Bài giảng
XÁC SUẤT THỐNG
KÊ
dro1387732529.doc
- 1 -
Mục lục
dro1387732529.doc
- 2 -
CHƯƠNG I: BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT
I.1-BỔ TÚC VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP (1)
1.Hoán vị:
Giả sử có n phần tử được xếp ở n vị trí. Ta đooir chỗ các phần tở cho
nhau. Số cách đổi chỗ của na phần tử cho nhau gọi là số hoán vị của n phần tử.
Số cách ấy được chứng mih bằng: n! = n.(n-1)(n-2)….2.1. Quy ước 0! = 1
Thí dụ 1: Có 3 người : A, B, C xếp vào 3 chỗ ngồi. có các cách xếp như sau:
ABC, ACB, CAB, CBA, BCA, BAC Cả thảy có 3! = 1.2.3 = 6 cách xếp.
2.Tổ hợp:
Ta lấy tùy ý k phần tử từ tập n phần tử ( k ≤ n ), sao cho hai cách lấy được
gọi là khác nhau nếu chúng có ít nhất một phần tử là khác nhau. Số cách lấy k
phần tử như vậy gọi là mọt tổ hợp chập k của n. ký hiệu:
k
n
C
và được chứng
minh là :
k
n
C
=
)!(!
!

n
nn
==
==
−
11
0
1
Thí dụ 2: chọn ngẫu nhiên 2 người trong một nhóm 3 người A,B,C ta có số cách
chọn là:
Giải: số cách chọn là :
3
2
3
=
C
cách chọn: AB, AC, BC
3.Chỉnh hợp:
Ta lấy ngẫu nhiên ra k phần tử từ tập hợp gồm n phần tử sao cho hai cách
lấy được gọi là khác nhau nếu giữa chúng có ít nhât một phần tử khác nhau hoặc
thứ tự lấy ra của các phần tử là khác nhau. Số cách lấy ra k phần tử như vậy gọi
là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. ký hiệu :
k
n
A
và được chứng minh:
)1)....(1.(
+−−=
knnnA
k

n
k
knk
n
kCA
k
n
k
n
4.Luật tích:
Nếu có 2 công việc A
1
và A
2
khác nhau sao cho có k
1
cách thực hiện công
việc A
1
, k
2
cách thưch hiện công việc A
2
thì số cách thực hiện liên tiếp hai công
việc A
1
và A
2
là k
1

nn
n
n
n
n
n
n
n
n
k
kknk
n
n
bCabCbaCbaCbaCbaCba
+++++==+
−−−−
=
−
∑
1122211100
0
....)(
I.2. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT (2+1)
1. Phép thử và biến cố:
Khi tung một đồng xu xuống đất có thể có hai khả năng xẩy ra là hoặc
mặt sấp xuất hoặc mặt ngửa xuất hiện. Việc tung con xúc xắc đó là một phép thử
còn việc xuất hiện mặt nào đó là biến cố.
Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng
nào đó có sảy ra hay không được gọi là một phép thử, còn hiện tượng có thể xảy
ra trong kết quả của phép thử đó gọi là biến cố.

(i:=1;2;3;4;5;6) A
i
là một biến cố ngẫu nhiên. Và thêm nữa đó là các biến cố sơ
cấp; gọi B là biến cố “ xuất hiện mặt có số chấm chẵn “ B xảy ra khi hoặc A
2
;
hoặc A
4
, hoặc A
6
xảy ra nên B không là biến cố sơ cấp.
2. Khái niệm và định nghĩa về xác suất:
Khi thực hiện lặp đi lặp lại một phép thử nhiều lần trong cùng một điều
kiện, tính ngẫu nhiên của biến cố mất dần đi và khả năng xẩy ra biến cố sẽ được
thể hiện theo những quy luật nhất định. Từ đó cho thấy có thể định lượng ( đo
lường) khả năng khách quan xuất hiện một biến cố nào đó.
Xác suất của một biến cố là một số đặc trưng cho khả năng khách quan
xuất hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử.
2.1.Định nghĩa cổ điển về xác suất:
Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là tỉ số giữa số trường
hợp thuận lợi cho A và tổng số trường hợp duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra
khi thực hiện phép thử đó.
Ký hiêu : P(A) là xác suất của biến cố A; m là số trường hợp thuận lợi cho
A; n là số trường hợp duy nhất đồng khả năng của phép thử. Khi đó:
n
m
AP
=
)(
(1.1)

4 41 42 43 44 45 46
5 51 52 53 54 55 56
6 61 62 63 64 65 66
Có 36 trường hợp duy nhât đồng khả năng, n = 36
Có 10 trường hợp thuần lợi cho A, m = 10
Vậy P(A) =
18
5
=
n
m

Thí dụ 3: ( dạng tập hợp biểu đồ Ven)
Trong một lớp 50 học sinh có:
20 người chơi bóng đá
15 người chơi bóng chuyền
10 người chơi bóng rổ
8 người chơibongs đá và bóng chuyền
5 người chơi bóng đá và bóng rổ
1 người chơi bóng đá, bóng chuyền và bóng rổ.
Lấy ngẫu nhiên 1 học sinh trong lớp. Tìm xác suất để người đó chơi ít nhất 1
môn bóng.
Giải: gọi A là biến cố “ lấy ngẫu nhiên một học sinh và học sinh đó biết
chơi ít nhất 1 môn bóng “
Ta minh họa bởi sơ đồ sau:
dro1387732529.doc
- 6 -
Số trường hợp thuận lợi là m = 8+5 + 3+7+4+1+2 = 30
Số trường hợp có thể là n = 50
Vậy

lấy ngẫu nhiên từ hộp đó 3 sản phẩm. Tìm xác suất để;
a. Cả 3 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm
b. Trong 3 sản phẩm lấy ra có dúng 2 chính phẩm
Giải: a. Gọi a là biến cố “ lấy ra được 3 chính phẩm”. Số trường hợp đồng
khả năng có thể xảy ra là n =
120
)!310!*(3
!10
3
10
=
−
=
C
. số trường hợp thuận lợi
cho A là :
20
3
6
==
Cm
. Vậy:
6
1
)(
==
n
m
AP
b. Gọi B là biến cố “Trong 3 sản phẩm lấy ra có đúng 2 chính phẩm”. Số

suất để không có ngày nào có quá 1 máy bị hỏng.
Giải; Gọi A là biến cố “ không có ngày nào có quá 1 máy bị hỏng”. Số
trường hợp có thể đồng khả năng là chỉnh hợp lặp chập 5 của 92 phần tử
55
92
92
==
An
. Số trường hợp thuận lợi là số chỉnh hợp chập 5 của 92 phần tử
m =
92.91.90.89.88
5
92
=
A
Vậy
8954,0)(
=
AP
*Nhận xét:
dro1387732529.doc
- 7 -
- Để tìm xác suất của một biến cố bằng định nghĩa cổ điển, ta không cần thực
hiện phép thử ( phép thử chỉ là giả định
- Cho phép tính chính xác giá trị của xác xuất ( nếu đáp ứng đầy đủ các yêu
cầu của định nghĩa )
- Định nghĩa cổ điển về xác suất chỉ dùng được trong trường hợp số trường
hợp duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử là số hữu hạn.
- Việc đáp ứng đầy đủ các yêu cầu của định nghĩa cổ điển xác suất trên thực
tế là khó đạt được chẳng hạn tính cân đối và đồng chất của một con xúc xắc.

kiện như định nghĩa cổ điển
- Hạn chế là phải thực hiện số phép thử đủ lớn và chỉ áp dụng được với
những biến cố mà tần suất của nó có tính ổn định
2.3. Định nghĩa tiên đề về xác suất:
Gọi ( E
1
, E
2
,….,E
n
) là không gian các biến cố sơ cấp ( Thực tế là tập hợp
tất cả các khả năng có thể của một phép thử ). Mỗi biến cố A là một tập con
trong không gian đó.
Tiên đề 1: Với mọi biến cố A đều có P(A)
0
≥

dro1387732529.doc
- 8 -
Tiên đề 2: Nếu ( E
1
, E
2
,….,E
n
) tạo nên không gian các biến cố sơ cấp thì :
P(E
1
) + P(E
2

xuất để tàu về ga chậm là 0,01 thì lại có thể xem là tàu về ga đúng giờ.
3.2. nguyên lý xác suất lớn: Nếu một biến cố ngẫu nhiên có xác suất gần bằng 1
thì thực tế có thể cho rằng biến cố đó sẽ xảy ra trong một phép thử
4.Quan hệ giữa các biến cố.
+.Quan hệ kéo theo: Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B, ký hiệu A
B
⊂
, nếu và
chỉ nếu A xảy ra suy ra B xảy ra.
+ Quan hệ tương đương: Hai biến cố A và B gọi là tương đương với nhau, ký
hiệu A = B khi và chỉ khi
ABvàBA
⊂⊂
+Tổng của hai biến cố: Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố ký hiệu là
BA
∪
( hoặc A + B ) xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố A, B
xảy ra.
+ Tích hai biến cố: Tích hai biến cố A và B là một biến cố ký hiệu là
BA
∩

( hay A.B) xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đồng thời xảy ra
+ Hai biến cố A và B là xung khắc với nhau khi và chỉ khi xảy ra A thì không
xảy ra B và ngược lại Hay A.B =
φ
+ Hiệu của biến cố A và biến cố B: là một biến cố ký hiệu là A \ B xảy ra khi và
chỉ khi A xảy ra nhưng B không xảy ra.
dro1387732529.doc
- 9 -

2
48
1
4
=
CC
( có 4 cách chon 1 con át, mỗi
cách đó lại có tổ hợp chập 2 của 48 con bài không có át)
Vậy
2042,0
5525
1128
)(
≈=
BP
2.Thang máy của một tòa nhà 7 tầng xuất phát từ tầng một với 3 khách. Tìm xác
suất để:
a. Tất cả cùng ra ở tầng 4
b. Tất cả cùng ra ở một tầng
c. Mỗi người ra ở một tầng khác nhau.
Giải: Gọi biến cố tương ứng với a, b, c là A, B, C
số trường hợp có thể đồng khả năng cho cả a, b, c là: n =
2166
33
6
==
A

( Chỉnh
hợp lặp chập 3 của 6 phần tử do mỗi khách đều có 6 khả năng để ra ở 6 tầng còn

A
b. Gọi A là biến cố “ cả 3 người cùng vào một siêu thị” thì
A
là biến cố “ 3 người không
cùng đến một siêu thi” P(
A
) = 1 – P(A) =
49
48
7
7
1
3
=−
.
c. Gọi C
1
là biến cố có đúng hai người vào cung một siêu thị; C là biến cố có ít nhất 2
người vào cung một siêu thị, thì : C = C
1
+ A, do C
1
và A là các biến cố độc lập nên
P(C) = P(C
1
) + P(A).
Có
62.3
2
3

3
360
C
= 7711320
Số trường hợp thuận lợi cho a là:
3
359
C
= 7647059 vậy: P(A) = 0,992
Số trường hợp thuận lợi cho b là: 1 P(B) = 1/7711320
4. Có thể xem xác suất sinh con trai là bao nhiêu nếu theo dõi 88200 trẻ sơ sinh
ở một vùng thấy có 45.600 con trai.
Giải: Gọi A là biến cố “sinh con trai ở vùng nọ”
≈
)(AP
f(A) =
517,0
88200
45600
=
5. Số lượng nhận viên của công ty A được phân loại theo lứa tuổi và giới tính
như sau:
Giới tính
Tuổi
Nam nữ Tổng
Dưới 30 120 170 290
Từ 30 đến 40 260 420 680
dro1387732529.doc
- 11 -
Trên 40 400 230 630

AfAP
6.Ba nữ nhân viên phục vụ A, B, C, thay nhau rửa chén trong một tháng (30
ngày) và giải thiết ba người này đều “khéo léo” như nhau. Trong một tháng có 4
chén bị vỡ. tìm xác suất để:
a. Chị A đánh vỡ 3 chén và chị B đánh vỡ 1 chén
b. Một trong 3 người đánh vỡ 3 chén.
c. Một trong 3 người đánh vỡ cả 4 chén.
Giải: Do khả năng vỡ của 4 chén đều có thể vỡ vào một ngày nào đó của tháng
nên số trường hợp có thể duy nhất đồng khả năng là: n =
44
30
30
=
A
a. Số trường hợp thuận lợi cho a là:
10.10.4.
31
10
3
10
3
4
=
AAC
( có 4 cách chọn 3
chén trong 4 chén, ứng với mỗi cách đó lại có chỉnh hợp lặp chập 3 của 10 khả
năng A làm vỡ 3 chén, tiếp đó lại có 10 khả năng b làm vỡ 1 chén )
Vậy P(A) = 4/81
b. Có
3

=
n
i
n
i
i
APAP
11
)()(
Thí dụ 1: Xác suất để một xạ thủ bắn bia trúng điểm 10 là 0,1; trúng điểm 9 là
0,2; trúng điểm 8 là 0,25 và ít hơn 8 điểm là 0,45. xạ thủ đó bắn một viên đạn.
tìm xác suất để xạ thủ đó bắn được ít nhất 9 điểm.
Giải: gọi A là biến cố “ Xạ thủ bắn được ít nhất 9 điểm”, A
1
là biến cố “ Xạ thủ
bắn trúng điểm 10”; A
2
là biến cố “Xạ thủ bắn trúng điểm 9 “ khi đó A
1
và A
2
là
xung khắc với nhau và A = A
1
+ A
2
. theo định lý công xác suất
P(A) = P(A
1
) + P(A

=+
)
Thí dụ 3: Bắn một viên đạn vào bia, gọi A là biến cố “ bắn trúng bia”
A
là biến
cố “ bắn không trúng bia thì A va
A
là đối lập nhau.
Hệ quả 3: Tổng xác suất của hai biến cố đối lập nhau bằng 1
Thí dụ 4: Trong hòm có n sản phẩm, trong đó có m chính phẩm. Lấy ngẫu nhiên
k sản phẩm. tìm xác suất để trong đó có ít nhất một chính phẩm.
Giải: Gọi A là biến cố “ Trong k sản phẩm lấy ra có ít nhất một chính
phẩm” thì biến cố đối lập
A
là “ trong k sản phẩm lấy ra đều là phế phẩm” Vậy;
P(A) = 1 – P(
A
)
Số trường hợp có thể đồng khả năng là
k
n
C

Số trường hợp thuận lợi cho
A
( số phế phẩm) là: n – m
k
n
mn
n

1
) =P(A
0
) +P(A
1
) =
3
2
.
6
10
5
8
1
2
6
10
6
8
=+
C
CC
C
C
2. Định lý nhân xác suất
2.1.Định nghĩa 1: Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay
không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất của biến cố kia và
ngược lại. còn nếu không như thế tức là việc xảy ra hay không xảy ra của biến
cố này làm thay đổi xác suất của biến cố kia thì hai biến cố đó gọi là phụ thuộc
nhau.

, …, A
n
gọi là độc lập toàn phần với nhau
nếu mỗi biến cố độc lập với một tổ hợp tùy ý của các biến cố còn lại.
Nhiều bài toán khi biểu diễn các biến cố phức hợp dưới dạng các biến cố đơn
giản hơn bằng việc sử dụng phép nhân các biến cố
Thí dụ 2: Một máy sản xuất ra ba sản phẩm. Ta xét các biến cố sơ cấp sau:
A
i
Sản phẩm thứ i là chính phẩm
iA
Sản phẩm thứ i là phế phẩm i:= 1;2;3
Gọi B là biến cố trong ba sản phẩm sản xuất ra có đúng một chính phẩm thì:
B =
321321321
...... AAAAAAAAA
++
Gọi C là biến cố “ Trong ba sản phẩm có ít nhất hai sản phẩm là chính phẩm
dro1387732529.doc
- 14 -