Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
***************** MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT
BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ THẾ KHÔI
Người thực hiện: TRẦN DANH TUYÊN Thái Nguyên - 2009
▼ô❝ ❧ô❝
▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✷
✶ ▼ét sè ✈Ý ❞ô ✈Ò ♥❤ã♠ ✈➭ t➳❝ ➤é♥❣ ♥❤ã♠ ✹
✶✳✶ ◆❤ã♠ ♠❛ tr❐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹
✶✳✷ ❚➳❝ ➤é♥❣ ♥❤ã♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✶✳✸ ◆❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽
✷ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ➤➵✐ sè ❝➡ së ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ♥❤ã♠ ✶✵
✷✳✶ P❤Ð♣ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵
✷✳✷ ❇✐Ó✉ ❞✐Ô♥ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷
✷✳✸ ❈➳❝ ✈Ý ❞ô ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸

ố ụ ủ ủ ú t ồ
ột số í ụ ề ó t ộ ó r
ú t ột số ệ ó tr t ộ
ó ó ố ứ ữ ế tứ sẽ ợ sử ụ tr ò
ủ
ệ số sở ủ é ể ễ ó r
ú t trì ệ ột số í ụ ể
ệ ủ é ể ễ ó
ể ễ ủ ó ữ tứ rs
í ủ r ú t trì ột
số ết q ủ ý tết ể ễ ủ ó ữ ệt
ú t trì ột ứ ủ tứ rs t
q ý tết ể ễ ó
t ũ ợ tỏ ò ết s tớ ờ t
ờ ớ ọ ủ ì ũ ế ờ sự ớ
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✸
❝❤Ø ❜➯♦ t❐♥ t×♥❤ ✈➭ ♥❣❤✐➟♠ ❦❤➽❝ ❝ñ❛ t❤➬② ♠➭ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤
♠ét ❝➳❝❤ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ➤ó♥❣ t✐Õ♥ ➤é✳ ❳✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❝➠♥❣
t➳❝ t➵✐ ❱✐Ö♥ ❚♦➳♥✱ t➵✐ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ t❤✉é❝ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ➤➲ trù❝
t✐Õ♣ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ✈➭ q✉❛♥ t➞♠✳ ❳✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❛♥❤ P❤➵♠ ❍å♥❣ ◆❛♠✱ ❣✐➯♥❣ ✈✐➟♥
❦❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❚✐♥ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❝➯♠ ➡♥ ❜➵♥ ❜❒ ➤å♥❣
♥❣❤✐Ö♣ ✈➭ ❣✐❛ ➤×♥❤ ➤➲ ➤é♥❣ ✈✐➟♥✱ ❣✐ó♣ ➤ì t➳❝ ❣✐➯ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣
✈➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✳
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣ ✵✾ ♥➝♠ ✷✵✵✾
❍ä❝ ❱✐➟♥
❚r➬♥ ❉❛♥❤ ❚✉②➟♥
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈❤➢➡♥❣ ✶
▼ét sè ✈Ý ❞ô ✈Ò ♥❤ã♠ ✈➭ t➳❝ ➤é♥❣ ♥❤ã♠

O(p, q) := {A ∈ M
n
(R);
t
AD
p,q
A = D
p,q
},
tr♦♥❣ ➤ã D
p,q
❧➭ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ➤➢ê♥❣ ❝❤Ð♦ ♠➭ a
ii
= 1, ∀i = 1, p ✈➭ ❝➳❝
a
ii
= −1, ∀i = p + 1, n✳ ❱➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❤ã♠ ✉♥✐t❛✿
U(n) := {A ∈ M
n
(C);
t
AA = E
n
}
✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✺
❧➭ ♥❤ã♠ ❦❤➯ ♥❣❤Þ❝❤✳
❈❤♦ n = p + q t❤× ❝➳❝ ♥❤ã♠
U(p, q) := {A ∈ M

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✶✳ G ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ t➳❝ ➤é♥❣ tr➳✐ tr➟♥ χ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ➳♥❤ ①➵
G × χ → χ
(g, x) → g · x
t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ s❛✉✿
✐✮ g · (g

· x) = (gg

) · x
✐✐✮ e · x = x
✈í✐ ♠ä✐ g, g

∈ G, x ∈ χ✳
❈❤ó ý✿ ➜➷t Autχ ❧➭ t❐♣ ❤î♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ s♦♥❣ ➳♥❤ tõ χ ✈➭♦ χ t❤× tõ ➤Þ♥❤
♥❣❤Ü❛ t❛ ➤➢î❝ ➤å♥❣ ❝✃✉ ♥❤ã♠
ϕ :G → Autχ
g → g · x
• ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ G t➳❝ ➤é♥❣ tr➳✐ tr➟♥ χ t❛ ❝ò♥❣ ❣ä✐ χ ❧➭ G−t❐♣ tr➳✐✳
• ❚➳❝ ➤é♥❣ ♥❤ã♠ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜➽❝ ❝➬✉ ♥Õ✉ ♠ä✐ ❝➷♣ x, x

∈ χ t❤× tå♥ t➵✐ g ∈ G
s❛♦ ❝❤♦ x

= g · x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ớ ọ x
0
t ị ợ t G ã x
0

