Trần Mậu Quý -
ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC
CƠ SỞ GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI - KHÓA 15
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu I. Cho (X, T ) là một không gian tôpô. Chứng minh rằng
1. Với mỗi tập A trù mật trong X và mỗi tập mở U ⊂ X ta có
U = U ∩ A.
2. Với mỗi tập đóng F ⊂ X và mỗi tập A ⊂ X ta có
int(F ∪ intA) = int(F ∪ A).
3. Với mỗi tập A ⊂ X ta có X\A = X\intA.
Câu II. Kí hiệu X = R, F = {
1
k
| k ∈ Z
∗
}. Với mỗi n ∈ N
∗
, mỗi x ∈ X, ta đặt
V
n
(x) = (x −
1
n
, x +
1
n
) và
B(x) =

{V
n

n
| với mọi x ∈ X. Chứng minh rằng
P = {p
n
| n ∈ N
∗
} là họ các nửa chuẩn trên X và tách. Suy ra X với tôpô
T sinh bởi họ nửa chuẩn P là lồi địa phương.
2. Với x = (x
n
)
n
, y = (y
n
)
n
∈ X ta đặt
d(x, y) =
∞

n=1
2
−n
|x
n
− y
n
|
1 + |x
n

3
− 5x
2
+ 4x + 5 ∈ Q[x]
1. Dùng Maple để chứng tỏ f bất khả quy
2. Gọi α là một nghiệm của f. Tìm dạng nhân tử hóa của f trong Q(α)[x]
3. Chứng tỏ f có 3 nghiệm thực. Xác định 3 nghiệm thực đó.
Câu II. Viết ít nhất một thủ tục bằng Maple được chọn trong bảng các đề tài
lập trình đã cho. Nộp file .mws chạy trong Maple 9.5.
Câu III. Soạn thảo văn bản ở trang 2 bằng L
A
T
E
X. Nộp file tex chạy trong
MikTex, dùng gói tiếng Việt
\usepackage[tcvn]{vietnam}
Câu IV. Trình chiếu văn bản ở trang 2 bằng định dạng pdf. Nộp file pdf.
————————————————Hết————————————————
Ghi chú: Sinh viên được sử dụng tài liệu khi làm bài.
1
Trần Mậu Quý -
1 ĐA TẠP AFIN
1.1 ĐỊNH LÍ KHÔNG ĐIỂM HILBERT
Định lí 1 (Không điểm Hilbert, dạng 2). Cho mở rộng trường K ⊂ L và l
đóng đại số. Khi đó mọi iđêan J ⊂ K[x
1
, x
2
, ..., x
n

n
) ∈ Z(J)
và do đó t
0
f(a
1
, a
2
, ..., a
n
) − 1 = −1. Mặt khác, do (a
1
, a
2
, ..., a
n
, t
0
) ∈ Z(J
1
) ta có
t
0
f(a
1
, a
2
, ..., a
n
)− 1 = 0. Vô lí. Vậy Z(J

, t] −→ K(x
1
, x
2
, ..., x
n
, t)
x
i
−→ x
i
t −→
1
f
Khi đó 1 =
n

i=1
β(g
i
)f
i
. Đặt β(g
i
) =
h
i
f
n
i

, ..., x
n
]. Suy ra J = K[x
1
, x
2
, ..., x
n
]. Vô lí.
Định lí 2 (Không điểm Hilbert). Cho J ⊂ K[x
1
, x
2
, ..., x
n
] là một iđêan và
f ∈ I(Z(J)). Khi đó tồn tại r ∈ N sao cho f
r
∈ J.
1.2 CHIỀU CỦA (TỰA) ĐA TẠP AFIN
Mệnh đề 3.
(i) Các ánh xạ I và Z đảo ngược thứ tự bao hàm.
(ii) Với mọi Y
1
, Y
2
⊂ A
n
, ta có I(Y
1

+ 2x − 5 ∈ Q[x]
1. Dùng Maple để chứng tỏ f bất khả quy.
2. Chứng tỏ f có 3 nghiệm thực. Xác định 3 nghiệm thực (gần đúng) đó.
3. Gọi α là một nghiệm của f, hãy biểu diễn (α
2
− 1)
−1
∈ Q(α) như một đa
thức theo α có bậc không quá 2.
4. Phân tích f thành tích các nhân tử bậc nhất trong một trwongf mở rộng
của Q.
Sản phẩm nộp là file .mws chạy trong Maple 9.5.
Câu II. Hãy đưa ra vài ứng dụng của Maple trong giảng dạy toán phổ thông và
đại học. Nêu các bình luận về việc sử dụng Maple trong nghiên cứu và giảng dạy.
Câu III. Soạn thảo văn bản sau (đề thi mẫu)
1
bằng L
A
T
E
X. Nộp file tex chạy
trong MikTex, dùng gói tiếng Việt
\usepackage[utf8]{vietnam}
Câu IV. Trình chiếu văn bản sau (đề thi mẫu) bằng định dạng pdf. Nộp file pdf.
———————————————Hết———————————————
Ghi chú: Sinh viên được sử dụng tài liệu khi làm bài.
1
Xem văn bản ở trang 4 - C.M.Q
3
Trần Mậu Quý -

trong trường K. Kí hiệu

A là ma trận phụ hợp của A. Chứng minh rằng:
1) Nếu A không suy biến thì

A không suy biến.
2) Nếu rank(A) = n − 1 thì rank(

A) = 1.
3) Nếu rank(A) ≤ n − 2 thì

A = 0.
Câu V. Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường F. Chứng minh rằng:
rank(A) − rank(A
2
) ≥ rank(A
2
) − rank(A
3
).
Hãy tổng quát hóa kết quả trên.
———————————————————————————————–
Ghi chú:
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
4