Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức
VD1:(BĐT Nesbitt): Cho a,b,c là các số thực dương . CMR:
3
2
a b c
b c c a a b
  
  Ta đặt
2
2
2
y z x
a
x b c
x z y
y c a b
z a b
x y z
c











   
(đúng)
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
abc  

VD2: (Prance Pre –MO 2005) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn:
2 2 2
3x y z  
. CMR:
3
xy yz zx
z x y
  Đặt
xy
a
z
yz
b
x
zx
c
y




1x y z  
. CMR
1 4 9
36
x y z
  

Từ giả thiết ta có thể đặt:
a
x
abc
b
y
abc
c
z
abc














1
3
3
1
2
x
ba
y
ca
z







  









VD4: Cho x, y, z là các số thực dương. CMR
( )( )( )xyz x y z y z x z x y      


1 1 1 1a b c
b c a
   
      
   
   

Do
1abc 
nên ta có thể đặt
x
a
y
y
b
z
z
c
x












  
  

Ta đặt
1
1
1
a
x
b
y
c
z












với
, , 0x y z 
và do
1abc 
nên

2 2 2
xyz
x y z x y z
y z z x x y


     

  


Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
1abc   

VD7: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn:
2xyz x y z   
.
CMR:
3
2
x y z xyz  Từ
1 1 1
21
1 1 1
xyz x y z
x y z


     

Mặt khác ta có:
1
.
2
a b a b
b c c a a c b c



   
1
.
2
b c b c
c a a b b a c a



   
1
.

b c a c a b a b c
  
     

2,
1 1 1 1 1 1
a b c b c a c a b a b c
    
     

Bài 2: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn
2 2 2
21x y z xyz   
. CMR:
1,
3
2
x y z  

2,
1 1 1
4( )x y z
x y z
    

Gợi ý: từ giả thiết ta có thể đặt
,,
a b c
x y z
b c c a a b

2 2 2
( ) ( ) ( ) 0a b a b b c b c c a c a     

Gợi ý: Đặt
,,a x y b y z c z x     TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN

“Tìm được lời giải cho một bài toán là một phát minh” (Polya). Sẽ thông minh hơn nếu ta
biết vận dụng nó để sáng tạo và tìm lời giải cho các bài toán mới. Bài viết này đề cập đến một
bất đẳng thức quen thuộc, đơn giản và một số bài toán áp dụng bất đẳng thức này.
Bài toán: Với hai số dương x và y ta có:

)
11
(
4
11
yxyx


(1)
Đẳng thức xảy ra khi x =y.
Bất đẳng thức (1) có nhiều cách chứng minh ở đây đưa ra hai cách chứng minh
phổ biến nhất.
Cách 1. Với hai số dương x và y ta có:

)( yx 
2

)( yx 
(
)
11
(
4
11
4)
11
yxyxyx




Và đẳng thức xảy ra khi x =y.
Cho các số dương a, b, c, áp dụng bất đẳng thức (1) ta có

)
11
(
4
11
);
11
(
4
11
);
11
(

111
(
2
1
2
1
2
1
2
1
accbbabacacbcba 











(3)
* Kết hợp (2) và (3) ta có
Bài toán 2. Với a, b, c là các số dương:

)
111
(
4

1
2
1
2
1
2
1











(5)
Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có:

cbaacbbaacbba 





 2
2
)2()3(

2
)2()3(
4
2
1
3
1

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta co bất đẳng thức (5)
Đẳng thức xảy ra khi:
cba
cbaac
baccb
acbba









23
23
23

Bài toán 4. Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa mãn
đẳng thức sau:


A
tg
C
tg
A
tg
C
tg
B
tg
C
tg
B
tg
A
tg







Giải: Đặt
tgx 
2
,
2
,
2

zy
yzzx
yx
yzxy
zx
xyzx
z
yzxy
z
zxyz
y
zxxy
y
yzzx
x
yzxy
x
xyzxyzxy
z
zxyzzxxy
y
yzzxyzxy
x
xy
z
zx
y
yz
x
4



































Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC đều.
Bài toán 5. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0, x + 1>0, y +
1 > 0, z + 4 > 0. Hãy tìm giá trị lớn nhất của

111 





z
z
y
y
x
x
Q

Giải: Đặt a = x + 1 > 0, b = y + 1 > 0, c = z + 4 > 0. Ta có: a + b + c = 6 và














Q
cbacbacba

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:






















1
2
1
z
yx

Bài toán 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức