ĐẠI SỐ CƠ BẢN
(ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC)
Bài 11. Cơ Sở, Số Chiều
Của Không Gian Vectơ
PGS TS Mỵ Vinh Quang
Ngày 27 tháng 3 năm 2005
1. Cơ sở
Cho V là không gian vectơ, α
1
, α
2
, . . . , α
n
là một hệ vectơ của V .
 Hệ vectơ α
1
, α
2
, . . . , α
n
gọi là hệ sinh của V nếu mọi vectơ β ∈ V đều biểu thị tuyến
tính được qua hệ α
1
, α
2
, . . . , α
n
.
 Hệ vectơ α
1
, α

, . . . , e
n
là cơ sở của R
n
, gọi là cơ sở chính tắc của R
n
và ta có
dimR
n
= n
Ví dụ 2. Trong không gian vectơ các ma trận cấp m × n hệ số thực M
m×n
(R).
1
Ta xét hệ vectơ {E
ij
}, trong đó:
E
ij
=



0
.
.
. 0
. . . 1 . . . . . .
0
.

(a) Mọi hệ vectơ có nhiều hơn n vectơ đều phụ thuộc tuyến tính
(b) Mọi hệ có n vectơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của V
(c) Mọi hệ có n vectơ là hệ sinh của V đều là cơ sở của V
(d) Mọi hệ độc lập tuyến tính, có k vectơ đều có thể bổ sung têm n − k vectơ để được
cơ sở của V
Chú ý rằng từ tính chất (b), (c) nếu biết dimV = n thì để chứng minh một hệ n vectơ là
cơ sở của V ta chỉ cần chứng minh hệ đó là hệ độc lập tuyến tính hoặc hệ đó là hệ sinh.
4. Tọa độ của vectơ trong cơ sở.
(a) Định nghĩa
Cho V là không gian vectơ n chiều (dimV = n) α
1
, α
2
, . . . , α
n
là cơ sở của V .
Với x ∈ V , khi đó x viết được duy nhất dưới dạng:
x = a
1
α
1
+ a
2
α
2
+ . . . + a
n
α
n
, a

1
a
2
.
.
.
a
n





(b) Ma trận đổi cơ sở, công thức đổi tọa độ
Trong không gian vectơ V cho 2 cơ sở:
α
1
, α
2
, . . . , α
n
(α)
β
1
, β
2
, . . . , β
n
(β)
2

= a
21
α
1
+ a
22
α
2
+ . . . + a
n2
α
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
β
n
= a
n1
α
1
+ a
2n
α
2
+ . . . + a
nn
α
n
Ma trận các hệ số chuyển vị:
T
αβ

a
1n
a
2n
. . . a
nn





gọi là ma trận đổi cơ sở từ (α) sang (β)
Từ định nghĩa, ta có ngay T
αβ
là ma trận khả nghịch và T
αβ
= T
−1
αβ
(c) Công thức đổi tọa độ
Cho V là không gian vectơ, x ∈ V , và các cơ sở của V là:
α
1
, α
2
, . . . , α
n
(α)
β
1



x
1
x
2
.
.
.
x
n





= T
αβ





y
1
y
2
.
.
.

1
= (1, 0, 1), β
2
= (1, 1, 0), β
3
= (0, 1, 1) (β)
(a) Tìm ma trận đổi cơ sở từ (α) sang (β).
(b) Viết công thức tính tọa độ của vectơ x trong cơ sở (α) theo tọa độ của x trong cơ
sở (β).
Giải:
3
(a) Giả sử:
β
1
= a
1
α
1
+ a
2
α
2
+ a
3
α
3
(1)
β
2
= b

=


a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2
a
3
b
3
c
3


Để tìm a
i
, b
i
, c
i
ta phải giải các phương trình vectơ (1), (2), (3).

1
− b
2
+ b
3
= 1
b
1
+ 2b
2
+ 3b
3
= 1
b
1
+ b
2
+ 2b
3
= 0
Phương trình (3) tương đương với hệ:



c
1
− c
2
+ c
3







1
1
0






0
1
1


→


1 −1 1
0 3 2
0 2 1





0 0 −1






1
−1
2






1
1
−3






0
0
1



= −c
3
= 1, c
1
= c
2
− c
3
= 2
Vậy ma trận đổi cơ sở từ (α) sang (β) là:
T
αβ
=


4 −4 2
1 −2 1
−2 3 −1


(b) Giả sử
x
/
(α)
= (x
1
, x
2
, x
3




y
1
y
2
y
3


hay
x
1
= 4y
1
− 4y
2
+ 2y
3
x
2
= y
1
− 2y
2
+ y
3
x
3

= (x − a)
2
, . . . , v
n+1
= (x − a)
n
(V )
trong đó a là hằng số.
(a) Tìm ma trận đổi cơ sở từ (U) sang (V )
(b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ (V ) sang (U)
Giải
(a) Ta có:
v
k+1
= (x − a)
k
= C
0
k
(−a)
k
+ C
1
k
(−a)
k−1
x + . . . + C
k
k
x














C
0
0
C
0
1
(−a) . . . C
0
k
(−a)
k
. . . C
0
n
(−a)
n
0 C

.
.
.
.
.
. . . .
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
C
k
k
.
.
.
.
.
.
















(b) Ta có
u
k+1
= x
k
= [(x − a) + a]
k
= C
0
k
a
k
+ C
1
k

lần lượt cho k = 0, 1, . . . , n ta có:
T
UV
=















C
0
0
C
0
1
a . . . C
0
k
a
k

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
C
k
k

.
.
.
0 0 . . . 0 . . . C
n
n















5