Luyện thi đại học về hệ phương trình


3 2
3 2
1 2( )
1 2( )
x x x y
y y y x

+ = − +


+ = − +


Hệ tương đương với:
3 2
3 2
2 2 1 2 (1)
2 2 1 2 (2)
x x x y
y y y x

− + + =


− + + =

: mâu thuẫn.
+ Nếu
(*)
( ) ( ) 2 2x y f x f y y x y x= ⇔ = ¬ → = ⇔ =
: đúng.
Với x = y viết (1) theo x được:
3 2 3 2 2 2
2 2 1 2 2 1 0 ( 1)( 1) 0 1 0 1 0x x x x x x x x x x x x− + + = ⇔ − + = ⇔ − − − = ⇔ − = ∨ − − =
1 5 1 5
1, ,
2 2
x x x
+ −
⇔ = = =
và với x = y nên ta có nghiệm (x; y) của hệ đã cho là:
1 5 1 5 1 5 1 5
(1;1) , ; , ;
2 2 2 2
   
+ + − −
 ÷  ÷
   
 !"#"
Trừ từng vế hai phương trình (1) và (2) được:
3 3 2 2
2 2 2 2 2 2x y x y x y y x− − + + − = −
3 3 2 2 2 2
( ) 2( ) 4( ) 0 ( )( 2 2 4) 0x y x y x y x y x xy y x y⇔ − − − + − = ⇔ − + + − − + =
2 2
( )(2 2 2 4 4 8) 0x y x xy y x y⇔ − + + − − + =

∈∅

 
− = =
 
2 2 2
( ) ( 2) ( 2) 0x y x y⇒ + + − + − >
Vậy (3)
0x y x y⇔ − = ⇔ =
Với x = y viết (1) theo x được:
3 2 3 2 2 2
2 2 1 2 2 1 0 ( 1)( 1) 0 1 0 1 0x x x x x x x x x x x x
− + + = ⇔ − + = ⇔ − − − = ⇔ − = ∨ − − =
1
Luyện thi đại học về hệ phương trình
1 5 1 5
1, ,
2 2
x x x
+ −
⇔ = = =
và với x = y nên ta có nghiệm (x; y) của hệ đã cho là:
1 5 1 5 1 5 1 5
(1;1) , ; , ;
2 2 2 2
   
+ + − −
 ÷  ÷
   


+ + − = + ⇔ = − + +
+ + − +
2
4 3
( 2) 0(*)
2 2 22 3 4
x
x
x x
=


⇔
−

+ + + =

+ + − +

Xét f(x)=VT(*) trên [-2;21/3],có f’(x)>0 nên hàm số đồng biến. suy ra x=-1 là nghiệm duy
nhất của (*)
KL: HPT có 2 nghiệm (2; 0), (-1; -3)

4 3 2 2
2
2
2
2 5 6 11 0
( , )
3 7 6


+ − + − =


+ − − = −


Đặt:
2 2
3; 7, 0u x x v y v= + − = − >
. Khi đó hệ phương trình trở thành:
2 2
13
6
u v
uv

+ =

= −

2 2
1 2 3
( ) 2 13 ( ) 1
6 3 2
6 6
u v u u
u v uv u v
uv v v
uv uv

2 2
   
− ± − ±
± − ± −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
2
Luyện thi đại học về hệ phương trình
$
2
5 3
x y x y y
x y

+ + − =


+ =


(x, y∈ R)
 ĐK: x + y ≥ 0 , x - y ≥ 0, y ≥ 0
PT(1) ⇔
2 2 2 2
2 2 4 2x x y y x y y x+ − = ⇔ − = −
2
2 0 (3)
5 4 (4)


y
y y x y

+ − =



− − = −

 ĐK :
0y ≠

hệ
2
2
1
2 2 0
2 1
2 0
x x
y
x
y y

+ − − =


⇔






= − −
⇔



+ − − =

Từ đó ta có nghiệm của hệ:
(-1 ;-1),(1 ;1), (
3 7 2
;
2
7 1
−
−
), (
3 7 2
;
2
7 1
+
+
)
&
1 1 4
6 4 6
x y

5
5 5
2
u v
u v
+ =



+ =


⇒
{
5
5
u
v
=
=
⇒
{
3
5
x
y
=
=
là nghiệm của hệ
3

(3)
Xét hàm số
3
( ) 3 ,f t t t t R= + ∈
. Dễ thấy f(t) là hàm số đồng biến trên R
Do đó từ (3) ta được
2y
x
x
=
, hay
2
2y x=
.
Thế vào (2) ta có:
1 2
2012 ( 1) 4 ( 1) 2
x
x x
−
 
− + − − =
 
Đặt u = x – 1, ta được phương trình :
2
2012 ( 4 ) 2
u
u u+ − =
(4)
Lại xét hàm số

và
2
1
1 ln 2012
4u
< <
+
nên g’(u)>0 với mọi
u R∈
nên hàm số g(u) đồng biến trên R. Mặt khác g(0)=2 nên u = 0 là nghiệm duy nhất của
phương trình (4).
Từ đó x = 1 và
1
2
y =
.
Vậy hệ PT có 1 nghiệm duy nhất
1
( ; ) (1; )
2
x y =
.
( 
2
2 3 ( 2013)(5 )
( , )
( 2) 3 3

− = + − +


y x y x
Từ (2) ta có:
2
( 4)x∆ = +
(2) có hai nghiệm
1
2
2 4
3
2
2 4
1
2
− − −

= = −


− + +

= = +


x x
y
x x
y x
( do
0y ≥
)

( 4) ( 1) 2013 0
2 3 1
−
 
 
⇔ − + + + =
 ÷
 
− + +
 
x
x x
x x

4 5⇔ = ⇒ =x y

2
1 1
( 1) 2013 0, , 0
2
2 3 1
 
 
+ + + > ∀ ≥ ≥
 ÷
 
− + +
 
Do x x y
x x

3
2 2 2
12 2 12 2 1
4 2 4 5 4 6 0 2
x x y y
x x y y

− = − − −


+ − − − + =


Xét hàm số
( )
3
12f t t t= −
trên [-2;2]
( )
[ ]
2
' 3 12 0, 2;2f t t t= − ≤ ∀ ∈ −
( )
f t⇒
nghịch biến trên [-2;2], kết hợp với (1) suy ra
2 2x y y x= − ⇔ = +
Thế y=x+2 vào (2) được
2 2
4 6 3 4x x+ = −
. Giải được

2 0
x x
y y
⇒ − − =

⇒
x = 4y
Nghiệm của hệ (2;
1
2
)

2
2 2
( ) 4 1
( ) 2 7 2
x x y y x
x x y y x

+ + = −


+ − = +



Với x = 0 không nghiệm đúng phương trình
5
Luyện thi đại học về hệ phương trình
Với

 
+ − − =
+


+ − =


Đặt
2
1
,
y
u v x y
x
+
= = +
ta có hệ:
2 2
4 4 3, 1
2 7 2 15 0 5, 9
u v u v v u
v u v v v u
+ = = − = =
  
⇔ ⇔
 

− = + − = = − =
  

y x
x y

+ =

+ = −

, hệ này vô nghiệm.
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:
( ; ) (2;1), ( ; ) (5; 2).x y x y= = −






=+++
=−++
637
422
yx
yx

ĐK:
23,27
≤≤−−≤≤−
yx
Ta có



Ta được





=+
=+
2
55
10
vu
vu



=
=
⇔



=
=+
⇔
5
5
25
10
v




=−−
=−++−−
12
4)3()1(3
22
yxyx
xyyyxx

( )
x, y R∈

Từ pt:
2 2
3 ( 1) ( 3) 4x x y y y x− − + + − =
⇔
( ) ( )
2
3 4 0x y x y− + − − =

⇔



−=−
=−
4
1

( , )
6 1 1
y y
x y
y x x

+ = − +

∈

+ = − +


¡

Ta có phương trình
2 2
2 2
6x 1 1 (1)
( , )
6 1 1 (2)
y y
x y
y x x

+ = − +

∈

+ = − +

y x
y x
y
− −
⇔ = + −
− + −
+ + +
2 2
6x+6y 1
( ) 0 0
1 1
6x 1 6 1
x y x y x y y x
y x
y
 
