Bất đẳng thức tam giác
Trong toán học, bất đẳng thức tam giác là một định lý phát biểu rằng trong một tam
giác chiều dài của một cạnh phải nhỏ hơn tổng, nhưng lớn hơn hiệu, của hai cạnh còn lại.
Bất đẳng thức là một định lý trong các không gian như hệ thống các số thực, tất cả các
không gian Euclide, các không gian L
p
(p≥1) và mọi không gian tích trong. Bất đẳng thức
cũng xuất hiện như là một tiên đề trong định nghĩa của nhiều cấu trúc trong giải tích toán
học
và giải tích hàm, chẳng hạn trong các không gian vectơ định chuẩn và các không gian
metric
.
Không gian vectơ định chuẩn
Trong không gian vectơ định chuẩn V, bất đẳng thức tam giác được phát biểu như sau: ||x
+ y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y thuộc V tức là, chuẩn của tổng hai vectơ không thể lớn
hơn tổng chuẩn của hai vectơ đó.
Đường thẳng thực là một không gian vectơ định chuẩn với chuẩn là giá trị tuyệt đối, vì
thế có thể phát biểu bất đẳng thức tam giác cho hai số thực bất kỳ x và y như sau:

Trong
giải tích toán học, bất đẳng thức tam giác thường được dùng để ước lượng chặn
trên tốt nhất cho giá trị tổng của hai số, theo giá trị của từng số trong hai số đó.
Cũng có một ước lượng chặn dưới mà có thể tìm được bằng cách dùng bất đẳng thức tam
giác đảo chiều, mà phát biểu rằng với bất kỳ hai số thực x và y:

[Không gian metric
Trong không gian metric M với metric là d, bất đẳng thức tam giác có dạng
d(x, z) ≤ d(x,y) + d(y,z) với mọi x, y, z thuộc M
tức là, khoảng cách từ x đến z không thể lớn hơn tổng các khoảng cách từ x đến y với
khoảng cách từ y đến z.
Hệ quả


•
Với n số:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Tổng quát hóa
Trung bình có hệ số
Cho n số x
1
, x
2
, ..., x
n
≥ 0
và các hệ số α
1
, α
2
, ..., α
n
> 0.
Đặt
.
Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cũng đúng nếu hai giá trị trung bình có
hệ số, như sau:

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi

Với các loại trung bình khác
Trung bình điều hòa ≤ trung bình nhân ≤ trung bình cộng


nào đó (i = 1, 2, 3,..., n) bằng 0 thì a
i
tương ứng bằng 0.
Bất đẳng thức Bernoulli
Trong toán học, bất đẳng thức Bernoulli là một bất đẳng thức cho phép tính gần đúng
các lũy thừa của 1 + x.
Bất đẳng thức này được phát biểu như sau:

với mọi số nguyên r ≥ 0 và với mọi số thực x > −1. Nếu số mũ r là chẵn, thì bất đẳng thức
này đúng với mọi số thực x. Bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt như
sau:

với mọi số nguyên r ≥ 2 và với mọi số thực x ≥ −1 với x ≠ 0.
Bất đẳng thức Bernoulli thường được dùng trong việc
chứng minh các bất đẳng thức
khác. Bản thân nó có thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:
Chứng minh:
Khi r=0, bất đẳng thức trở thành tức là mà rõ ràng đúng.
Bây giờ giả sử bất đẳng thức đúng với r=k:
Cần chứng minh: