1
ÔN THI CAO HỌC MÔN TOÁN KINH TẾ
(Biên soạn: Trần Ngọc Hội - 2007)

BÀI GIẢI
PHẦN II: XÁC SUẤT Bài 1: Có ba khẩu súng I, II và III bắn độc lập vào một mục tiêu. Mỗi khẩu bắn
1 viên. Xác suất bắn trúng mục tiêu cuả ba khẩu I, II và III lần lượt là 0,7; 0,8
và 0,5. Tính xác suất để
a) có 1 khẩu bắn trúng.
b) có 2 khẩu bắn trúng.
c) có 3 khẩu bắn trúng.
d) ít nhất 1 khẩu bắn trúng.
e) khẩu thứ ba bắn trúng biết rằng có 2 khẩu trúng.

Lời giải.
Tóm tắt:
Khẩu súng I IIù III
Xác suất trúng 0,7 0,8 0,5

Gọi A
j
(j = 1, 2, 3) là biến cố khẩu thứ j bắn trúng. Khi đó A
1
, A
2
, A
3

=++

Vì các biến cố A
1
, A
2
, A
3
độc lập nên theo công thức Nhân xác suất ta có

2

123 1 2 3
123 1 2 3
123 1 233
P(A A A ) P(A )P(A )P(A ) 0,7.0, 2.0,5 0,07;
P(A A A ) P(A )P(A )P(A ) 0,3.0, 8.0,5 0,12;
P(A A A ) P(A )P(A )P(A ) 0,3.0, 2.0,5 0,03.
===
===
===Suy ra P(A) = 0,22.
b) Gọi B là biến cố có 2 khẩu trúng. Ta có

123 123 123
B AAA AAA AAA=++

Tính toán tương tự câu a) ta được P(B) = 0,47.

Suy ra
2
2
P(A B)
P(A /B) .
P(B)
=Mà
2123123
AB AAA AAA=+
nên lý luận tương tự như trên ta được P(A
2
B)=0,4
Suy ra P(A
2
/B) =0,851.
Bài 2: Có hai hộp I và II mỗi hộp chứa 10 bi, trong đó hộp I gồm 9 bi đỏ, 1 bi
trắng; hộp II gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 bi.
a)
Tính xác suất để được 4 bi đỏ.

3
b)
Tính xác suất để được 2 bi đỏ và 2 bi trắng.
c)

2
10
P(A ) 0;
9
P(A ) ;
45
36
P(A ) .
45
CC
C
CC
C
=
==
==

- B
0
, B
1
, B
2
xung khắc từng đôi và ta có:

02
64
0
2
10

i
và B
j độc lập.

- Tổng số bi đỏ có trong 4 bi chọn ra phụ thuộc vào các biến cố A
i

và B
j
theo bảng sau: B
0
B
1
B
2
A
0
0 1 2
A
1
1 2 3
A
2
2 3 4

+ A
1
B
1
+ A
2
B
0

Do tính xung khắc từng đôi của các biến cố A
0
B
2
, A
1
B
1
, A
2
B
0
, công thức
Cộng xác suất cho ta:

P(B) = P(A
0
B
2
+ A
1

) + P(A
2
)P(B
0
) = 0,2133. c) Gọi C là biến cố chọn được 3 bi đỏ và 1 bi trắng. Ta có:

C = A
1
B
2
+ A
2
B
1
.

Lý luận tương tự như trên ta được

P(C) = P(A
1
)P(B
2
) + P(A
2
)P(B
1
) = 0,4933.

nên
5
11212
915
P(A C) P(A B ) P(A )P(B ) . 0,0667.
45 45
== ==

Do đó xác suất cần tìm là: P(A
1
/C) = 0,1352. Bài 3: Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu.
Khách hàng kiểm tra bằng cách lấy ra từng sản phẩm cho đến khi nào được 3
sản phẩm tốt thì dừng lại.
a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3.
b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4.
b) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. Tính xác suất để ở lần
kiểm tra thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu.

Lời giải

Gọi T
i
, X
i

= (6/10)(5/9)(4/8) = 0,1667.

b) Gọi B là biến cố khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. Ta có:

B = X
1
T
2
T
3
T
4
+ T
1
X
2
T
3
T
4
+ T
1
T
2
X
3
T
4
.


/X
1
) P(T
3
/X
1
T
2
) P(T
4
/X
1
T
2
T
3
)
+ P(T
1
) P(X
2
/T
1
) P(T
3
/T
1
X
2
) P(T

+ (6/10)(5/9)(4/8)(4/7)
= 3(4/10)(6/9)(5/8)(4/7) = 0,2857.

c) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. Khi đó biến cố B đã xảy ra. Do
đó xác suất để ở lần kiểm tra thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu trong trường
hợp này chính là xác suất có điều kiện P(X
3
/B).
Theo Công thức nhân xác suất , ta có

33
P(X B) P(B)P(X /B) =
.

Suy ra

6
3
3
P(X B)
P(X /B)
P(B)
=
. Mà X
3
B = T
1

T
2
) P(T
4
/ T
1
T
2
X
3
)
= (6/10)(5/9)(4/8)(4/7) = 0,0952.

