Bài toán 1: Cho a,b,c dương và abc=1. CMR:
1 1 1
1 1 1 1
a b c
b c a
   
+ − + − + − ≤
   
   
GIẢI
Ta thay
; ;
x y z
a b c
y z x
= = =
thì BĐT cần chứng minh trở thành:
( )( )( )
1
( )( )( )
x y z y z x x z y
xyz
x y z y z x x z y xyz
+ − + − + −
≤
⇔ + − + − + − ≤
Đến đây công việc còn lại xin nhường cho bạn đọc.
NX: Do
1
abc
=

2
1 1
1
3
2
x y y z
z x
y z z x
x y
yz xy xz
xy xz xz yz xy yz
+ + ≥
     
+ +
+
   
 
   
 
+ + ≥
+ + +
BĐT trở lại dạng Nesbit, bạn đọc tự chứng minh.
2. Với bài toán này bạn đọc tự giải.Gợi ý nguồn gốc bài toán:
4
3
a b c d
b c d a c d a b d a b c
+ + + ≥
+ + + + + + + +


1.
2 2 2
x y z xy yz x z
+ + ≥ + +
2.
2 2 2
6 3 5 4 8 2
x y z xy xz yz
+ + ≥ + +
GIẢI:
1. Bài toán này chắc hẳn là quá quen thuộc với các bạn, nó cũn g đã có khá nhiều trong các cuốn sách về
BĐT. Sau đây là lời g i ải c ủa bài toán này:

2 2
2 2
2 2
2
2
2
x y xy
y z yz
x z xz
+ ≥
+ ≥
+ ≥
2 2 2
2( ) 2( )
x y z x y yz x z
⇒ + + ≥ + + ⇒
đpcm

6
3
5
m n
m p
n p
+ =
+ =
+ =
2 , 4 , 1
m n p
⇒ = = =
. Khi đó tức là ta sẽ tách biểu thức ban đầu như sau:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
6 3 5 2( ) 4( )
A x y z x y x z y z
= + + = + + + + +
Nội dung của kĩ thuật hệ số bất định:
Giả sử ta cần chứng minh BĐT:
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
aA x y z bB x y z cC x y z dD x y z eE x y z fF x y z
+ + ≥ + +
trong đó x,y,z là các ẩn. Ta đưa vào các tham số m,n,p; nghĩa là ta có:
[
]
[
]
[
]
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

b c a
B x y z C x y z eE x y z
a c b
A x y z C x y z fF x y z
+ −
+ ≥
+ −
+ ≥
+ −
+ ≥
L ưu ý biểu thức vế trái của BĐT cần c h ứng minh có thể là một số. Sau đây là một áp dụn g c ủa kĩ t h u ật
này trong bài toán lượng giác:
Bài toán 2: Cho tam giác ABC. CMR:
1.
sin sin 2cos
2
C
A B+ ≤
2.
sin sin sin c o s cos cos
2 2 2
A B C
A B C+ + ≤ + +
3.
7sin 5sin 8sin 4cos 6cos 10cos
2 2 2
C A B
A B C+ + = + +
Xác định hình dạn g c ủa tam giác ABC.
GIẢI

A B C
A B C+ + ≤ + +
Đẳn g t h ức xảy r a
3
A B C
A BC
π
⇔ = = = ⇔∆đều.
3. Đến câu 3 ta không thể sử dụn g t r ực tiế p như câu 2 mà phải s ử dụn g k ĩ t h u ật hệ số bất định như sau:
(sin si n ) ( sin sin ) (sin sin )
( )sin ( )sin ( )sin
m A B n B C p A C
m p A m n B n p C
+ + + + +
= + + + + +
Đồng nhất hệ số ta có:
7
5
8
m p
m n
n p
+ =
+ =
+ =
2 ; 3 ; 5
m n p
⇒ = = =
K h i đó ta có:
2(sin sin ) 3 ( s i n sin ) 5 ( s i n sin )

5 23 9 8
cot cot c o t tan 2tan 3tan
2 10 5 5 2 2 2
A B C
A B C+ + = + +
Lớp bài toán thứ hai:
Bài toán 1: Cho a,b,c không âm và
3
a b c
+ + =
. Tìm GTLN của
4 8 6
A ab bc ca
= + +
GIẢI
Đưa tham số m,n,p sử dụn g k ĩ t h u ật hệ số bất định ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ma b c nb c a pc a b m n ab n p bc m p ca
+ + + + + = + + + + +
Đồng nhất hệ số ta có:
4
8
6
m n
n p
m p
+ =
+ =
+ =
1 ; 3 ; 5

( )
2 2 2
81
3 5
4
A x y z
= − + + với
3
2
x y z
+ + ≥
. Nghĩ a là ta phải tìm
GTNN của
2 2 2
3 5
x y z
+ + với
3
2
x y z
+ + ≥
Đến đây ta sử dụn g k ĩ t h u ật cân bằn g h ệ số để giải quyế t.
Đ/Án: max A
432
23
=
12 27 30
; ;
23 23 23
x y z⇔ = = =

m n
m p
n p
− = + =
− = = +
= + = −
1 , 1 , 1
m n p
⇒ = = =
( ) ( )
( )
3 5 15 3 5 15 3 5 15
3
4 6 2 10 4 20
1 1 1 9 3
3 5 15 3 3 5 15 3
4 6 2 10 4 20 2 3 5 15 2
a b c a b c a b c
a b a c b c
a b c a b c
a b a c b c a b c
+ + + + + +
+ + −
+ + +
 
