c) Về tư duy, thái độ:
- Phát triển tư duy logic, tư duy sáng tạo.
- Phát triển năng lực sử dụng hình học vào giải bài tập số phức.
- Tính cẩn thận, chính xác và tính thẩm mĩ.
5


Chương 2: Phát triển năng lực giải bài toán số phức dưới góc độ Hình học
cho học sinh lớp 12 trường THPT Bình Xuyên.
2.1. Lý thuyết
2.1.1. Kiến thức cơ bản:
a) Định nghĩa số phức:
+ Dạng đại số:

z = a + bi , ( a, b

Các kết quả: Cho số phức z = a + bi , (a, b

R, i2 = - 1).
R), ta có:

+ Phần thực là a, phần ảo là b, đơn vị ảo là i.
+ Môđun của số phức : | z|

 Phép chia hai số phức
Phép chia số phức z1 cho số phức z2 được thực hiện theo quy tắc sau :
z1

z1 .z2

z2

z2 .z2

z1 .z2
| z2 |2

Chú ý : Tất cả các tính chất mà đúng với phép tốn trên các số thực thì
cũng đúng trên các số phức.
 Liên hợp của số phức

6


z1

z2

z2 , z1 .z2

z1

z1
z2

2a

b

i | |
.
2a

* Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0.
Khi b chẵn có b’ = b/2 ;

2

' =b’ – ac.
b'

+ Nếu

' > 0, PT có 2 nghiệm thực phân biệt x1,2

+ Nếu

' = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 =

b'
.
a

+ Nếu



z
z'

5) z

z'

,z'

0.

OM .

6) z z '

MN .

7


2OI , với I là trung điểm của đoạn thẳng MN.

7) z z '

2.2. Giải bài toán số phức dưới góc độ hình học
2.2.1. Bài tốn về điểm biểu diễn số phức
Cách giải: Số phức z

a


i . Chọn A.

Câu 2: Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z a bi
( a, b
, ab 0 ), M là điểm biểu diễn cho số phức z . Mệnh đề nào
sau đây đúng?
A. M đối xứng với M qua Oy .
B. M đối xứng với M qua Ox .
C. M đối xứng với M qua đường thẳng y

x.

D. M đối xứng với M qua O .
Lời giải
Ta có M là điểm biễu diễn cho số phức z
đối xứng với M qua Ox . Đáp án B

a bi

M (a; b) nên M

Câu 3: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức cho số phức z.
Biết OM = 5. Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng
A. z

5.

B. z


.
3 2i
8


A.

1; 4 .

B. 1; 4 .

C. 1; 4 .

D.

1; 4

Lời giải
Ta có z

(2 3i)(4 i)
3 2i

5 14i
3 2i

(5 14i)(3 2i)
13

13 52i


D. Q .

Lời giải
Tọa độ các điểm: M(0; 1) , N(2;1) , P(5; 0) , Q(1; 4) .
0

Dễ thấy

5 1
2
3
nên N là trọng tâm của tam giác MPQ . Chọn
1 0 4
1
3

B.
Câu 7: Cho M, M’ theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z 0
và z '

1 i
z . Hỏi tam giác OMM’ là tam giác gì?
2

A. Tam giác đều.

B. Tam giác tù có góc nhỏ hơn 600.

C. Tam giác nhọn.


OM

z

Do z

0 nên tam giác OMM’ vuông cân tại M’.

1 i
z
2

z' z

2
z ..
2

Cách 2: Làm thủ thuật trắc nghiệm.
Thử chọn z 1

1 i
2

z'

1 1
M(1; 0), M '( ; ).
2 2

đó

ABC

tam

giác

ABC

là

tam

1
CA.CB
2

1
.4.2
2

4 . Đáp án D.

giác

vuông

tại


17
.
2

B. S

23
.
2

D. S

21
.
2

Lời giải
Ta có z1
z4

3i

1 i

A( 1;1) , z2

1 2i

B(1; 2) , z3



y
B

2
A

1
1

1 O

x

2

1

C

3 D

Khoảng cách từ B đến AC là:
d( B; AC )

2

3.2 1

7

5.

ABC

Khoảng cách từ D đến AC là:
d( D; AC )

Vậy S S

0 9 1

10

13
S

ABC

S

13
7
2

ADC

ADC

17
. Đáp án A.


ai

a b

a

b i

Ta gọi A(a, b) , B( b, a) , C(a b, a b) nên AB( b a, a b) , AC( b, a) .
Vậy S

1
AB, AC
2

1
2

a2

b2

1 2
(a
2

b2 )

18


Phân tích: Câu hỏi của bài tốn này khiến HS khơng thực hiện được các
cách giải trong câu 10 nên mức độ tăng cao hơn nhiều. Tuy nhiên, dấu hiệu sử
dụng cơng cụ hình học ở đây thể hiện ở chỗ

z'
z

OM '
OM

2.

Lời giải:
Giả sử z '

nên nếu tam giác OMM’ là tam giác vuông cân tại M’ thì:

z

OM

2OM '

OM

2 MM '

Đặt


, ta có:

yi x , y

x2

2 z'

x
1
2

y

1
x
2 và
1
y
2

1
2
1
2

1 i
. Chọn C.
2


bằng 0 nên HS dễ dàng chọn đáp án C.
Mức độ 2: Thông hiểu.
Câu 2: Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z z 2i là?
A. Trục hoành.

B. Đường thẳng x = 1.

C. Đường thẳng x = 2.

D. Đường thẳng y = 1.

Phân tích: Trong bài toán này, HS sử dụng cách giải cơ bản ở mức độ
đơn giản để chỉ ra tính chất của điểm biểu diễn cho số phức z.
Lời giải
Đặt z

x

yi x , y

 z = x – yi, do đó z z 2i

y

1 . Đáp án D.

Tăng cường các bước tính tốn, ta có mức độ 3 của bài tốn này như sau:
Mức độ 3: Vận dụng.
Câu 3: Tìm quỹ tích các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức
z thoả mãn điều kiện z z 3


x

7
2

. Vậy tập hợp tất cả các

điểm M là hai đường thẳng song song với trục tung: x =

1
và x =
2

7
. Đáp án C.
2

Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn (1 z)2 là số thực. Tập hợp các điểm M biểu
diễn số phức z là?
A. Hai đường thẳng.

B. Parabol. C. Đoạn thẳng.

D. Đường tròn.

Hướng dẫn giải

13


0 . Đáp án A.

Mức độ 4: Vận dụng cao.
Câu 5: Cho S là tập các số thực m để phương trình z2 2z 1 m 0 có
nghiệm phức mà điểm biểu diễn của nghiệm đó nằm trên đường trịn
tâm O(0;0), bán kính bằng 2 đơn vị. Tính tổng tất cả các phần tử của S.
A.

3.

B. 6 .

C. 10.

D. 7.

Phân tích: Bài tốn này trở nên khó hơn khi HS phải biết phân chia
trường hợp của tham số để tìm ra phần thực, phần ảo của z .
Lời giải
Ta có:

m, P

1 m.

Trường hợp 1 :

0

m


Trường hợp 2 :

0

m

1

m.

0.

Vì đây là phương trình hệ số thực có

0 nên phương trình có hai

nghiệm phức là liên hợp của nhau. Do đó:
z

2

z.z

4

P

4


Tìm mối liên hệ giữa M với A, B, C...

-

Kết luận về tập hợp điểm M thỏa mãn tính chất z z1

z

z2 là đường

trung trực của AB .
Mức độ 1: Nhận biết.
Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z i

z 2 . Tập hợp các điểm M biểu diễn

số phức z là?
A. Hai đường thẳng.

B. Parabol.

C. Một đường thẳng.

D. Đường tròn.
Hướng dẫn giải

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Các điểm A(0;1), B(2; 0) biểu diễn
cho các số phức z1

i , z2

3i

AM

BM . Suy ra tập hợp M là đường trung trực của AB.

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương
trình x 3y 6 0 . Đáp án C.
Mức độ 3: Vận dụng.
Câu 3: Trên mặt phẳng phức tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
z 2 i
z 3i là đường thẳng có phương trình:
15


A. y

x 1.

C. y

B. y

x 1.

x 1.

D. y

x 1.

(y

3)2

i

z

(x

2) ( y

4x

2y

1)i

5

6y

x (y

3)i

9

x 1.



z 1
z i

z 3i
z i

1?

A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 4 .
Phân tích: Để giải được bài toán này, nếu biến đổi đại số thơng thường,
học sinh sẽ khó đưa được từng ràng buộc về để tìm số lượng số phức z. Do đó,
HS cần biết các phép tốn về mơ đun của số phức để đưa các dữ kiện đó về dạng
z

z1

z

z2 .

Lời giải
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Các điểm
A(1; 0), B(0;1), C(0; 3), D(0; 1) biểu diễn cho các số phức
z1 1, z2 i , z3 3i , z4
i . Ta có:
Gọi số phức z a bi với a, b

Ý tưởng tương tự, ta có bài tốn sau:
Câu 5: Cho số phức z a bi , a, b
P

a

thỏa mãn

z 1
z

i

1 và

z 3i
z i

1 . Tính

b.

A. P 7 .

B. P

1.

C. P 1 .


a 1 bi

a (b 3)i

1
. Vậy P
1

a (b 1)i

a (b 1)i

2a 2b
b

0 (1).

1 (2).

2 . Chọn D.

b) Loại 2: Quỹ tích điểm biểu diễn là đường trịn
Dấu hiệu nhận biết: điểm biểu diễn số phức thỏa mãn tính chất
z

z'

R, R

0 hoặc những tính chất đưa được về nó.


Chọn A
Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z là đường tròn tâm I(3; 4) , bán kính
R 5.
Mức độ 2: Thơng hiểu.
17


Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i

5 và M( x; y) là điểm biểu diễn số

phức z . Quỹ tích M là đường trịn có phương trình nào sau đây?
A. ( x 1)2 ( y 2)2 25 .
B. ( x 1)2 ( y 2)2 25 .
C. ( x 1)2 ( y 2)2

D. ( x 1)2 ( y 2)2

5.

5.

Lời giải
Ta có z 1 2i

5

x 1 ( y 2)i



iy x, y

Ta có:
z

2 i

4

(x

2) ( y 1)i

4 nên ( x

2)2

(y

1)2

16

Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:
z

2 i

4 là đường trịn có tâm I( 2; 1) và có bán kính R

31 i

w 3

i

3 2.

18


Giả sử w

x

( x 3)2

yi ( x, y

1)2

(y

)

x 3 (y

1)i

I(3; 1) , R


z

y2

9 x2

z i

x2

.

3z i

x

( y 1)2

yi

3x

yi i

8 x2

8y2

18 y


z

2 14i và z 1 10i

B. Khơng.

A. Hai.

5?

C. Một.

D. Vơ số.

Phân tích: Nếu như ở câu 5, sử dụng hình học và đại số có vai trị tương
đương thì ở câu 6 này việc sử dụng cơng cụ hình học mang lại hiệu quả cao hơn.
Dấu hiệu sự dụng hình học thể hiện rõ ở 2 dữ kiện đã cho của bài toán.
Hướng dẫn giải
Cách 1: biến đổi đại số.
Từ giả thiết z 10 2i
24a

Ta có: z 1 10i
25 2
b
9

z


4
b 4
3

(b 10)2
6,a

(b

25

4
( b 5)2
3

b2

20b 100

25

4 .Vậy có một số phức thỏa mãn. Chọn C.

Cách 2: sử dụng hình học giải tích

19


z 10


A. 2 .

B. 3 .

C. 4 .

D. 5 .

Lời giải
Chọn B
Đặt z

yi , z 1

x

x 1

( x 1)2

yi

Do
1

y2 .

đó
z 1


w

z1

5,

8 . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức

z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường trịn có phương trình

nào dưới đây?
A. x

5
2

2

C. ( x 10)

y

2

3
2

2

( y 6)


Phân tích: Trong bài tốn này, dấu hiệu sử dụng hình học thể hiện rõ ở
các ràng buộc z 5 3i
cho

5 , z1

z2

8 và w

z2 trong đó điểm biểu diễn

z1

w
là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm biểu diễn cho z1 , z2 .
2

Lời giải
Gọi A , B , M là các điểm biểu diễn của z1 , z2 , w . Khi đó A , B thuộc
đường trịn C : ( x 5)2 ( y 3)2

25 và AB

z1

z2

8. C

C. Một đường tròn.

D. Một đường elip.
Lời giải

Đặt z

x

yi , x , y

 z = x – yi. Khi đó: (3)  |x+(y-1)i| = |(x+y)i|

 x2+(y-1)2 = (x+y)2 x2 – 4y = 0  y =
Vậy tập hợp các điểm M là parabol y =
Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2

x2
.
4

x2
. Chọn B.
4
z

2

5 . Tập hợp điểm biểu diễn cho


z z1
z z2 , z z ' R, R 0 hoặc những tính chất đưa được về các tính
chất đó.
Cách giải
- Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Các điểm A, B, C... lần lượt biểu diễn
cho các số phức liên quan z1 , z2 , z3 ...
-

Tìm mối liên hệ giữa M với A, B, C...

- Kết luận về giá trị min – max nhờ sử dụng các kết quả sau:
1) Nếu điểm M di động trên đường thẳng
thì z z1 min d A; .
2) Nếu điểm M di động trên đường tròn
z

z1 max

IA

I; R

thì z z1 min

IA R

và

R.


z 2i . Số phức z có mơđun

C. z 2 2i .

D. z 3 2i .

Lời giải
22


Cách 1:
Gọi M, A, B là điểm biểu diễn số phức z , z1
Ta có: z 2 4i

z 2i

của AB có phương trình
Khi đó z min

2

4i , z2

2i .

MB . Tập hợp M là đường trung trực

MA

: x y 4 0.

Khi đó:
a2

z

b2

a2

(4 a)2

a
b

Đẳng thức xảy ra

2a 2

2(a 2)2

8a 16

2
. Vậy z
2

2 2.

2i . Chọn C.


5

kính R 5 .
Khi đó z 1 i

MA nên z

MI

điểm

biểu

diễn

số

phức

5 . Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I, bán

1 i max

IA

R

10 . Chọn C.

Mức độ 3: Vận dụng.


5 . Tập hợp điểm biểu diễn số phức

2i

3
; 2 , bán kính R
2

M m

5.

10 .

2R

Mức độ 4: Vận dụng cao.
Câu 5: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 5

5, z2

1 3i

z2

3 6i . Giá

trị nhỏ nhất của z1 z2 là:
A.


z2 .

Lời giải
Chọn A
Giả sử z1

a1

, z2

b1i a1 , b1

a2

.

b2 i a2 , b2

Ta có
z1

5

5 nên tập hợp các điểm A biểu diễn cho số phức z1 là

đường trịn C có tâm là điểm I( 5; 0) và bán kính R 5 .
z2

1 3i

82

62

5

5
.
2

5
.
2

Tăng cường biến đổi các ràng buộc, ta có các bài toán sau:
Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z 2i
nhất của biểu thức P
A. 13 1 .

z

z 4i và z 3 3i

1 . Giá trị lớn

2 là:

B. 10 1 .

C. 13 .

bằng 1. Biểu thức P

z 2

AM

trong đó A(2; 0) , theo hình vẽ thì giá
trị lớn nhất của P
M

z 2 đạt được khi

(4; 3) nên max P

13 .

AM

Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn
w 2 3i

z 1 i

2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z

1 , số phức

w

thỏa mãn

2 . Giá trị nhỏ nhất của z

w chính là giá

trị nhỏ nhất của đoạn MN .
Ta có I1I 2
MNmin

I1 I 2

1; 4
I1 I 2

R1

R2

R1

17
17

R2

(C1 ) và (C2 ) ở ngoài nhau.

3

Câu 8: Cho số phức z và w thỏa mãn z w 3 4i và z w
lớn nhất của biểu thức T