(A, x) A ã x
ớ ọ x C
n

ị ĩ ột t ợ ọ t t ế ó ột
ó G t ộ tr
ị ĩ ớ ọ Gt t ị /G
G
t Gqỹ
tr
G
t ể t ộ ủ G ĩ t tử
x s g ã x = x ớ ọ g G
ú ý ế ó trú số í ụ ế é t tì
tr trờ ợ
:G
x g ã x
tế tí ớ ỗ g G
ị ĩ

Gt tr f :

ột
f ợ ọ ế Gồ ế ớ ọ g G
x t ó
g ã f(x) = f(g ã x).
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✼
❈❤♦ H ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❝ñ❛ G✱ t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❝ñ❛ G tr♦♥❣ H
❧➭


)
✐✐✮ x · e = x✱ ∀x ∈ χ, g, g

∈ G✳
❈❤ó ý✿ ❚❛ ❝ã t❤Ó ➤➢❛ ♥❤ã♠ t➳❝ ➤é♥❣ ♣❤➯✐ ✈Ò t➳❝ ➤é♥❣ tr➳✐ ✈➭ ♥❣➢î❝ ❧➵✐
♥❤ê ♣❤➯♥ ➤➻♥❣ ❝✃✉✿
G → G
g → g
−1
❉♦ ➤ã ❝❤♦ χ ❧➭ G−t❐♣ ♣❤➯✐ t❤× ➤➢î❝ t➳❝ ➤é♥❣ tr➳✐ ❝❤♦ ❜ë✐✿
g · x := x · g
−1
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ó ố ứ
ị ĩ ó ố ứ S
n
ó ủ ị ĩ
ó t ở s ủ n tử
õ r Aut ó s từ t í t ọ
n
:=
{1, 2, ..., n} tì S
n
= Aut
n

ú ý

, ..., i
r
) ớ i
j
i
j+1
ớ j < r i
r
i
1
ế r > 1
ồ t ế r = 1.
ỗ ột ị ó ột tí t t ột tí í rờ

ị ĩ ột ủ n ột (n
1
, ..., n
r
) số tự
n
i
N ớ n
i
n
j
ế i < j

n
i
= n

♥Õ✉ π ❧➭ ♠ét ➤å♥❣ ❝✃✉ tõ G ➤Õ♥ AutV ✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ➳♥❤ ①➵
π :G → AutV
g → π(g),
t❤♦➯ ♠➲♥
π(gg

) = π(g)π(g

), ∀g, g

∈ G.
AutV ➤➢î❝ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❜ë✐ GL(V ) ❧➭ ♥❤ã♠ t✃t ❝➯ ❝➳❝ tù ➤➻♥❣ ❝✃✉ ❝ñ❛ V ✳
❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ V ❧➭ ♠ét ❈✲ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉ ✈í✐
dim V = n t❤× t❛ ♥ã✐ π ❝ã ❜❐❝ ❧➭ n ❤♦➷❝ π ❧➭ ♣❤Ð♣ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ n ❝❤✐Ò✉ ✳
❈❤♦ B = (v
1
, ..., v
n
) ❧➭ ♠ét ❝➡ së ❝ñ❛ V t❤× ✈í✐ ♠ä✐ F ∈ AutV ➤➢î❝ ❜✐Ó✉
❞✐Ô♥ tr♦♥❣ ❝➡ së B ❜ë✐ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ❦❤➯ ♥❣❤Þ❝❤ A ❝✃♣ n × n✱ A := M
B
(F )✱
t❛ ❝ã ♠ét ➤➻♥❣ ❝✃✉ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡ V  C
n
✈➭ ➤➻♥❣ ❝✃✉ ♥❤ã♠
AutV  GL(n, C)✳ ❉♦ ➤ã t❛ ❝ã ♠ét ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ❦❤➳❝ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ➤Þ♥❤
♥❣❤Ü❛ tr➢í❝✳
✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ột V
0
V t ế ế t ó
(g)(v
0
) V
0
, g G, v
0
V
0
.
r trờ ợ
0
:= |
V
0
ột é ể ễ ủ G tr V
0
tì

0
ợ ọ é ể ễ
ó t ó r ể ễ t q ế ó é ể
ễ tự sự
V t ứ ĩ V ợ tr ị ột tí
ớ
< ., . >:V ì V C
(v, v


.
ị ĩ ột é ể ễ ủ G tr V unita ế ỗ
(g) t ĩ ớ ọ v, v

V g G t ó
< (g)v, (g)v

> = < v, v

> .
ể ễ t
é ể ễ

ủ G tr C é t V
t ứ ớ V

t tì ột G ớ
F : V V

ị ĩ ột Ctế tí F : V V

ợ ọ ột
t tử ệ ữ

ế ớ ọ g G t ó
F (g) =

(g)F,
ĩ ể ồ s
V


ột
é t tr trờ C ó ợ ị ĩ ở Hom
G
(V, V

)
C(V, V

) ữ ú t tờ sử ụ í ệ C(V ) := C(V, V )

c(,

) = c(V, V

) = dim C(V, V

)
c(,

) ũ ợ ọ ộ ủ tr

í ệ ở mult(,

)
Pé ể ễ

ớ c(,

) = c(


=

1 2 3
1 2 3

= id
y
2
=

1 2 3
2 3 1

1 2 3
2 3 1

=

1 2 3
3 1 2

=

1 3 2


xy =

1 2 3

1 3


S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn