Bất đẳng thức Bernoulli
Giảng viên hướng dẫn: TS.Nguyễn Minh Tuấn
Sinh viên: Nguyễn Thanh Tuấn
Lớp:K48A1S
Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội
Tóm tắt nội dung
Bất đẳng thức Bernoulli là một trong những bất đẳng thức quen
thuộc trong chương trình toán lớp 12. Nó thường được sử dụng để
chứng minh nhiều bất đẳng thức khác. Vì vậy việc xây dựng va chứng
minh bất đẳng thức này có ý nghĩa rất quan trọng.
Bản thân bất đẳng thức này thường được chứng minh bằng cách sử
dụng đạo hàm (hoặc có thể dùng phương pháp quy nạp).
Trong bài tiểu luận này tôi xin trình bày một số vấn đề về bất đẳng
thức Bernoulli:
1. Xây dựng và chứng minh bất đẳng thức Bernoulli.
2. Ứng dụng bất đẳng thức Bernoulli vào việc sáng tạo các bài toán
mới.
Mục lục
1 Xây dựng và chứng minh bất đẳng thức Bernoulli 1
2 Ứng dụng bất đẳng thức Bernoulli vào việc sáng tạo các bài
toán mới. 2
1 Xây dựng và chứng minh bất đẳng thức Bernoulli
Ta luôn có: x
2
+ 1 ≥ 2x (∀x ∈ R) ⇔ x
2
+ (2 − 1) ≥ 2x (∀x ∈ R)
Tổng quát: x
α
+ (α − 1) ≥ αx . Đúng hay không ? Nếu đúng thì điều kiện
của x của α là gì ?

≤ 2 − α
Từ đó suy ra:
2
α
≥
2
2 − α
(2)
Bây giờ ta chứng minh:
2
2 − α
≥ 1 + α
2
(3)
Thật vậy, dễ thấy bất đẳng thức (3) tương đương với bất đẳng thức đúng
α(α − 1)
2
≥ 0
Vậy: 1 + α ≥ 2
α
≥ 1 + α
2
Bài toán 2. Cho α
1
, α
2
, α
3
, . . . , α
m

= 1 ta suy ra được:
α
1
∈ [0; 1]; α
2
∈ [0; 1]; . . . ; α
m
∈ [0; 1]
2
Áp dụng bất đẳng thức 2
α
≥ 1 + α
2
lấn lượt cho α
1
, α
2
, α
3
, . . . , α
m
(m ≥ 1)
Ta có:
2
α
1
≥ 1 + α
1
2
2

2
2
+ · · · + α
m
2
)
hay:
2
α
1
+ 2
α
2
+ · · · + 2
α
m
≥ m + 1
3