 ÷
⇔ − + + + = ⇔ − = ⇔ =
 ÷
− + −
+ + +
 
Với y=x thay vào (1) ta có

2
2 2 2 2 2
2
6x 24 2
6x 1 1 6x 1 5 1 1 4 4
1 1

x x y x y

− + + =


− + = −



Hệ tương đương
2
2 2 2
(1 2 ) 0 (1)
( ) 3 (1 2 ) 0 (2)
x y x y
x y x y

+ + − =


+ + − =


Thay (1) vào (2) được
( )
2
2 2
0
1
(1 2 ) 3 (1 2 ) 0 2 (1 2 )(2 ) 0

1 3
x y x y
x y x y

+ − − =


+ + − − =



Điều kiện: x+y
≥
0, x-y
≥
0
Đặt:
u x y
v x y
= +


= −

ta có hệ:
2 2 2 2
2 ( ) 2 4
2 2
3 3
2 2

. Thế (1) vào (2) ta có:
2
8 9 3 8 9 (3 ) 0uv uv uv uv uv uv uv+ + − = ⇔ + + = + ⇔ =
.
Kết hợp (1) ta có:
0
4, 0
4
uv
u v
u v
=

⇔ = =

+ =

(vì u>v). Từ đó ta có: x =2; y =2.(Thỏa đ/k)
KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2).
'
/
0
1

3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y

3 3 9( ) 22
1
2
t y t y t y
t y t y

+ + + − + =


+ + + =


. Đặt S = y + t; P = y.t
Hệ trở thành
3 2 3 2
2 2
3 3( 2 ) 9 22 3 3( 2 ) 9 22
1 1 1
2 ( )
2 2 2
S PS S P S S PS S P S
S P S P S S
 
− + − − = − + − − =
 
⇔
 
− + = = + −
 
 

   
−
 ÷  ÷
   
(
2 2
2
2
1
( , )
xy
x y
x y
x y
x y x y

+ + =

+
∈


+ = −

¡

Điều kiện: x + y > 0
Đặt u = x + y, u > 0 và v = xy. Pt (1) trở thành:
2 3
2

= −


1 0; 2 3x y x y= ⇒ = = − ⇒ =
TH2: Với
2
2 0u u v+ − =
hay
2 2 2
( ) 2 0 0x y x y xy x y x y+ + + − = ⇔ + + + = ⇒
vô nghiệm do
đk
Vậy hệ pt có 2 nghiệm (1; 0); (−2; 3).
)
2 2
2 2
1 4
( ) 2 7 2
x y xy y
y x y x y

+ + + =

+ = + +

.

Dễ thấy
0y ≠
, ta có:

+


+ − =


Đặt
2
1
,
x
u v x y
y
+
= = +
ta có hệ:
2 2
4 4 3, 1
2 7 2 15 0 5, 9
u v u v v u
v u v v v u
+ = = − = =
  
⇔ ⇔
 

− = + − = = − =
  
+) Với
3, 1v u= =

x y x y x x
x y y x y x
  
+ = + = + + =
⇔ ⇔
  
+ = − = − − = − −
  
, hệ vô nghiệm.
KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:
( ; ) {(1; 2), ( 2; 5)}.x y = −
*
( )
( ) ( )
3 1 4 2 1 1 3
2 4 6 3
x x y y
x y x y x y

− + + = − +


+ − + = − −



( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 1 4 2 1 1 3 1
2 4 6 3 2

1 0y x
+ + =
vô nghiệm vì
1
; 1
3
x y
≥ ≥
- Với
2 4 0 2 4x y y x
− + = ⇔ = +
, thay vào (1) ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 1 4 2 1 2 3 3 2 4 2 3 1 3 1 2 2 3 2 3 *x x x x x x x x− + + = + + + ⇔ − + − = + + +
( )
* 3 1 2 3 4 12x x x y
⇔ − = + ⇔ = ⇒ =
Kết luận:
( ) ( )
, 4;12x y =

2 2
1 3 (1)
2 (2)
xy x y
x y x y
+ − =


− =

− + =
+ − =


 
⇔
 
 
 
− =
− =
 ÷
 
 


1
(3) 3
x
x
y y
⇔ − = −
thay vào (4) ta có:
2
1
3 2 0
2
x
y
x x

thay vào (2) ta được:
3 2
1
4 2 2 0 1
2
y y y y y− − = ⇔ = ∨ = −
Vậy hệ có 4 nghiệm:
1
(1 2;1 2), (2,1), ( 1; )
2
± ± − −
10
Luyện thi đại học về hệ phương trình

2 2
2 1 2 4( 1)
4 2 7
x y x y
x y xy

+ + − = −


+ + =



Điều kiện: x+2y
1 0
+ ≥


+ + =

2
1
1
1
2
x
x
y
y
=

=


⇔ ∪
 
=
=




2 2
2 2
12
12
x y x y

2
u
y v
v
 
= −
 ÷
 
.
Hệ phương trình đã cho có dạng:
2
12
12
2
u v
u u
v
v
+ =


 

− =
 ÷

 

4
8


− =

⇔
 
=
+ =



(I)
+
2 2
3
3
9
9
u
x y
v
x y

=

− =

⇔
 
=
+ =


− + − =

− + + =


11
Luyện thi đại học về hệ phương trình
Ta có: (1) ⇔
x y x y
2
( ) ( 4 ) 0− − =
⇔
x y
x y4

=

=

Với x = y: Thay vào (2) ta được x = y = 2
Với x = 4y: Thay vào (2) ta được
x y32 8 15; 8 2 15= − = −
%
( ) ( )
3 1 2 7 2
( , )
2 4 5
x x y y x
x y



+ ≥

Với điều kiện trên thì (1) ⇔ 3x
2
−7xy + 2y
2
+ x −2y = 0
⇔ (3x−y)(x−2y) +(x−2y) = 0 ⇔ (x−2y)(3x−y +1) = 0 ⇔
2 0
3 1 0
x y
x y
− =


− + =

+ x−2y = 0 ⇔ x = 2y
(2):
4 9 5y y+ =
⇔ y = 1
y = 1
⇒
x = 2 (tmđk)
+ 3x − y + 1= 0 ⇔ y = 3x+1
(2) trở thành:
7 1 7 2 5x x+ + + =



=


.
17 76
25 25
x y= ⇒ =
(tmđk).
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (2;1) và (x;y) =
17 76
;
25 25
 
 ÷
 
.
&
3
2 1 0
(3 ) 2 2 2 1 0
x y
x x y y

− + =


− − − − =



∀
t
∈
R. Vậy hàm số tăng trên R
(2)
( ) ( )
2 2 1 2 2 1f x f y x y⇔ − = − ⇔ − = −
⇔ 2 – x = 2y – 1 ⇔ 2y = 3 – x
12
Luyện thi đại học về hệ phương trình
Thay vào (1): x
3
+ x – 2 = 0 ⇔ x = 1. Nghiệm của hệ (1;1)
'
/
2
3

4 3 2 2
3 2
1
1
x x y x y
x y x xy

− + =


− + = −


2
1
1
u v
v u

= −

− = −


+ Giải hệ trên được nghiệm (u; v) là (1; 0) và (-2; -3)
+ Từ đó giải được nghiệm (x; y) là (1; 0) và (-1; 0) (
( )
( )
2 2 2
2 2 2 2
2 2 5 2 0 1
1 2 2 1 2
x y x y y
y x y xy x x xy y y

− − + − =


+ + − = − + − + + +


t
= − −
+
2
1 1
2 0 0
2
1
t t
t
t
 
= − − < ∀ >
 ÷
+
 
Suy ra hàm số nghịch biến
( )
0;+∞
nên
( ) ( )
2f y f x y x y
= − ⇔ =
Thay vào (1) ta có
( )
( )
2
2 1 0 2y x x y− − + = ⇔ =

4x⇒ =

2 2
x y x y 13 1
x y x y 25 2

− + =


+ − =


( )
( )
3 2 2 3
3 2 2 3
x xy x y y 13 1'
y xy x y x 25 2'

+ − − =

⇔

− + − =


Lấy (2’) - (1’) ta được: x
2
y– xy
2
= 6
( )

I
x z xz 6
x z xz 6

 

+ + = + + − =
 
 
 
⇔ ⇔
 
− + =
 
+ = −


đặt S = x +z và P = xz ta có :
( )
2
3
S S 2P 13
S 1
S 2SP 13
P 6
SP 6
SP 6

− =


hoặc
x 2
z 3
= −


=

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm là : ( 3 ; 2) và ( -2 ; -3 )
*
2
1 1 4( ) 3.
3
2
2
x y x y x y
x y

+ + + = + + +


− =


Đặt : t = x + y ; ĐK: t
Giải PT:
2 2
1 1 4 3. 1 3 4 1t t t t t t+ + = + ⇔ + − = −

1 2 1 1

⇔
 
 
− = = −




Vậy hệ dã cho có một nghiệm
2
3
1
6
x
y

=




= −



2
2( 2) 6 6 (1)
( 2) 2 1. 4 5 (2)
x x y
x y y x x


≥

(*)
(2)
2
2
2
1
2 ( 2) 1
( 2) 1 ( 1) 1
2
( 2) 1
y
x x y
x y
y
x
+
− − +
⇔ = ⇔ =
− + + +
+
− +
(3)
14
Luyện thi đại học về hệ phương trình
PT (3) có dạng:
( )
2

[
)
0;+∞
Do đó
( )
2
2 2
2 ( 1) ( 2) 1 ( 2) 1f x f y x y y x
 
− = + ⇔ − = + ⇔ = − −
 
thay vào (1) được:
2
2( 2) 6 7 ( 2)x x x− + = − −
(4) . Đặt
2 0t x= − ≥
thì PT (4) cho:
2
2
2 2 4
4 3 2
7 0 7
2 8 7
4 ( 8) 49 14
4 46 49 0
t t
t t t
t t t t
t t t





− − − − =



=



Xét
3 2
( ) 3 49 49g t t t t= − − −
, với
0 7t≤ ≤
:
Ta có:
2
'( ) 3 6 49 0 , 0; 7 ( )g t t t t g t
 
= − − < ∀ ∈ ⇒
 
nghịch biến trên đoạn
0; 7
 
 
Do đó với
0 ( ) (0) 49 0t g t g≥ ⇒ ≤ = − <
nên phương trình g(t) = 0 vô nghiệm trên

)(x + y) + 8xy = 16(x + y) ⇔ [(x + y)
2
– 2xy ] (x + y) – 16(x + y) + 8xy = 0
⇔ (x + y)
3
– 16(x + y) – 2xy(x + y) + 8xy = 0 ⇔ (x + y)[(x + y)
2
– 16] – 2xy(x + y – 4)
= 0
⇔ (x + y – 4)[(x + y)(x + y + 4) – 2xy] = 0 ⇔
2 2
x y 4 0 (3)
x y 4(x y) 0 (4)
+ − =


+ + + =

Từ (3) ⇒ x + y = 4, thế vào (2) ta được: x
2
+ x – 4 = 2 ⇔ x
2
+ x – 6 = 0 ⇔
x 3 y 7
x 2 y 2
= − ⇒ =


= ⇒ =


≥


≥

Hệ đã cho tương đương với:
6 6 2 2
4 5 3 4 5 3 16
x y xy
x y

+ − =


+ + + =


6 6 2 2
5 3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 4 2 0
x y xy
x x y y x xy y

+ − =

⇔

+ − + + + + − + + + − + =


( ) ( ) ( )


+ =


=


.
Vậy hệ phương trình có một nghiệm
1 1
;
5 5
 
 ÷
 
 Hệ đã cho tương đương với
3(5 5 ) 5 5 3(5 5 ) 5 5
5 5 2 (5 3)(5 3) 6 16 5 5 2 3(5 5 ) 25 9 10
x y xy x y xy
x y x y x y x y xy
 
+ − = + − =
 
⇔
 
+ + + + + = + + + + + =
 
 
Đặt
5 5 , 5u x y v xy= + =

(*) 2
3 3
49( 27 34) (10 ) 35 88 36 0
u u
u
u u u u u
 
≤ ≤ ≤ ≤
 
⇔ ⇔ ⇔ =
 
 
− + = − − + =
 
Với u = 2 ⇒ v = 1, ta được hệ:
5 5 2
5 5 2
1
1
5
5 1
25
x y
x y
x y
xy
xy
+ =

+ =