Suy ra P(X
3
/B) = 0,3333. Bài 4: Một hộp bi gồm 5 bi đỏ, 4 bi trắng và 3 bi xanh có cùng cỡ. Từ hộp ta
rút ngẫu nhiên không hòan lại từng bi một cho đến khi được bi đỏ thì dừng lại.
Tính xác suất để
a) được 2 bi trắng, 1 bi xanh và 1 bi đỏ.
b) không có bi trắng nào được rút ra.

Lời giải.

Gọi D
i
, T
i

1
X
2
T
3
D
4
+ X
1
T
2
T
3
D
4

Từ đây, do tính xung khắc từng đôi của các biến cố thành phần, ta có:

P(A) = P(T
1
T
2
X
3
D
4
)+ P(T
1
X
2

3
/T
1
T
2
)P(D
4
/T
1
T
2
X
3
)
= (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66;

P(T
1
X
2
T
3
D
4
) = P(T
1
)P(X
2
/T
1

1
)P(T
3
/X
1
T
2
)P(D
4
/X
1
T
2
T
3
)
= (3/12)(4/11)(3/10)(5/9) = 1/66. 7
Suy ra P(A) = 3/66 = 1/22 = 0,0455.

b) Gọi B là biến cố không có bi trắng nào được rút ra. Ta có: B xảy ra ⇔ Rút được
D
XD
XXD
X XXD

D
4

Từ đây, do tính xung khắc từng đôi của các biến cố thành phần, ta có:
P(B) = P(D
1
)+ P(X
1
D
2
) + P(X
1
X
2
D
3
) + P(X
1
X
2
X
3
D
4
)

Theo Công thức Nhân xác suất, ta có
P(B) = P(D
1
) + P(X

)P(D
4
/X
1
X
2
X
3
)

= 5/12+ (3/12)(5/11) + (3/12)(2/11)(5/10) + (3/12)(2/11)(1/10)(5/9)= 5/9
Bài 5: Sản phẩm X bán ra ở thò trường do một nhà máy gồm ba phân xưởng I,
II và III sản xuất, trong đó phân xưởng I chiếm 30%; phân xưởng II chiếm
45% và phân xưởng III chiếm 25%. Tỉ lệ sản phẩm loại A do ba phân xưởng I,
II và III sản xuất lần lượt là 70%, 50% và 90%.
a) Tính tỉ lệ sản phẩm lọai A nói chung do nhà máy sản xuất.
b) Chọn mua ngẫu nhiên một sản phẩm X ở thò trường. Giả sử đã mua được
sản phẩm loại A. Theo bạn, sản phẩm ấy có khả năng do phân xưởng nào
sản xuất ra nhiều nhất?
c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong rất nhiều sản phẩm X) ở thò
trường.
1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A.
2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A.

Lời giải

Tóm tắt:

P(A
3
) = 25% = 0,25.

Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có:

P(B) = P(A
1
)P(B/A
1
) + P(A
2
)P(B/ A
2
)+ P(A
3
)P(B/A
3
)

Theo giả thiết,

P(B/A
1
) = 70% = 0,7;
P(B/A
2
) = 50% = 0,5;
P(B/A
3

P(A /B) ;
P(B) 0, 66 66
P(A)P(B/A) 0,45.0,5 22,5
P(A /B) ;
P(B) 0, 66 66
P(A )P(B/A ) 0, 25.0, 9 22,5
P(A /B) .
P(B) 0, 66 66
===
===
===

Vì P(A
2
/B) = P(A
3
/B)> P(A
1
/B) nên sản phẩm loại A ấy có khả năng do phân xưởng II
hoặc III sản xuất ra là nhiều nhất. 9
c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong rất nhiều sản phẩm X) ở thò trường.
1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A.
2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A.

p dụng công thức Bernoulli với n = 121, p = 0,66, ta có:

1) Xác suất để có 80 sản phẩm loại A là


Tóm tắt:
Cửa hàng I II III
Tỉ lệ loại A 70% 75% 50%

Chọn nhẫu nhiên một cửa hàng và từ đó mua một sản phẩm.

a) Tính xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A.

Gọi B là biến cố sản phẩm chọn mua thuộc loại A.
A
1
, A
2
, A
3
lần lượt là các biến cố chọn cửa hàng I, II, III. Khi đó A
1
, A
2
, A
3
là một hệ đầy
đủ, xung khắc từng đôi và

P(A
1
) = P(A
2
) = P(A

3
= 50% = 0,5.

Suy ra P(B) = 0,65 = 65%.

Vậy xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A là 65%.

b) Giả sử đã mua được sản phẩm loại A. Theo bạn, khả năng người khách hàng ấy đã chọn
cửa hàng nào là nhiều nhất?

Giả sử đã mua được sản phẩm loại A. Khi đó biến cố B đã xảy ra. Do đó, để biết sản phẩm
loại A đó có khả năng khách hàng ấy đã chọn cửa hàng nào là nhiều nhất ta cần so sánh
các xác suất có điều kiện P(A
1
/B), P(A
2
/B) và P(A
3
/B). Nếu P(A
i
/B) là lớn nhất thì cửa
hàng thứ i có nhiều khả năng được chọn nhất.
Theo công thức Bayes ta có:

11
1
22
2
33
3


Lời giải

Gọi A là biến cố chọn được 3 bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp II.
A
i
(i = 0, 1, 2, 3) là biến cố có i bi đỏ và (3-i) bi trắng có trong 3 bi chọn ra từ hộp I. Khi đó
A
0
, A
1
, A
2
, A
3
là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có: 11
03
84
0
3
12
12
84
1
3
12
21

==
==
==

a) Tính xác suất để lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp II.
Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có:
P(A)=P(A
0
)P(A/A
0
)+P(A
1
)P(A/A
1
)+P(A
2
)P(A/A
2
)+P(A
3
)P(A/A
3
)

Cũng theo công thức tính xác suất lựa chọn, ta có
31
510
0
4
15

C
CC
C
CC
C
==
==
==
==

Suy ra xác suất cần tìm là P(A) = 0,2076.

b) Giả sử đã lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp II. Tìm xác suất để trong 3 bi
lấy được từ hộp I có 2 bi đỏ và 1 bi trắng.

Giả sử đã lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp II. Khi đó biến cố A đã xảy ra. Do
dó xác suất để trong 3 bi lấy được từ hộp I có 2 bi đỏ và 1 bi trắng trong trường hợp
này chính là xác suất có điều kiện P(A
2
/A). p dụng công thức Bayes, ta có:
22
2
112 280
.
P(A)P(A/A)
220 1365
P(A /A) 0, 5030.
P(A) 0, 2076
===


33
14
P(A ) ; P(A ) ;
55
23
P(A ) ;P(A ) ;
55
32
P(A ) ;P(A ) .
55
==
==
==

1) Gọi A là biến cố lấy được cả 3 bi trắng. Ta có

123
AAAA.=Suy ra P(A) = P(A
1
) P(A
2
) P(A
3
) = 0,048.

2) Gọi B là biến cố lấy 2 bi đen, 1 bi trắng. Ta có

Mà
1123
AB AAA=
nên lý luận tương tự như trên ta được P(A
1
B)=0,048
Suy ra P(A
1
/B) =0,1034 .
b) Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 3 bi. Tính xác
suất được cả 3 bi đen.

Gọi A là biến cố lấy được cả 3 bi đen.
A
1
, A
2
, A
3
lần lượt là các biến cố chọn được hộp I, II, III. Khi đó A
1
, A
2
, A
3
là một hệ đầy
đủ, xung khắc từng đôi và


123
33
55
CC
CC
41
P(A/A ) = ;P(A/A ) = ;P(A/A ) =0.
10 10
CC
==

Suy ra P(A) = 0,1667. Bài 9: Có 20 hộp sản phẩm cùng lọai, mỗi hộp chứa rất nhiều sản phẩm, trong
đó có 10 hộp của xí nghiệp I, 6 hộp của xí nghiệp II và 4 hộp của xí nghiệp III.
Tỉ lệ phế phẩm của các xí nghiệp lần lượt là 2%, 4% và 5%. Lấy ngẫu nhiên ra
một hộp và chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm từ hộp đó.
a) Tính xác suất để trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 phế phẩm.
b) Giả sử trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 phế phẩåm. Tính xác suất để 2
phế phẩm đó của xí nghiệp I.
Lời giải
Gọi A là biến cố trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 phế phẩm.
A
j
(j = 1, 2, 3) là biến cố chọn được hộp của xí nghiệp thứ j.
Khi đó A
1
, A
2

C
C
C
C
C
==
==
==

Mặt khác, từ giả thiết, theo công thức Bernoulli, ta có

22
13
22
23
22
33
P(A / A ) C (0, 02) (1 0, 02) 0, 001176 0,1176%
P(A / A ) C (0, 04) (1 0, 04) 0, 004608 0, 4608%
P(A / A ) C (0, 05) (1 0, 05) 0, 007125 0,7125%
=−==
=−==
=−==Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có

P(A) = P(A
1
)P(A/A

sinh viên khá trả lời được 16 câu còn sinh viên trung bình được 10 câu. Gọi
ngẫu nhiên một sinh viên và phát một phiếu thi gồm 4 câu hỏi thì anh ta
trả lời được cả 4 câu hỏi. Tính xác suất để sinh viên đó thuộc lọai khá. Lời giải.
Tóm tắt:

Xếp loại sinh viên Giỏi Khá Trung bình
Số lượng 3 4 3
Số câu trả lời được/20 20 16 10