Ước và bội là hai trong số những khái niệm cơ bản nhất của số học. Tuy nhiên sự cơ bản
luôn luôn có sự thú vị riêng của nó. Những người học số học luôn cần phải năm vững vấn
đề này, không chỉ vì sự ứng dụng rộng rãi của nó mà nó còn là nền tảng xây dựng nên
những vấn đề phức tạp và đa dạng hơn.
Trước hết chúng ta hãy điểm qua một số khái niệm cơ bản.
A. Một số khái niệm cơ bản.
i) Ước số.
Một số nguyên
d
được gọi là ước số của một số nguyên a khi và chỉ khi tồn tại một số
nguyên
b
sao cho
abd=
.
ii)Ước số chung.
Một số nguyên dương d được gọi là ước số chung của hai số nguyên dương a và b khi và
chỉ khi d là ước số của a và d cũng là ước số của b.
Tương tự ta cũng có định nghĩa uớc số chung của n số nguyên dương
12
,,...,
n
aaa
iii)Ước chung lớn nhất.
Một tính chất cơ bản của ước mà các bạn cũng có thể nhận ra là: nếu d là ước của a thì
d a≤ , do đó tập hợp các ước số của một số là hữu hạn. Trong một tập hữu hạn thì luôn
tồn tại phần tử bé nhất, nhỏ nhất. Do đó khái niệm về ước chung lớn nhất được hình
thành( ước chung nhỏ nhất là đối của ước chung lớn nhất , dó đó ta chỉ cần xét ước chung
lớn nhất là đủ).

,,...,
n
aaa
được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ
khi
( )
12
,,...,1.
n
aaa=
v)Bội số.
Một số nguyên k được gọi là bội số của một số nguyên a khi và chỉ khi tồn tại một số
nguyên
b
sao cho
.kab=

vi)Bội số chung
Một số nguyên dương k được gọi là bội chung của hai số nguyên dương a và
b
nếu k là
bội số của a và k cũng là bội số của b.
Tương tự ta cũng có định nghĩa bội số chung của
n
số nguyên dương
12
,,...,
n
aaa


(,)(,)acbccab=
.
ii)Cho c là ước chung dương của a và
b
. Khi đó:
(,)
,.
abab
ccc

=



Từ đây suy ra
(,),1.
ab
dab
dd

=⇔=



iii)Tồn tại các số nguyên
,xy
sao cho
( )
,.abaxby=+


[]
,,1.
kk
kab
ab

=⇔=



ix)
[ ] [ ]
,,cacbcab=
x)
[ ] [ ]
,,,,abcabc=


C. Phép chia Euclid.
Trong các phần trên , chúng t
Ta đã thông qua các khái niệm và uớc chung và và một số tính chất về ước số. Thế nhưng
chúng ta vẫn chưa biết cách làm để tìm được ước số chung của ước số. Qua phần này
chúng ta sẽ trả lời câu hỏi thông qua việc tìm hiểu phép chia Euclid.
Để đơn giản chúng ta chỉ đi tìm ước chung của các số nguyên dương, việc các số nguyên
âm là hòan tòan tương tự.Trước hết chúng ta sẽ xem xét ý tưởng của phương pháp này.
Euclid đã bắt đầu với nhận xét sau:
(,)(,)(,),(*).abbabbabdab=−=−=≠
. Chứng
minh nhận xét này không khó,xin được dành cho bạn đọc. Giả sử
ab≥

b
.
Cho
0.ab>>

Nếu
abq=
thì
( )
,.abb=
Nếu
(0)abqrr=+≠
thì
(,)(,)abbr=
. Phép chia Euclid trong trường hợp này được thực
hiện như sau:

11
112112
12231223
211211
11
(,)(,)
(,)(,)
(,)(,)
.............
(,)(,)
(,)
nnnnnnn
nnnnnn

thì tính chất iii) là hiển nhiên. Nếu
ab
/

thì ta đã có đẳng thức sau:

1
0.1.
nnn
rrr
−
=+.
Giả sử ta đã có:
,11
().
nkkkk
rrrxryr
++
==+ Khi đó:

1111
11
()
()(,)
kkkkkkkkk
kkknkk
rrqryryqxrxryr
yryqxrrrr
−+−+
−−

b)Hãy tìm các ước chung lớn nhất có thể có của
21k −
và
94k +

( )
kN∈
Câu a) chỉ là câu áp dụng phép chia Euclid, ta hãy giải quyết nhanh nào:

(34,56)(22,34)(12,22)(10,12)(2,10)2.=====

Suy ra
[]
34.561904
34,56952.
(34,56)2
===

Câu b) cũng áp dụng phép chia Euclid, tuy nhiên hơi phức tạp một chút vì có chứa ẩn số
k
. Các bạn cũng thực hiện phép chia một cách bình thường, giống như là chia đa thức
vậy:

(21,94)(944(21),21)
(8,21)(212(8),8)
1(178)
(8,17)(8,17)
17(178)
kkkkk
kkkkk

kkd
d
d
d
+−−
=

⇒⇒

=




Lời giải trên thật ngắn gọn.tuy nhiên nếu làm như vậy thì ta sẽ xác định cụ thể các trường
hợp mà ở đó
1d =
và
17d =
như thế nào. Trong trường hợp này, bạn phải giải phương
trình nghiệm nguyên sau. Tìm k sao cho:
2117,,klklZ−=∈
(dạng
210(mod17)k −≡
)
( Xem thêm trong phần phương trình nghiệm nguyên) và sẽ đi được kết quả tương tự
như đã nói trong cách 1.
Ta rút ra bài tóan tổng quát sau. Cho
acbdp−=
là một số nguyên tố. Tìm tất cả các giá


(65,83),.kkkN++∈

Bài 2: Cho
(1)
21,
2
nn
AnB
+
=+=
. Tìm
(,)AB

D.Ước chung của (a
m
-1,a
n
-1)
Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu về ước chung lớn nhất của
1
m
a −
và
1
n
a −
trong
đó
2*

( )
1
d
Ba−
. Việc còn
lại là tìm
B
. Ta hãy thử tìm
B
trong các trường hợp cụ thể xem sao:
a 2 3 4
m 2 3 4
n 4 5 6
A 3 2 15
B 1 1 1
Như vậy ta có thể dự đoán, ta mạnh dạn đưa ra giả thuyết
( )
(,)
1,11.
mnmn
aaAa−−==−

Ta sẽ cần chứng minh
( )
,
1
mn
aA− 
và từ đó suy ra
( )

aaaa
aaaCaDA
−
−=−
=−−−=−−− 

Mà
( ) ( )
yn
a,11,1.
nyn
aaA−=⇒=
Do đó theo tính chất iv) ta suy ra
(,)
11
xmynmn
aaA
−
−=−
. Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh.
Tóm lại ta thu được kết luận sau:
( )
( )
,
1,11
mn
mn
aaa−−=−
. Đây là một kết quả quan
trọng, các bạn cũng có thể thấy “dáng vẻ” của nó khá giống với định lý Fertmat, Euler

,ab các số nguyên dương thỏa
( )
21,211.ab++=Tìm các giá trị có thể
của:
( )
211211
221,221
aabb++++
++++
.

Kết thúc bài viết sẽ là phần bài tập tổng hợp, một số bài toán là các kết quả đáng nhớ mà
các bạn nên lưu tâm.
E. Bài tập tổng hợp.
Bài 1:Chứng minh rằng:

1
,1(,1)
1
m
a
ama
a

−
−=−

−

trong đó

( )
2
22,21
n
n
−−