Về các dãy số xác định bởi dãy các phương trình

Trần Nam Dũng – ĐH KHTN Tp HCM

Trong toán học, có rất nhiều trường hợp ta không xác định được giá trị cụ thể đối
tượng mà chúng ta đang xét (ví dụ số, hàm số) nhưng vẫn có thể thực hiện các
phép toán trên các đối tượng đó. Ví dụ ta có thể không biết giá trị các nghiệm của
một phương trình, nhưng vẫn biết được tổng của chúng:
“Tìm tổng các nghiệm của phương trình cos
5
x – 5cos
3
x + 3cosx – 1 = 0 trên đoạn
[0, 2]”.
hay là tính tích phân của một hàm mà ta không có biểu thức tường minh:
“Chứng minh rằng với mọi t  0, phương trình x
3
+ tx – 8 = 0 luôn có 1 nghiệm
dương duy nhất, ký hiệu là x(t). Tính
.)]([
7
0
2

dttx
”
Trong bài viết nhỏ này, chúng ta sẽ đề cập đến một tình huống căn bản khác, đó là
khảo sát những dãy số xác định bởi dãy các phương trình:
“Cho dãy các hàm số f
n
(x) xác định bởi công thức tường mình hoặc truy hồi thoả

} hội tụ;
b) Hãy tìm giới hạn đó.

Bình luận: x
n
được xác định duy nhất vì hàm số
nxxx
xf
n




1
...
1
11
)(
liên
tục và đơn điệu trên (0, 1). Tuy nhiên, ta không thể xác định được giá trị cụ thể
của x
n
. Rất may mắn, để chứng minh tính hội tụ của x
n
, ta không cần đến điều đó.
Chỉ cần chứng minh tính đơn điệu và bị chặn là đủ. Với tính bị chặn, mọi thứ đều
ổn vì 0 < x
n
< 1. Với tính đơn điệu, ta chú ý một chút đến mối liên hệ giữa fn(x) và
f

f
n
(x
n
) + 1/(x
n
-n-1) = 1/(x
n
-n-1) < 0, trong khi đó f
n+1
(0
+
) > 0. Theo tính chất của
hàm liên tục, trên khoảng (0, x
n
) có ít nhất 1 nghiệm của f
n+1
(x). Nghiệm đó chính
là x
n+1
. Như thế ta đã chứng minh được x
n+1
< x
n
. Tức là dãy số {x
n
} giảm. Do dãy
này bị chặn dưới bởi 0 nên dãy số có giới hạn.

Ta sẽ chứng minh giới hạn nói trên bằng 0. Để chứng minh điều này, ta cần đến







aanxnxxx
nnnn

Mâu thuẫn. Vậy ta phải có lim x
n
= 0.

Bài toán 2. Cho n là một số nguyên dương > 1. Chứng minh rằng phương trình
x
n
= x + 1 có một nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là x
n
. Chứng minh rằng x
n
dần
về 1 khi n dần đến vô cùng và tìm
)1(lim 

n
n
xn
.
Lời giải:


n
. Suy ra dãy
{x
n
} có giới hạn hữu hạn a. Ta chứng minh a = 1. Thật vậy, giả sử a > 1. Khi đó x
n

 a với mọi n và ta tìm được n đủ lớn sao cho: x
n
n
 a
n
> 3 và x
n
+ 1 < 3, mâu
thuẫn ví f
n
(x
n
) = 0.

Để giải phần cuối của bài toán, ta đặt x
n
= 1 + y
n
với lim y
n
= 0. Thay vào phương
trình f
n

xnBài toán 3. (VMO 2007) Cho số thực a > 2 và f
n
(x) = a
10
x
n+10
+ x
n
+ …+x + 1.
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình f
n
(x) = a luôn
có đúng một nghiệm dương duy nhất.
b) Gọi nghiệm đó là x
n
, chứng minh rằng dãy {x
n
} có giới hạn hữu hạn khi n
dần đến vô cùng.

Lời giải. Kết quả của câu a) là hiển nhiên vì hàm f
n
(x) tăng trên (0, +). Dễ dàng
nhận thấy 0 < x
n
< 1. Ta sẽ chứng minh dãy x
n

Vì ta đã có f
n+1
(1) = a
10
+ n + 1 > a nên ta chỉ cần chứng minh ax
n
+ 1 < a là sẽ suy
ra x
n
< x
n+1
< 1. Như vậy, cần chứng minh x
n
< (a-1)/a. Thật vậy, nếu x
n
 (a-1)/a
thì
a
a
a
aa
a
a
a
a
a
a
a
a
a














1
)1(
1
)1(
1
1
1
1
1
)(
10
1
10
10

(do a – 1 > 1). Vậy dãy số tăng {x
n

n
(x
n
) = f’()(c – x
n
) với  thuộc (x
n
, c)
Nhưng f’() = (n+10)a
10

n+9
+ n
n-1
+ …+ 1 > 1 nên từ đây suy ra
kc
n
> c - x
n

Từ đó ta có
c – kc
n
< x
n
< c
Và có nghĩa làm lim x
n
= c.


Mối liên hệ f
n+1
(x) = f
n
(x) + 1/((n+1)
2
x-1) cho thấy x
n
là dãy số tăng (ở đây
2
1
1
1
...
14
1
1
1
)(
2







xn
xx
xf


xn
xx
xf
n
. Rất
may mắn, bài tính f
n
(4) này liên quan đến 1 dạng tổng quen thuộc.

Lời giải: Đặt f
n
(x) như trên và gọi x
n
là nghiệm > 1 duy nhất của phương trình
f
n
(x) = 0.
Ta có
nnn
nn
n
f
n
4
1
2
1
2
1

1
)4(
2




















Áp dụng định lý Lagrange, ta có
1/4n = |f
n
(x
n
) – f(4)| = |f’(c)||x
n

Trong ví dụ trên (và trong phần nhận xét ở bài toán 3) chúng ta đã sử dụng định lý
Lagrange để đánh giá hiệu số giữa x
n
và giá trị giới hạn. Ở ví dụ cuối cùng của bài
viết này, ta tiếp tục nếu ra ứng dụng dụng định lý này trong một tình huống phức
tạp hơn.

Bài toán 5. Cho n là một số nguyên dương > 1. Chứng minh rằng phương trình
x
n
= x
2
+ x + 1 có một nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là x
n
. Hãy tìm số thực a
sao cho giới hạn
)(lim
1


nn
a
n
xxn
tồn tại, hữu hạn và khác 0.
Bình luận. Dễ thấy giá trị a, nếu tồn tại, là duy nhất. Tương tự như ở bài toán 2, có
thể chứng minh được rằng x
n
~ 1 + ln(3)/n. Từ đó có dự đoán là a = 2. Định lý
Lagrange sẽ giúp chúng ta đánh giá hiệu x

n+1
(x
n
) = x
n
n
(x
n
-1) + P
n
(x
n
) = (x
n
2
+x
n
+1)(x
n
-1) = x
n
3
– 1.
Áp dụng định lý Lagrange, ta có
(x
n
2
+x
n
+1)(x

) – 2x
n+1
– 1 = P
n+1
’(x
n+1
) < P
n+1
’(c)
< P
n+1
’(x
n
)= (n+1)(x
n
2
+x
n
+1) – 2x
n
– 1.
Từ đây, với lưu ý lim x
n
= 1, ta suy ra

3
)(
lim
'
1

1
2
2
1
'
1



















nn
n
nn
n
n

bài toán ở dạng này.