ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Trang 1

Chủ đề: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

ℑ1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
Bài 1
: Cho hàm số
32
33(21)1y xmx mx=− + − +
.
a) Khảo sát hàm số khi m=1.
b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
c) Định m để hàm số giảm trên (1,4).
Bài 2
: Cho hàm số
2
2y xx=−

a) Tính y’’(1)
b) Xét tính đơn điệu của hàm số.
Bài 3:
Cho hàm số
1
2
mx

Bài 3
: Định m để hàm số
322
1
(1)1
3
y xmx mm x=−+−++
đạt cực tiểu tại x = 1.
Bài 4:
Cho hàm số
32
() 3x 3 x+3m-4yfx x m==−+−

a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m.
b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp
tuyến của đồ thị hàm số
ℑ3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Bài 1
:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a)
32
231yx x=+−
trên [-2;-1/2] ; [1,3).
b)
2
4y xx=+ −
.
Trang 2

c)

" Giá trị đặt biệt
" Đồ th
ị
Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.
 Các dạng đồ thị hàm số:

) Hàm số bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0)

) Hàm số trùng phương: y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0)


Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số có 1 cực trị ⇔ ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ ?
Trang 3

) Hàm số nhất biến :
)bcad(
dcx
bax
y
0≠−
+
+
=

f(m) m Số giao điểm của (C) & (d) Số nghiệm của pt (1)
...... ....... ........ .........
....... ....... ......... ......... Ví dụ 1:
Bảng 1
Bảng 2
Bảng 3
y
I
x
y
O
Dạng 2: hsố nghịch biến
Dạng 1: hsố đồng biến
x O
I
Trang 4

1. Biện luận phương trình
32
1
3
x x−
= m ( dùng bảng 1)
2. Biện luận phương trình

→ Ta sử dụng công thức
() ()
b
a
Sfxgxdx=−
∫
(II)
• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox.

→ Ta dùng công thức
[]
2
=
∫
b
a
Vfxdx()
π
(III)
• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H’) giới hạn bởi (C): x = g(y),
trục Oy và 2 đường thẳng y = a, y = b ( a < b), khi (H’) quay quanh Oy.
→ Ta dùng công thức
[]
2
=
∫
b
a
Vgydy()

Trang 5

Ví dụ 5: ( trích đáp án kì thi THPT phân ban 2006)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y = – x
3
– 3x
2
và
trục Ox.

Giải:
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm.
Từ đồ thị ta có:
33
32 32
00
3(3)Sxxdxxxdx=−+ = −+
∫∫

3
4
3
0
4
x
x
⎛⎞
=− +
⎜⎟
⎝⎠

(x
2
– 1)
2
– 2n + 1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 4: Cho hàm số
mx
mxm
y
−
+−
=
)1(
(m khác 0) và có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C
2
).
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
2
), tiệm cận ngang của nó và các
đường thẳng x = 3, x = 4.
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong :
y =
2
4
1
x
; y =
xx 3

=
x
x
y
và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai
đường cong.
Giải
: Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình
1
1
1
−=
−
+
mx
x
x

(điều kiện x khác 1)
0)2(
2
=+−⇔ xmmx
0))2(( =+−⇔ mmxx

+Nếu m = 0 hay m = -2: Phương trình có một nghiệm x = 0 nên đường thẳng cắt
đường cong tại một điểm
+Nếu m ≠ 0 và m ≠ -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m và
x =
2m
m

−
)
Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 không cắt đồ thị hàm số
34
1
x
y
x
+
=
−
.
KQ: -28 < a ≤ 0
Dạng 4:
Cực trị của hàm số
Yêu cầu đối với học sinh:

) Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:
" Hàm số bậc 3 : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0) → không có cực trị hoặc có 2 cực trị.
" Hàm số bậc 4 dạng : y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0) → có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị.
" Hàm số nhất biến dạng:
ax+b

1
không phụ thuộc tham số m.
Kết quả : ∀m và x
2
– x
1
= 1
3).
Hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử M
1
(x
1
;y
1
),
M
2
(x
2
;y
2
) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chứng minh rằng :
12
1212
()(1)
yy

x
+
−
. Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm với
trục tung và trục hoành
Bài 5: Cho hàm số y =
2
2
x
x
+
−
. Viết pttt của (C) đi qua A(-6;5)
Bài 6) Cho hàm số y = x
3
– 3x. Lập các pttt kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số
Bài 7) Cho hàm số y = 2x
3
– 3x
2
+ 5. Lập pttt kẻ từ A(
19
12
;4)
Bài 8) Cho hàm số y = 2x
3
+ 3x
2
– 12x – 1. Tìm M ∈ đồ thị (C) của hàm số đã cho sao



3. Cho hàm số (C)
Chứng minh đường thẳng luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B.
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, hãy tìm m để I nằm trên
đường thẳng : y = 2x + 3.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) :
(1)
Phương trình này luôn có 2 nghiệm phân biệt nên (d) luôn cắt (C) ở 2 điểm phân biệt A, B.
Hoành độ A, B chính là 2 nghiệm của
phương trình (1) , nên do định lí Viet :
và
Vậy Trang 9

4. Cho hàm số

Với những giá trị nào của m thì phương trình có ba nghiệm phân biệt?
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt
có 3 nghiệm phân biệt
đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt
(Các bạn tự vẽ hình)
5. Cho hàm số , a là tham số.
Tìm tất cả các giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm .
Hoành độ giao điểm với
trục hoành là nghiệm phương trình .
Đồ thị hàm số y = f(x) cắt Ox tại đúng 1 điểm đường thẳng y = a và đồ thị
có một điểm chung duy nhất.
Ta có :

6. Cho hàm số
Với giá trị nào của m đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
TXĐ: R
Hàm số đạt cực đại tại

Hàm số đạt cực tiểu tại
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi các giá trị cực đại, cực tiểu nằm về hai
phía
trục hoành

Vậy với
thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
7. Cho hàm số ( m là tham số )
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 4.
b. Tìm m để
đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
a) Đồ thị hàm số khi m=4.

Trang 11

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành y = 0 là
:-
Bảng biến thiên :
x
-∞
-1 0
+∞
y' + - 0 +
y -∞
0
-
1

+∞
Trang 12 *
Đồ thị : qua các điểm ( - 1; 0 ) ,


+/ Hàm số đạt cực đại tại : ( - 1; 4) , cực tiểu tại (1 ; 0)
+/ Điểm uốn :
Đồ thị có điểm tồn uốn tại (0 ; - 2)
+/
Bảng biến thiên :
x
-∞
-1 1
+∞
y' - + 0 -
y
+∞
4

0 -∞

*
Đồ thị :
+/

+/

phương trình (*) có 2 nghiệm .
+ Với

phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt .
10. Cho hàm số (m là tham số )
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 6
b. Với những giá trị nào của m thì
phương trình có 3 nghiệm phân biệt .
a. Khảo sát
sự biến thiên và vẽ đồ thị

-. TXĐ : R
-.
Sự biến thiên : Xét dấu y'
hàm số đồng biến
hàm số nghịch biến
Hàm số có cực đại tại x = - 3,
Hàm số có cực tiểu tại x = 1,

Trang 15

đồ thị hàm số lõm
đồ thị hàm số lồi
Đồ thị hàm số có 1 điểm uốn U (- 1; 17)

Bảng biến thiên
x


Đặt có đồ thị vừa khảo sát (C)
y = 6 - m có
đồ thị là đường thẳng (d) song song với Ox
Để (*) có 3 nghiệm phân biệt
(d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt 11. Cho hàm số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b. Viết
phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1)
c. Dựa vào
đồ thị (C) xác định m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt : a. Khảo sát
sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
-. TXĐ :

-.
Chiều biến thiên : Xét dấu y' :
y' > 0 trong khoảng
hàm số đồng biến trong khoảng đó
y' < 0
hàm số nghịch biến trong khoảng đó.
CĐ (- 2; 6) , CT (0; 2)

phương trình tiếp tuyến
Đường thẳng (d) đi qua A(0; 1) với hệ số góc k có phương trình y = k (x - 0) + 1 = kx + 1
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) nếu hệ phương trình sau có nghiệm :
Với
có phương trình tiếp tuyến
Với
có phương trình tiếp tuyến
c. Tìm m để
phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Phương trình (*)
Đặt
có đồ thị (C)
y = m có
đồ thị là đường thẳng song song với Oy.
Nhìn vào
đồ thị (C) ta có :
Nếu
thì cắt (C) tại 3 điểm phân biệt phương trình (*) có 3 nghiệm phân
biệt .
12. Cho hàm số : (1) (m là tham số ).

a. Khảo sát
sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b. Tìm k để
phương trình có ba nghiệm phân biệt .
Trang 18


b. Cách 1 : Ta có

Đặt
.
Dựa vào
đồ thị ta thấy phương trình : có 3 nghiệm phân biệt

Trang 19 .
Cách 2 : Ta có

có 3 nghiệm phân biệt
có 2 nghiệm phân biệt khác k

13. Cho hàm số:
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm giá trị của
để phương trình có 6 nghiệm phân
14. Cho hàm số (*)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (*).
2. Dựa vào
đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình sau :
15. Cho hàm số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
b. Với giá trị nào của m
phương trình có 3 nghiệm phân biệt .

Trang 20

bé nhất
f)

Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;J
chứng minh rằng S là trung điểm của IJ
g)

Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C)
Bài 2:
Cho hàm số
)4()1(
2
xxy −−=

a)

Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b)

Chứng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xứng
c)

Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5)
d)

Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau
e)

Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt


3
-6x
2
-5x+m=0.
c)

Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M.
d)

Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx.
e)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
f)

Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng.

Trang 21

HÀM SỐ BẬC BA Y=AX
3
+BX
2
+CX+D
Bài 1. Cho hàm số y=f(x)=-x
3
-3x
2
+4.
a.


Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.

Trang 23 Bài 3. Cho hàm số y=f(x)=x
3
-3x
2
+4.
a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b.

Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng.
c.

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(1; 2).
d.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.

Trang 24 Bài 4. Cho hàm số y=f(x)=x
3
+6x