Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê

Ramu Ramanathan 1 Thục Đoan/Hào Thi

CHƯƠNG 2

Ôn Lại Xác Suất và Thống Kê T
rong chương này, chúng ta tóm tắt các khái niệm của xác suất và thống kê được sử dụng
trong kinh tế lượng. Bởi vì một số kiến thức trước đây của xác suất và thống kê cơ bản
được giả sử trong sách này, việc ôn lại này được thiết kế để phục vụ chỉ như là một sự
hướng dẫn lại các chủ đề được sử dụng trong các chương sau này. Điều đó không có nghóa
là một sự nghiên cứu chặt chẽ và trọn vẹn về chủ đề này. Vì lý do này, chúng ta trình bày
rất ít các chứng minh. Để thay thế, chúng ta đònh nghóa các khái niệm quan trọng dưới
tiêu đề “Đònh nghóa” và tóm tắt các kết quả hữu dụng dưới tiêu đề “Các tính chất.” Muốn
có sự thảo luận chi tiết của các chủ đề, bạn nên tham khảo các cuốn sách tuyệt hảo được
liệt kê trong mục lục sách tham khảo ở cuối chương. Các phần được đánh dấu hoa thò (*)
có tính chất cao cấp hơn và có thể bỏ qua mà không mất đi ý nghóa chính của nội dung
chủ đề:
Chương này ôn lại tất cả chủ đề có liên quan trong xác suất và thống kê. Nếu đã có
lúc do bạn đã học chủ đề này rồi, bạn nên lướt nhanh qua chương này để gợi nhớ lại. Tuy
nhiên, nếu bạn vừa mới hoàn thành một khóa học về các tài liệu này, chúng tôi đề nghò

lần tung một đồng xu là các ví dụ của các biến ngẫu nhiên rời rạc. Một biến ngẫu nhiên
là liên tục nếu nó có thể mang bất kỳ giá trò nào trong một khoảng số thực. Khi được đo
lường chính xác, chiều cao của một người, nhiệt độ tại một lúc riêng biệt nào đó, và
lượng năng lượng tiêu thụ trong một giờ là các ví dụ của các biến ngẫu nhiên liên tục.
Quy ước sử dụng trong sách này là ký hiệu một biến ngẫu nhiên bằng mẫu tự hoa (như X
hay Y) và các kết quả cụ thể của nó bởi mẫu tự thường (như x hay y).
Để giữ cho sự trình bày được đơn giản, ta minh họa các khái niệm khác nhau sử
dụng hầu hết các biến ngẫu nhiên rời rạc. Các mệnh đề dễ dàng mở rộng tới trường hợp
của biến ngẫu nhiên liên tục.
Liên kết với mỗi biến ngẫu nhiên là một phân phối xác suất [ký hiệu bởi hàm
f(x)] nó xác đònh xác suất mà biến ngẫu nhiên sẽ mang các giá trò trong các khoảng xác
đònh cụ thể. Đònh nghóa chính thức của một biến ngẫu nhiên không được trình bày ở đây
nhưng có thể tìm thấy trong mọi cuốn sách liệt kê trong mục lục sách tham khảo.
Trong cuốn sách này ta chỉ thảo luận những phân phối có sử dụng trực tiếp trong
kinh tế lượng. Ramanathan (1993) có nhiều ví dụ của cả các phân phối liên tục và rời rạc
không được trình bày ở đây.

} VÍ DỤ 2.1
Như là một minh họa, Cục Thuế Nội Bộ Mỹ có thông tin về tổng thu nhập có hiệu chỉnh
từ tất cả tiền thu thuế thu nhập cá nhân (kể cả tính trả chung) cho toàn nước Mỹ. Giả sử
ta thiết lập các khoảng thu nhập 1 – 10.000, 10.000 – 20.000, 20.000 – 30.000, v.v… và
tính toán tỷ lệ tiền thu thuế thuộc vào mỗi nhóm thu nhập. Điều này tạo ra một phân
phối tần suất. Tỷ lệ tiền thu thuộc vào nhóm thu nhập 40.000 – 50.000 có thể được xem
là xác suất mà một khoản thu thuế được rút ngẫu nhiên sẽ có thu nhập thuộc vào khoảng
đó.
Trong Hình 2.1 tỷ lệ của tiền thu thuế được vẽ đồ thò dựa vào các trung điểm của
các khoảng dưới dạng biểu đồ thanh (được biết là biểu đồ tần suất) trong đó diện tích
của các hình chữ nhật bằng với các tỷ lệ tương ứng. Nếu kích thước mẫu là đủ lớn và các
khoảng đủ nhỏ, ta có thể làm gần đúng các tần suất với một đường cong trơn (như trình
bày trong biểu đồ), đó là phân phối xác suất của thu nhập.
} Hình 2.2 Phân Phối Xác Suất Của Điểm Trung Bình (GPA) 5 15 25 35 45 55

Người sử dụng chương trình GRELT nên thử Phần Máy Tính Thực Hành trong Phụ lục C.
Những người khác được khuyến khích dùng chương trình hồi qui của chính họ để thu
được phân phối tần suất cho DATA2-1 và DATA2-2 (xem Phụ lục D).

Phân Phối Chuẩn
Phân phối liên tục được dùng rộng rãi nhất là phân phối chuẩn (còn được biết là phân
phối Gaussian). Dạng đơn giản nhất của nó, được biết đến là phân phối chuẩn chuẩn
hóa (hoặc chuẩn chuẩn hóa), hàm mật độ xác suất (PDF) của phân phối này là

)2/xexp(
2
1
f(x)
2
−
π
= – ∞ < x < ∞


Như một ví dụ của một hàm xác suất rời rạc, gọi X là số mặt ngửa xuất hiện trong ba lần
tung một đồng xu. X có thể có các giá trò 0, 1, 2, hay 3. Tám kết quả riêng biệt lẫn nhau,
mỗi kết quả có xác suất như nhau là 1/8, được xác đònh bởi (HHH), (HHT), (HTH),
(THH), (HTT), (THT), TTH), và (TTT). Từ đó có P(X=2) = P(HHT) + P(HTH) +
P(THH) = 3/8. Tiến hành theo cách tương tự, ta có thể thu được các xác suất cho mỗi giá
trò có thể có của X. Bảng 2.2 cung cấp hàm xác suất f(x) cho bốn giá trò của X.
Phân phối là một phần tử của một họ phân phối được biết đến như phân phối nhò
thức. Nó phát sinh khi chỉ có 2 kết quả có thể xảy ra đối với một thí nghiệm, một được
mệnh danh là “thành công” và một là “thất bại”. Gọi p là xác suất của thành công trong
một thí nghiệm cho trước. Xác suất của thất bại là 1 – p. Hơn nữa giả sử rằng xác suất
của thành công là như nhau cho mỗi thí nghiệm và các thí nghiệm là độc lập. Gọi X là số
lần thành công trong n thí nghiệm độc lập. Vậy f(x) có thể trình bày là [xem Freund
(1992), trang 184-185]

xnxxnx
qp
)!xn(!x
!n
qp
x
n
f(x)
−−
−
=






ngửa, và không có gì hết nếu cả ba lần tung đều cho kết quả mặt sấp. Về mặt trung bình,
mỗi thí nghiệm
tung ba lần, ta kỳ vọng thắng bao nhiêu? Từ Bảng 2.2 ta lưu ý rằng trong
8 lần thí nghiệm ta có thể kỳ vọng,
về mặt trung bình
, có một lần có ba mặt đều ngửa
(dẫn đến được trả 3$), ba lần có hai mặt ngửa (tổng tiền được trả là 6$, tính 2$ cho mỗi
lần), và ba lần với một mặt ngửa (tổng tiền được trả là 3$). Vậy ta có thể kỳ vọng tổng
tiền được trả là 12$ (3+6+3) trong 8 lần thử, thành ra tiền được trả trung bình là 1,5 $ cho
mỗi lần thử.

Trung Bình Của Một Phân Phối
Giá trò trung bình được tính trong phần trước được gọi là
trung bình của phân phối

(cũng được biết đến như
kỳ vọng toán học của X
và
giá trò kỳ vọng của X
). Nó cũng
được biết đến như
momen bậc nhất xung quanh giá trò gốc
, hay momen
đònh tâm bậc
nhất
, và là một đại lượng của đònh vò. Nó được ký hiệu bởi E(X) hay µ. E(X) là một
trung bình có trọng số của X, với trọng số là các xác suất tương ứng. Trong trường hợp
tổng quát, giả sử một biến ngẫu nhiên rời rạc có thể có các giá trò x
1
, x

cho phép lấy tổng các số hạng, với i = 1 đến n. (Xem Phụ lục 2.A.1 về phép tổng.) Vậy
ta có đònh nghóa sau đây.

ĐỊNH NGHĨA 2.1 (Trung Bình Của Một Phân Phối)

Với một biến ngẫu nhiên rời rạc, trung bình của phân phối (µ) được đònh nghóa là

µ = E(X) =
])x(fx[
ni
1i
ii
∑
=
=

(2.1)
Bởi vì E(X) là trọng số theo xác suất, nó có thể khác với trung bình số học, x=
(∑x
i
)/n.
Không có lý do vì sao kết quả được mô tả ở trên được giới hạn bằng x. Nó có thể là
bất kỳ hàm nào của x. Giả sử kết quả là x
2
. Kết quả trung bình sẽ là ∑[x
i
2
f(x
i
)]. Điều này

} Bảng 2.3 Phân Phối Xác Suất Của Điểm VSAT

Khoảng x f(x)

0 – 200 100 0
200 – 250 225 0,003
250 – 300 275 0,021
300 – 350 325 0,033
350 – 400 375 0,061
400 – 450 425 0,131
450 – 500 475 0,201
500 – 550 525 0,234
550 – 600 575 0,169
600 – 650 625 0,084
650 – 700 675 0,063 } Bài Tập Thực Hành 2.1
Giả sử có 10.000 vé số 1$ được bán và có ba giải thưởng được đưa ra: giải nhất 5.000$,
giải nhì 2.000$, và giải ba 500$. Kỳ vọng thắng giải là bao nhiêu?

} Bài Tập Thực Hành 2.2

Một thợ bánh mì có hàm xác suất như sau cho nhu cầu bánh mì (tính theo tá hay 12 đơn
vò mỗi ngày). Tồn kho trung bình nên là bao nhiêu?

x 0 1 2 3 4 5 6 hay lớn hơn
f(x) 0,05 0,10 0,25 0,30 0,20 0,10 0

Chúng ta viết một số kết quả liên quan đến giá trò kỳ vọng mà không có chứng

Cho g(X) = (X – µ)
2
. X – µ là một đại lượng để xem X lệch bao nhiêu so với trung bình
µ. Bình phương đại lượng này sẽ phóng rộng các độ lệch và xử lý các độ lệch dương và
âm như nhau. Trung bình có trọng số xác suất của các độ lệch bình phương này (hay, cụ
thể hơn, kỳ vọng của chúng) là một đo lường của sự phân tán của các giá trò X xung
quanh giá trò trung bình µ. Nó được gọi là
phương sai của phân phối
(hay momen
đònh
tâm bậc hai
) và được ký hiệu bởi σ
2
hay Var(X). Nó là một đo lường của sự phân tán
của X xung quanh µ. Một cách chính thức, ta có đònh nghóa sau.

ĐỊNH NGHĨA 2.2 (Phương Sai và Độ Lệch Chuẩn)

Phương sai của X được đònh nghóa là

σ
2
= Var(X) = E[(X – µ)
2
] = ∑(x
i
– µ)
2
f(x
i

.
b. Theo đó nếu c là một hằng số hay không ngẫu nhiên, Var(c) = 0.
c. Nếu a và b là các hằng số hay không ngẫu nhiên, Var(a + bX) = b
2
σ
2
.

} VÍ DỤ 2.6

Hàm xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc được cho như sau:
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê

Ramu Ramanathan 9 Thục Đoan/Hào Thi

x 0 1 2 3
f(x) 0,1 0,3 0,4 0,2

Hãy tính trung bình, phương sai, và độ lệch chuẩn.

µ
= E(X) = ∑x
i

và 2.3.

} BÀI TẬP THỰC HÀNH 2.4
Hãy chứng tỏ rằng nếu biến ngẫu nhiên X có trung bình µ và độ lệch chuẩn σ, biến ngẫu
nhiên biến đổi Z = (X – µ)/σ (thường tham chiếu như là giá trò
z
) có trung bình 0 và
phương sai là 1.

Phân Phối Chuẩn Tổng Quát

Phân phối chuẩn được trình bày trong Phần 2.1 có trung bình 0 và phương sai đơn vò. Một
phân phối chuẩn tổng quát, với trung bình µ và phương sai σ
2
, thường được viết là N(µ,
σ
2
), có hàm mật độ như sau: 





σ
µ−
−
πσ

Ramu Ramanathan 10 Thục Đoan/Hào Thi
Tính chất 2.3

Phân phối chuẩn, với trung bình µ và phương sai σ
2
[được viết là N(µ, σ
2
)], có các tính
chất sau:
a. Đối xứng xung quanh giá trò trung bình µ và có dạng hình chuông.
b. Diện tích dưới đường cong chuẩn giữa µ – σ và µ + σ – nghóa là trong khoảng 1 độ
lệch chuẩn tính từ trung bình – hơi lớn hơn 2/3(0,6826). 95,44 phần trăm diện tích
nằm trong khoảng 2 độ lệch chuẩn tính từ giá trò trung bình – nghóa là, giữa µ – 2σ
và µ + 2σ. 99,73 phần trăm diện tích nằm trong khoảng 3 độ lệch chuẩn tính từ giá
trò trung bình. Vậy, gần như toàn bộ phân phối nằm giữa µ – 3σ và µ + 3σ.

} Hình 2.4 Ba Phân Phối Chuẩn


(1)
(2)
(3)
f(x)
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê

Ramu Ramanathan 11 Thục Đoan/Hào Thi
Một nhà sản xuất lốp xe đã nhận thấy rằng tuổi thọ của một loại lốp nào đó là một biến
ngẫu nhiên chuẩn với trung bình là 30.000 dặm và độ lệch chuẩn là 2.000 dặm. Công ty
mong muốn đảm bảo lốp xe đó cho N dặm với việc trả lại toàn bộ tiền nếu lốp xe không
dùng được đến giới hạn đó. Giả sử công ty muốn đảm bảo rằng xác suất mà một lốp xe
bò trả lại không quá 0,10 (nghóa là không quá 10 phần trăm số lốp xe sẽ được bán). Giá
trò N công ty nên chọn là bao nhiêu?
Cho X là tuổi thọ của lốp xe. Vậy X được phân phối theo N(30.000, 2.000
2
). Ta
muốn P(X ≤ N) ≤ 0,10. P(X ≤ N) =







} Hình 2.5 Đồ Thò Mật Độ Chuẩn Chuẩn Hóa Hệ Số Biến Thiên

f(Z)
z = – 1,828 d = 1,8280
Z
10%
40%
40%
10%

phân phối xác suất kết hợp
hay
phân phối hai biến
. Để việc trình bày đơn giản hơn, phần thảo luận chỉ tập trung vào
các biến ngẫu nhiên rời rạc. Sự khái quát hoá đối với trường hợp biến liên tục có thể dễ
dàng suy ra. Gọi X và Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc, x và y là các giá trò tương ứng mà
hai biến trên có thể đạt được. Xác suất mà X = x và Y = y được gọi là
hàm xác suất kết
hợp
đối với X và Y và được biểu thò thông qua hàm f
XY
(x, y). Vì thế ta có hàm f
XY
(x, y)
= P(X = x, Y = y), có nghóa là P(X = x và Y = y). Vì hàm xác suất thường được biểu thò
bằng f() nên chúng ta dùng ký hiệu XY đặt ở bên dưới

để quy đònh hai biến ngẫu nhiên
kết hợp đang quan sát là X và Y.

} V
Í
D
Ụ
2.8

Hãy xem xét cuộc thí nghiệm thảy một cặp súc sắc. Có thể có 36 trường hợp xảy ra,
được biểu thò theo (1, 1), (1, 2), …, (6, 6), trong đó chữ số đầu tiên là kết quả của súc sắc
thứ nhất và số hạng thứ hai biểu thò kết quả của súc sắc thứ hai. Mỗi kết quả đều có khả
năng xảy ra như nhau, và vì vậy xác suất xảy ra của mỗi kết quả cụ thể là 1/36. Bây giờ,

X
(x).
f
Y
(y).

Xác Suất Có Điều Kiện
Để biết thêm về xác suất của những biến cố xảy ra kết hợp của hai biến ngẫu nhiên X và
Y, chúng ta cũng cần nên biết về xác suất xảy ra của biến ngẫu nhiên cụ thể (Y) nào đó
cho trước
sự kiện đã xảy ra của một biến (X) ngẫu nhiên khác. Ví dụ, chúng ta có thể
muốn biết xác suất để giá mua một căn nhà là 200.000 đô la, nếu cho trước diện tích sinh
hoạt phải là 1.500 thước vuông Anh. Yêu cầu này sẽ dẫn chúng ta đến khái niệm
xác
suất có điều kiện
, được đònh nghóa trong trường hợp biến ngẫu nhiên dạng rời rạc như
sau:

P(Y = y  X = x) =
)xX(P
)yY,xX(P
=
==
với P(X = x) ≠ 0

Ký hiệu “” có nghóa là
cho trước
.
Hàm mật độ xác suất có điều kiện
(cho cả khi

(y). Rút ra từ kết luận này, chúng ta có:

f
YX
(yx) = f
XY
(x, y)/f
X
(x) = f
Y
(y) và f
XY
(xy) = f
XY
(x, y)/f
Y
(y) = f
X
(x)

}

Bảng 2.4 Phân phối xác suất kết hợp đối với số lần xuất hiện các con số 3 (X) và
số 5 (Y) khi một cặp súc sắc được thảy.

Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004


}

Bảng 2.5 Phân Phối Cận Biên Đối Với Số Lần Xuất Hiện Các Con Số 3 (X) Và Số
5 (Y) Khi Một Cặp Súc Sắc Được Thảy.

X
Y
0 1 2 f
Y
(y)
0 16/36 8/36 1/36 25/36
1 8/36 2/36 0 10/36
2 1/36 0 0 1/36
f
X
(x) 25/36 10/36 1/36 1

}

Bảng 2.6 Phân Phối Có Điều Kiện Đối Với Số Lần Xuất Hiện Các Con Số 5 (Y)
Cho Trước Số Lần Xuất Hiện Của Các Số 3 (X) Khi Một Cặp Súc Sắc
Được Thảy.

X
Y
0 1 2
0 0,64 0,32 0,04
1 0,80 0,20 0,00
2 1,00 0,00 0,00


Giá trò kỳ vọng của g(X, Y) được xác đònh như sau:

E[g(X, Y)] =
∑∑
xy
)y,x(f)y,x(gTrong đó phép tính tổng hai lần biểu diễn phép tính tổng trên tất cả các giá trò có thể có
của x và y. (Vì vậy giá trò kỳ vọng sẽ bằng tổng có trọng số với giá trò xác suất kết hợp
được dùng làm trọng số).
Gọi µ
x
là giá trò kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X, và µ
y
là giá trò kỳ vọng của biến
ngẫu nhiên Y. Phương sai của chúng được xác đònh tương tự như trường hợp đơn biến:

])X[(E
2
x
2
x
µ−=σ và
])Y[(E
2
y
2
y

y
f
YX
(x,y). Hay nói cách khác, đó là giá trò trung bình của Y sử dụng giá trò mật độ
có điều kiện của
∑
=yY
y
f
YX
(x,y) như một trọng số. Giá trò kỳ vọng của Y với X cho trước
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê

Ramu Ramanathan 16 Thục Đoan/Hào Thi
còn được gọi là
giá trò hồi quy của Y theo X
. Từ bảng 2.6, chúng ta có thể thấy rằng
E(YX = 0) = (0,64 × 0) + (0,32 × 1) + (0,04 × 2) = 0,32 + 0,08 = 0,4; E(YX = 1) = 0,2;
và E(YX = 2) = 0. Trong mô hình hồi quy đơn giản được trình bày trong ví dụ 1.1,
chúng ta có PRICE = α + β SQFT + u. Nếu E(uSQFT) = 0 thì E(PRICESQFT) = α + β
SQFT. Vì vậy, phần xác đònh của mô hình là giá trò kỳ vọng có điều kiện của biến
PRICE với SQFT cho trước, khi E(uSQFT) = 0.
Khái niệm giá trò kỳ vọng có điều kiện đã trình ở trên có thể mở rộng dễ dàng để

E
XY
(Y) = E
X
[E
YX
(YX)]. Tính chất này có nghóa là giá trò kỳ vọng không điều
kiện của Y, sử dụng mật độ chung giữa X và Y, có thể tính toán được bằng cách
tính trước tiên giá trò kỳ vọng có điều kiện của Y với X cho trước (là biểu thức
trong dấu ngoặc vuông), sau đó tính giá trò kỳ vọng của chúng theo X. Tính chất
này được gọi là
luật của các giá trò kỳ vọng lặp
(law of iterated expectations).

Tính chất 2.7
Var(Y) = E
X
[Var(YX)] + Var
X
[E(YX)]. Nói cách khác, giá trò phương sai của
Y sử dụng hàm mật độ kết hợp f
XY
(x, y) tính toán được sẽ tương đương với giá trò
kỳ vọng của phương sai có điều kiện của biến Y cộng với phương sai của giá trò
kỳ vọng có điều kiện của biến Y với X cho trước.

Đồng phương sai và tương quan

Khi gặp phải hai biến ngẫu nhiên, một trong những vấn đề thường thu hút sự quan tâm là
mối quan hệ giữa hai biến này như thế nào? Khái niệm

)

Giá trò đồng phương sai giữa X và Y được xác đònh như sau

σ
xy
= Cov(X, Y) = E[(X – µ
x
)(Y – µ
y
)] = E[XY – Xµ
y
– µ
x
Y + µ
x
µ
y
] (2.6)
= E(XY) – µ
y
E(X)

– µ
x
E(Y) + µ
x
µ
y
= E(XY) – µ

là
độ dài tính từ gốc toạ độ mới, đối với một kết quả nào đó được ký hiệu bằng hậu tố
i
. Từ
hình vẽ, có thể chứng minh rằng các điểm nằm trong phần tư thứ nhất và thứ ba sẽ làm
cho tích (X
i
– µ
x
)(Y
i
– µ
y
) luôn có giá trò dương, vì từng số hạng trong biểu thức sẽ cùng
dương hoặc cùng âm. Khi chúng ta tính toán đại lượng đồng phương sai là tổng có trọng
số các tích biểu thức trên, kết quả cuối cùng có khuynh hướng nhận giá trò dương vì có
nhiều số hạng dương hơn các số hạng âm. Vì vậy, giá trò đồng phương sai có khuynh
hướng dấu dương. Trong trường hợp cả hai biến X và Y di chuyển theo hướng ngược lại,
giá trò Cov(X, Y) sẽ có dấu âm.

Mặc dù đại lượng đồng phương sai rất có ích trong việc xác đònh tính chất của mối
liên kết giữa X và Y nhưng nó tồn tại một vấn đề khá nghiêm trọng là các giá trò tính
bằng số rất nhạy đối với giá trò đơn vò dùng để đo biến X và Y. Nếu X là một loại biến
tài chính tính bằng đô-la hơn là tính bằng đơn vò ngàn đô-la, đại lượng đồng phương sai
sẽ dốc đứng do ảnh hưởng của hệ số 1.000. Để tránh vấn đề này, người ta sẽ sử dụng đại
lượng đồng phương sai “được chuẩn hóa”. Đại lượng này còn được gọi là
hệ số tương
quan
giữa biến X và Y và được ký hiệu là ρ
xy

σ
=ρ

(2.7)Nếu biến X và Y có quan hệ dương thì hệ số tương quan sẽ có dấu dương. Nếu biến
X và y có quan hệ âm thì chúng sẽ di chuyển theo hướng ngược lại. Trong trường hợp
này, giá trò đồng phương sai và hệ số tương quan đều có dấu âm. Hệ số tương quan hoàn
toàn có thể bằng zero. Trong trường hợp này, chúng ta có thể kết luận rằng biến x và y
không có tương quan
. Người ta có thể viết rằng
1
2
xy
≤ρ
hay tương đương với
ρ
xy


≤
1.
Giá trò
ρ
xy

sẽ bằng 1 khi và chỉ khi có một mối
quan hệ tuyến tính
chính xác giữa X và

(y), có nghóa là xác suất
kết hợp chính là tích của các xác suất riêng lẻ. Trong trường hợp này, nên lưu ý từ đònh
nghóa của
σ
xy
, chúng ta có

)y(f)x(f)y)(x(
yxy
xy
xxy
µ−µ−=σ
∑∑Vì biến x và y bây giờ có thể tách rời nhau nên chúng ta có







µ−







f
XY
(x, y) tương tự như trong bảng 2.7. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê

Ramu Ramanathan 19 Thục Đoan/Hào Thi
Cov(X, Y) = E(XY) – E(X) E(Y)
E(X) = (1 × 0,4) + (2 × 0,2) + (3 × 0,4) = 2
E(Y) = (6 × 0,4) + (8 × 0,2) + (10 × 0,4) = 8
E(XY) = (6 × 1 × 0,2) + (6 × 3 × 0,2) + (8 × 2 × 0,2) + (10 × 1 × 0,2)
+ (10 × 3 × 0,2) = 16

Vì vậy, Cov(X, Y) = 0. Nhưng biến X và Y là không độc lập vì P(X = 2, Y = 6) = 0, P(X
= 2) = 0,2, và P(Y = 6) = 0,4. Do đó, xác suất kết hợp sẽ không thể bằng tích của các xác
suất riêng lẻ.

}
BÀI TẬP THỰC HÀNH
2.6

Sử dụng các biến X và Y với xác suất kết hợp cho trong bảng 2.4, hãy tính giá trò Cov(X,

(y) 0,4 0,2 0,4 1

Tính chất 2.8

liệt kê một số tính chất liên quan đến hai biến ngẫu nhiên.

Tính chất 2.8
a.

Nếu a và b là hằng số thì Var(aX + bY) = a
2
Var(X) + b
2
Var(Y) + 2abCov(X,Y). Một
trường hợp đặc biệt của tính chất này là Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,
Y). Tương tự, Var(X – Y) = Var(X) + Var(Y) – 2Cov(X, Y).
b.

Hệ số tương quan ρ
xy
nằm trong khoảng – 1 đến + 1.
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê


1
Y, và a
1
b
1
> 0 thì ρ
uv
= ρ
xy
; nghóa là hệ số tương quan sẽ
thay đổi trong trường hợp đơn vò đo được điều chỉnh theo tỷ lệ. Nếu a
1
b
1
< 0 thì ρ
uv
=
– ρ
xy
. Tuy nhiên, nếu U = a
0
+ a
1
X + a
2
Y, V = b
0
+ b
1
X + b

Y) = a
1
b
1
Var(X) +
(a
1
b
2
+ a
2
b
1
)Cov(X, Y) + a
2
b
2
Var(Y).

Phân Phối Nhiều Biến
*

Trong phần này, các khái niệm vừa trình bày ở trên sẽ được mở rộng cho trường hợp có
nhiều hơn hai biến ngẫu nhiên. Gọi x
1
, x
2
, …, x
n
tương ứng với n số biến ngẫu nhiên. Và

(x
n
)

Trong trường hợp đặc biệt khi mỗi giá trò x được phân phối giống nhau và độc lập lẫn
nhau (được ký hiệu là
iid – independently and idetically distributed
), chúng ta có

f
X
(x
1
, x
2
, …, x
n
) = f
X
(x
1
) . f
X
(x
2
) . . . f
X
(x
n
)

n
] =
a
1
E(x
1
) + a
2
E(x
2
) + . . . + a
n
E(x
n
). Vì vậy, giá trò kỳ vọng của một tổ hợp tuyến tính
các số hạng bằng tổ hợp tuyến tính của mỗi giá trò kỳ vọng riêng lẻ. Trong ký hiệu
phép lấy tổng, ta có E[Σ(a
i
x
i
)] = ΣE(a
i
x
i
) = Σa
i
E(x
i
).
b.

nhiên có phân phối giống nhau sẽ bằng giá trò trung bình chung của chúng.
c.

Var[Σ(a
i
x
i
)] = Σ
i
2
i
a
Var(x
i
) +
∑∑
≠
ji
ji
aa

Cov(x
i
, x
j
), trong đó các hệ số a
i
được giả
thiết là hằng số hoặc không ngẫu nhiên.
d.

