Phân tích động học Robot song song 3 RPS
- 1 -
PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC ROBOT SONG SONG 3RPS

3.1 Bài toán phân tích vị trí
3.1.1 Các phương trình liên kết cho robot song song 3 RPS tổng quát Hình 3.1
Do yêu cầu cỉa kết cấu Robot nên A
i
B
i

⊥
Z
i
(các trục quay)
O và P là trọng tâm của hai tam giác A
1
A
2
A
3
và B
1
B
2
B
3
.

Ta đưa thêm vào 3 tọa độ suy rộng
i
α
(i=1,2,3) như hình vẽ.


0ii
zx
α
=

Sử dụng các ký hiệu:
A
R
B
: Ma trận cosin chỉ hướng của hệ {Pxyz} so với hệ cố định
{Ox
0
y
0
z
0
}.
A
R
i
: Ma trận cosin chỉ hướng của hệ {A
i
x
i

1
2
z
3
z
0
x
x
3
z
y
x
2
α
1
α
2
α
3
0
0
z
x
Phân tích động học Robot song song 3 RPS
- 2 -
i
a
: Vector đại số chứa các tọa độ của điểm A
i
trên hệ cố định.

ii i
ee ee ee
ee ee ee
ee ee ee
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
rr rr rr
rr rr rr
rr rr rr
(i=1,2,3) (3.1)

01 02 03
,,eee
rrr
: Là 3 vector đơn vị trên các trục Ox
0
, Oy
0
,Oz
0
.
123
,,
ii i
eee
rr r
: Là 3 vector đơn vị trên các trục A

và
B
i
b
: Xác định được từ hình dáng, kết cấu của Robot.
Với cách đặt và biểu diễn các đại lượng như trên, vị trí của điểm B
i
trên
hệ cố định có thể biểu diễn dưới dạng:

iiii
OB OA A B=+
uuur uuur uuuur
(i=1,2,3) (3.2)
và :
ii
OB OP PB=+
uuur uuur uuur
(i=1,2,3) (3.3)
Hay dưới dạng đại số:

=+
ii
ba
A
.
i
R
0
0

i
b
=
+
i
a
A
i
R
.0
0
i
d
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(i=1,2,3) (3.6)

Trong đó:

P
1, 2 3
,
T
p pp
⎡⎤
=
⎣⎦

zz z
uvw
uvw
uvw
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
;
A
i
R
=
ix ix ix
iy iy iy
iz iz iz
uvw
uvw
uvw
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(i=1,2,3) (3.7)


(3.8)
A
3
3(2/3)(/2)3
..
π πβ α
−−
=
zz
RA A A

Với :

ϕ
z
A
là ma trận cosin chỉ hướng của phép quay quanh trục z một góc
ϕ
.
X
0
1
A
3
A
2
A
1
Z
0

⎢⎥⎢ ⎥
−−
⎢⎥⎢ ⎥
⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦
α
=
i
A
sin cos 0
001
cos sin 0
ii
ii
α α
αα
−−
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
−
⎣⎦
(3.9)Nếu ta đặt :

−−−
⎡⎤⎡ ⎤
⎢⎥⎢ ⎥
⎢⎥⎢ ⎥
⎢⎥⎢ ⎥
−
⎣⎦⎣ ⎦1
=
A
R
11 1 1 1
11 1 1 1
11
cos sin cos cos sin
sin sin sin cos cos
cos sin 0
γ αγα γ
γ αγα γ
αα
−−
⎡⎤
⎢⎥
−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦


−
⎢⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
−
⎣ ⎦⎣ ⎦
⎢⎥
⎣⎦

(/2) (/2 )
.
α ππα
+
=
i
ix z
AA A
Phân tích động học Robot song song 3 RPS
- 5 -
2
=
A
R
222 2222 2
222 222 2 2
22
13 13 13
( cos sin )sin ( cos sin )cos sin cos
22 22 22

3
=
A
R
33 3 3
33
33
1/2 3 /2 0
cos sin 0 sin cos 0
3/2 1/20sin cos 0 0 0 1
001001cossin0
γγ αα
γγ
αα
⎡⎤
−
−−−
⎡ ⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢ ⎥⎢⎥
−−
⎢⎥
⎢ ⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢ ⎥
⎢⎥
−
⎣⎦
⎣ ⎦

⎢⎥
⎣⎦

Ta thấy các thành phần của các ma trận
A
i
R
chỉ chứa các thành phần liên
quan đến góc
i
α
và góc
i
β
.
Ta viết lại phương trình (3.6) dưới dạng đại số.
Chú ý:
Do A
i
thuộc mặt phẳng X
0
Y
0
nên
3i
a
= 0 (i=1,2,3)
A
1
trên trục X

pub ud
pub ud
⎧
+=+
⎪
+=
⎨
⎪
+=
⎩11 1 1 1
1
11 2
1
11 3
1
x
x
x
y
y
x
z
z
x
audp
u
b

yx yy y
zx zy z
pub vb a ud
pub vb a ud
pub vb ud
⎧
++=+
⎪
++=+
⎨
⎪
++=
⎩
(3.11)

+Với i=3

13 33133
23 33233
33 333
(a)
(b)
(c)
xx xy x
yx yy y
zx zy z
pub vb a ud
pub vb a ud
pub vb ud
⎧


1121223133
2 1 22 2 2 32 3 3
312233
(1) ( )( )
(1) ( )( )
(1) )
xxx
yyy
zzz
p uaudaud
p uaudaud
puudud
λλλ
λλλ
λλλ
⎧
−+ = + − +
⎪
⇔−+=+−+
⎨
⎪
−+ = −
⎩
(3.13)

Với
3
2
y

y
yy
x
z
zz
x
audp
paudaud
b
ud p
paudaud
b
ud p
pudud
b
λλλ
λλλ
λλλ
+−
⎧
−+ = + − +
⎪
⎪
⎪−
−+ = + − +
⎨
⎪
⎪
−
−+ = −

−−=
b
2
2
2
23
=
uuuur
BB
23 23
()()
T
bb bb
−−
=b
1
2
với :
=+
ii
ba
A
.
i
R
0
0
i
d
⎡⎤

z
aud
aud
ud
+
⎡ ⎤
⎢ ⎥
+
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
;
3
=b
31 3 3
32 3 3
33
x
y
z
aud
aud
ud
+
⎡ ⎤
⎢ ⎥
+
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦

3
b
2
b
Phân tích động học Robot song song 3 RPS
- 8 -

11 31 1 1 3 3 11 31 1 1 3 3
2
11 32 3 3 11 32 3 3 2
11 3 3 11 3 3
.
T
xx xx
yy yy
zz zz
aaudud aaudud
ud a ud ud a ud b
ud ud ud ud
−+ − −+ −
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
−− −− =
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
−−
⎣⎦⎣⎦21 31 2 2 3 3 21 31 2 2 3 3

()( )()
xx y y zz
xx y y zz
xx yy zz
aaudud udaud udud b
aaudud udaud udud b
a a ud ud a a ud ud ud ud b
⎧
−+ − + −− + − =
⎪
⎪
−+ − + −− + − =
⎨
⎪
−+ − + −+ − + − =
⎪
⎩

Kết hợp với hệ (2.13) ta có hệ 6 phương trình, 6 ẩn:

11 1 1 1
1 1 21 2 2 31 3 3
1
11 2
2122223233
1
11 3
312233
1
11 21 1 1 2

−+ = + − +
−
−+ = −
−+ −
2222
211222211223
2222
11 31 1 1 3 3 1 1 32 3 3 1 1 3 3 2
2222
21 31 2 2 3 3 22 32 2 2 3 3 2 2 3 3 1
)( )( )
()()()
()( )()
yyzz
xx y y zz
xx yy zz
dudaudududb
aaudud udaud udud b
a a ud ud a a ud ud ud ud b
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
+−− +− =

P
và ma trận
A
R
B
.
Theo phần trên ta thay các giá trị d
i
(i=1,2,3) và hệ (2.54), ta sẽ được hệ 6
phương trình với 6 ẩn là :
123123
,,,,,ppp
α αα

Chú ý là 3 phương trình sau của hệ (3.15) chỉ chứa d
i
và
i
α
nên việc giải
6 phương trình được đơn giản lại còn giải hệ 3 phương trình với 3 ẩn là
i
α
.
Sau đó thay các giá trị của d
i
và
i
α
vào 3 phương trình đầu ta sẽ tính được

Ta tính toán cho một robot song song 3 RPS cụ thể :
- Tam giác A
1
A
2
A
3
và tam giác B
1
B
2
B
3
là các tam giác đều.
- PB
1
= h; OA
1
= g;
- Do kết cấu của cơ cấu ta có
iii
zAB⊥

- Trục
ii
zOA⊥

⇒

/2

⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
h
h
;
3
B
b
=

2
3
2
0
⎡ ⎤
−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦

⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
g
g
;
3
a
=

2
3
2
0
⎡ ⎤
−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
g
g

11 1 1 1
11 1 1 1
11
cos sin cos cos sin
sin sin sin cos cos
cos sin 0
γ αγα γ
γ αγα γ
αα
−−
⎡⎤
⎢⎥
−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦1
A
R
=

11
11
sin cos 0
001
cos sin 0
α α
αα

−+ − −−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦

2
A
R
=

22
22
22
11 3
sin cos
222
33 1
sin cos
22 2
cos sin 0
αα
αα
αα
⎡⎤
−−
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥

+−− −
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
cos

3
A
R
=

33
33
33
113
sin cos
222
331
sin cos
222
cos sin 0
αα
αα
αα
⎡⎤
−
⎢⎥
⎢⎥

22233
31 12 23 3
2 22
11 2 2121212
1
3 ( sin sin ) sin
2
3
3(sinsin)
2
3 cos cos cos (3.21)
3 3 sin 3 sin sin sin
pd d d
pdd
pd d d
ggd gd dd dd
αα α
αα
ααα
αααα
=+−
−
=−
=+ +
−− + ++
2
12 1 2
2 22 2
11 3 3131313 13 1 3
2 22 2

(i=1,2,3), ta
phải tìm vị trí của bàn máy động
P
và ma trận
A
R
B
.
Theo phần trên ta thay các giá trị d
i
(i=1,2,3) vào hệ (3.21), ta sẽ được hệ 6
phương trình với 6 ẩn là :
123123
,,,,,ppp
α αα

Chú ý là 3 phương trình sau của hệ (3.21) chỉ chứa d
i
và
i
α
nên việc giải 6
phương trình được đơn giản lại còn giải hệ 3 phương trình với 3 ẩn là
i
α
.
Sau đó thay các giá trị của d
i
và
i

3.2.1 Ma trận Jacobi của robot song song không gian
Trong phần trước ta đã xây dựng được các điều kiện ràng buộc động học
của cơ cấu, các điều kiện này có dạng tổng quát:

(, ) 0=fxp
(3.22)
Trong đó:
p
là biến khớp tác động.

x
đặc trưng vị trí bệ chuyển động.

f
là hàm ẩn n chiều theo
p
và
x
;
0
là vector n zero n chiều.
Đạo hàm (3.22) theo thời gian ta có:

∂∂
=
∂∂
ff
xp
xp
&

.
−
=
Px
pJJx
&
&
(3.25)
Hoặc:
1
=pJx
&
&
với
1
1
.
−
=
Px
JJJ
(3.26)
Và
1
..
−
=
xP
xJJp
&

,
xP
JJ
hoặc cả hai ở trạng thái đặc biệt, do đó có thể tìm được
ba kiểu trạng thái đặc biệt.
-

Trạng thái đặc biệt động học đảoTrạng thái này xảy ra khi định thức của
P
J
tiến đến zero

det( ) 0=
p
J
(3.29)
Khi đó tồn tại các vector
p
&
khác zero dẫn đến kết qủa vector
x
&
bằng zero.
Tức là chuyển động vi phân của bệ di động theo một số chiều không thể thực
hiện, cơ cấu chấp hành bị ràng buộc lại và mất đi một số bậc tự do. Trạng
Phân tích động học Robot song song 3 RPS
- 14 -

J
và
P
J
đều
bằng zero.

3.2.2 Phân loại bài toán
a) Bài toán động học ngược
Biết vận tốc góc
ω
r
B
(hoặc vận tốc điểm P
P
v
r
) của bàn máy động, ta cần
xác định vận tốc của các khâu dẫn
ii
vd
=
&
(i=1,2,3)
b)Bài toán động học thuận
Biết
ii
vd
=
&

y
x
1
1
2
z
3
z
0
x
x
3
z
y
x
2
α
1
α
2
α
3
0
0
z
x