), vì số hạng đồng phương sai sẽ không tồn tại nữa. Do đó, phương sai
của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập sẽ bằng tổng các phương sai. Đặc biệt, nếu tất
cả các giá trò phương sai đều bằng nhau, nghóa là Var(x
i
) = σ
2
với mỗi i, thì
Var[Σ(a
i
x
i
)] = σ
2
Σ
2
i
a
.
f.

Nếu tất cả các x
1
, x
2
, . . ., x
n
đều là biến ngẫu nhiên độc lập nghóa là tập biến x
i
có
phân phối chuẩn với giá trò trung bình µ

a
2
µ
2
+ . . . + a
n
µ
n
và giá trò phương sai là
2
1
2
1
a
σ +
2
2
2
2
a
σ + . . . +
2
n
2
n
a
σ . Trong ký hiệu
phép lấy tổng, chúng ta có thể viết như sau U = Σ( a
i
x

/n, nghóa là
x
∼
N(µ, σ
2
/n). Tương tự, chúng ta có z =
σµ− /)x(n

∼
N(0, 1).

} 2.4 Lấy Mẫu Ngẫu Nhiên và Các Phân Phối Lấy Mẫu

Một kiểm đònh bằng thống kê có thể phát sinh thêm ngoài nhu cầu giải quyết một bài
toán cụ thể nào đó. Nó có thể là một sự cố gắng nhằm giải thích một cách hợp lý hành vi
trong quá khứ của một tác nhân nào đó hay dự báo các hành vi trong tương lai của
chúng. Trong việc đònh dạng vấn đề, điều quan trọng là phải xác đònh được một
không
gian thống kê
hợp lý, hay
tổng thể
mà bao gồm tổng tất cả các phần tử có liên quan đến
thông tin yêu cầu. Thuật ngữ
tổng thể
được dùng theo một nghóa tổng quát và không chỉ
giới hạn khi đề cập đến các sinh vật mà thôi. Tất cả các hạt giống trong thùng lưu trữ,
mọi công ty trong thành phố, và tất cả các bồn sữa được sản xuất bởi trại bò sữa cũng
được gọi là
tổng thể
.

Một mẫu ngẫu nhiên đơn giản của
n
yếu tố là một mẫu có tính chất rằng mọi tổ hợp của
n
yếu tố đều có một cơ hội là mẫu được chọn bằng nhau. Một mẫu ngẫu nhiên của các
quan sát đối với một biến ngẫu nhiên X là một tập hợp của các biến ngẫu nhiên
độc lập,
được phân phối giống nhau (iid)
X
1
, X
2
, . . . , X
n
, mỗi biến có cùng phân phối xác suất
như phân phối của X.
Các Phân Phối Mẫu
Một hàm của các giá trò quan sát của các biến ngẫu nhiên không chứa bất kỳ thông số
chưa biết nào được gọi là một
trò thống kê mẫu
. Hai trò thống kê mẫu được sử dụng một
cách thường xuyên nhất là trung bình mẫu (ký hiệu là x
_
) và phương sai mẫu (ký hiệu là
s
2
):
Trung bình mẫu: x
_
= (x

2
+
1
(
n
−
1)
(x
2
– x
_
)
2

(2.9)
+ . . . +
1
(
n
−
1)
(x
n
– x
_
)
2

=
1

thông số tổng thể
phải được hiểu một cách rõ
ràng. Giả sử biến ngẫu nhiên X có giá trò kỳ vọng
µ
và phương sai
σ
2
. Đây là những
thông số tổng thể có giá trò cố đònh và không ngẫu nhiên. Tuy nhiên ngược lại trung bình
mẫu x
_
và phương sai mẫu
s
2
là các biến ngẫu nhiên. Điều này là do những thử nghiệm
khác nhau của một thí nghiệm cho các giá trò trung bình mẫu và phương sai khác nhau.
Bởi vì các trò thống kê này là các biến ngẫu nhiên, nó có ý nghóa khi nói về các phân
phối của chúng. Nếu chúng ta rút ra một mẫu ngẫu nhiên có cỡ mẫu là
n
và tính trung
bình mẫu x
_
, chúng ta thu được một giá trò nhất đònh. Lặp lại thí nghiệm này nhiều lần,
mỗi lần rút ra một mẫu ngẫu nhiên có cùng cỡ mẫu
n
. Chúng ta sẽ có được nhiều giá trò
của trung bình mẫu. Chúng ta khi đó có thể tính tỷ số những lần mà các giá trò trung bình
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004


kinh tế lượng và thống kê, đặc biệt là khi tổng thể mà các quan sát được rút ra từ đó có
phân phối chuẩn. Cho
X
là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình
µ
và
phương sai
σ
2
. Vì vậy,
X

∼

N
(
µ
,
σ
2
). Hãy rút ra một mẫu ngẫu nhiên có cỡ n từ tổng thể,
đo lường biến ngẫu nhiên, và thu được các quan sát x
1
, x
2
, . . . , x
n
. Phân phối mẫu của x
_


bình
µ
và phương sai
σ
2
, trung bình mẫu x
_
được phân phối chuẩn với trung bình
µ
và
phương sai
σ
2
/
n
. Vì vậy, x
_

∼

N
(
µ
,
σ
2
/
n
). Chúng ta chú ý từ điểm này phân phối của
trung bình mẫu có một sự phân tán nhỏ hơn chung quanh trung bình, và cỡ mẫu càng

Các phân phối Mẫu Lớn
Khi cỡ mẫu lớn, chúng ta có thể thu được từ một số tính chất khá hữu ích trong thực tế.
Hai trong số này là
luật số lớn
và
lý thuyết giới hạn trung tâm
được phát biểu ở Tính
chất 2.11.

Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê

Ramu Ramanathan 24 Thục Đoan/Hào Thi
Tính chất 2.11

a.
Luật số lớn:
Gọi Z
_
là trung bình của một mẫu ngẫu nhiên các giá trò Z
1
, Z
2
, . . . ,

∑
(x
i
– x
_
)
2
] / (
n
–1) hội tụ về
σ
2
khi
n
tiến tới vô cực.
b.
Lý thuyết giới hạn trung tâm:
Gọi x
1
, x
2
, . . . , x
n
là mẫu ngẫu nhiên của các quan
sát từ cùng một phân phối và gọi E(x
i
) =
µ
và Var(x
i

không cần biết phân phối chính xác của tổng thể mà từ đó các quan sát được rút ra.

} 2.5 Các thủ tục Ước lượng Các Thông số
Cho đến đây chúng ta đã có thảo luận các chủ đề cụ thể về xác suất và thống kê để tự
chuẩn bò cho hai mục tiêu cơ bản của bất kỳ một nghiên cứu thực nghiệm nào: việc ước
lượng các thông số chưa biết và việc kiểm đònh các giả thuyết. Trong phần này chúng ta
sẽ thảo luận vấn đề của việc ước lượng. Kiểm đònh giả thuyết sẽ được đề cập ở Phần 2.8.
Trong một khảo sát thực nghiệm, nhà phân tích thường vẫn biết, hoặc có thể ước
đoán được dạng tổng quát của các phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên được quan
tâm. Tuy nhiên, các giá trò cụ thể của các thông số tổng thể của các phân phối là chưa
biết. Như đã có đề cập trước đây, một điều tra toàn diện về tổng thể là vượt ngoài phạm
vi câu hỏi vì chi phí cho việc này quá lớn. Do đó, nhà khảo sát chỉ đạt đến một mẫu quan
sát đối với các biến được quan tâm và sử dụng chúng để rút ra những suy luận về phân
phối xác suất đằng sau đó.
Như là một minh họa, giả sử chúng ta biết rằng chiều cao của một người có phân phối
gần như chuẩn nhưng chúng ta không biết trò trung bình,
µ
, của phân phối, hay phương
sai của nó,
σ
2
. Vấn đề của việc ước lượng đơn giản chỉ là một cách lựa chọn một mẫu
các đối tượng, đo đạc chiều cao từng người một, và sau đó dùng các phương pháp đònh
lượng để thu được các ước lượng của
µ
và
σ
2
. Thuật ngữ
ước lượng

. Nếu một
phân phối có
k
thông số chưa biết, thủ tục nhằm tính toán hệ số
các momen mẫu

k
bậc
nhất của phân phối và sử dụng chúng như là các ước lượng của
các momen tổng the
å
tương ứng. Trong Phần 2.2, chúng tôi đã có lưu ý rằng
trung bình tổng the
å của phân
phối (
µ
) cũng được đề cập đến như là
momen bậc nhất
của phân phối xung quanh giá trò
gốc. Đó là giá trò trung bình có trọng số của tất cả các x có thể có, các trọng số là các xác
suất tương ứng. Trung bình mẫu (x
_
) là trò trung bình số học của các quan sát mẫu x
1
, x
2
, .
. . , x
n
. Bằng phương pháp các momen, x

Cùng với nguyên lý này có thể được áp dụng để ước lượng hệ số của sự tương quan
giữa hai biến ngẫu nhiên X và Y (xem Đònh nghóa 2.5). Gọi x
1
, x
2
, . . . , x
n
và y
1
, y
2
, . . . ,
y
n
là các mẫu quan sát ngẫu nhiên độc lập (với cỡ mẫu
n
) tương ứng với X và Y. Phương
sai tổng thể giữa chúng được cho trong Đònh nghóa 2.4 là
E
[(X –
µ
x
) (Y –
µ
y
)], trong đó
µ
x
và
µ

Hình 2.7, trong đó X và Y có tương quan thuận với nhau (nghóa là, X và Y nói chung là
cùng dòch chuyển theo cùng một hướng). Chúng ta đã có đề cập rằng một đồ thò điểm
như vậy được gọi là
biểu đồ phân tán
. Hình 2.6 cũng tương tự như vậy ngoại trừ việc
trung bình vẽ những điểm đề cập đến
tổng thể
, trong khi ở đây nó lại đề cập đến mẫu.