⇔ + + + + − ≥ + + − =
 
+ + + + +
 
L B : Qua lời giải của các bài toán trên ta có thể thấy được lợi ích của việc dùng kĩ thuật hệ số bất định

5
c a b b c
a b b c a c
+ −
+ + ≥
+ + +

2. Phương pháp chọn giá trị lớn nhất, nhỏ nhất:
Đối v ới p h ương pháp này ta cần chú ý một số nhận xét sau:
- Với B ĐT đối x ứng ( hoán vị b ất kì ) của các biế n
(
)
1 ,
i
a i n
=
, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
1 2

n
a a a
≥ ≥ ≥
- Với B ĐT hoán vị vòng quanh của các biế n
(
)
1 ,
i
a i n
=
, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

a b c b c a c a b
c c a a a b b b c
− − −
+ + ≥
+ + +

Ta chia ra thành 2 trườn g h ợp sau:
TH1:
0
a b c
≥ ≥ >
. Khi đó ta có:
( ) 0 ; ( ) ( )
( ) 0 ; ( ) ( )
a b c c c a a a b
c a b b b c a a b
− ≥ + ≤ +
− ≥ + ≤ +
Suy ra:
( ) ( )
( ) ( )
a b c a b c
c c a a a b
− −
≥
+ +
v à
( ) ( )
( ) ( )
c a b c a b

− −
≥
+ +
v à
( ) ( )
( ) ( )
b c a b c a
a a b b b c
− −
≥
+ +
.Do đó:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
( ) ( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b a b c b c a c a b
c c a a a b b b c b b c
− − − − + − + −
+ + ≥ =
+ + + +
NX: Bài toán trên khá hay và cách giải trên là ngắn g ọn và dễ hiểu nhất. Ngoài ra còn có 2 cách giải n h ư
sau:
C1: Sử dụng phép thế . BĐT cần c h ứng minh tươn g đươn g v ới :
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
b a c b a c a b c
c c a a a b b b c c a a b c b
b c a
c a b c a b
c a b

( )
2 2 2 3
3
3 3
xy yz zx xyz
+ + ≥ =
. Ta suy ra đpcm.
C2: Sử dụng phương pháp đánh giá tổng các phân thức- phép thế .
BĐT cần c h ứng minh tươn g đươn g v ới :

3
( ) ( ) ( )
ab c bc a ca b
c c a c a a a b a b b b c b c
     
+ + + + + ≥
     
+ + + + + +
     

2 2 2
3
( ) ( ) ( )
ab c bc a ca b
c c a a a b b b c
+ + +
⇔ + + ≥
+ + +

Sử dụn g B ĐT Cauchy tức là ta phải c h ứng minh:

a b b c c a
b c c a a b
− − −
+ + ≥
+ + +

GIẢI
Giả sử
max( , , )
a
a b c=
,ta xét các trườn g h ợp sau:
TH1:
0
a b c
≥ ≥ >
. Khi đó ta có:
0 ;
0 ;
a b b c a b
b c c a a b
− ≥ + ≤ +
− ≥ + ≤ +
Do đó:
a b a b
b c a b
− −
≥
+ +
v à

v à
c a c a
a b b c
− −
≥
+ +
Suy ra:
0
a b b c c a a b b c c a
b c c a a b b c
− − − − + − + −
+ + ≥ =
+ + + +

L B : Bạn đọc có thể tham khảo thêm cách giải sau:
Đặt
(
)
; ; , , 0
x b c y c a z a b x y z
= + = + = + >
. Khi đó ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
; ;
2 2 2
y z x z x y x y z
a b c
+ − + − + −
= = =
BĐT cần chứng minh trở thành:

0
( 2008) ( 2008) ( 2008)
a b b c c a
b b c c a a
− − −
+ + ≥
+ + +

2
1 1 1 1
( ) ( ) 0
( 2008) ( 2008) ( 2008) ( 2008)
( 2008) ( 2008)
( ) ( )( ) 0
( 2008)( 2008) ( 2008)( 2008)
a b b c
b b a a c c a a
a b a c
a b b c a c
ab a b ac a c
   
⇔ −− + − − ≥
   
+ + + +
   
+ + + +
⇔ −+ − − ≥
+ + + +
BĐT trên đúng với các đi ều kiện đã giả sử ban đầu.
L B : Có thể nói sử dụng phương pháp “ bán Schur- bán S.O.S” để giải toán BĐT là khá hay. Tuy sức

A a b c C a b c B a b c C a b c
− −
sao cho chứa các
thừa số ;
a b a c
− −
.
Đối với dạng căn thức thì ta có thể làm như sau sử dụng biểu thức liên hợp:
( , , ). ( , , ) ( , , ). ( , , )
( , , ). ( , , ) ( , , ). ( , , )
( , , ). ( , , ) ( , , ). ( , , )
A a b c B a b c C a b c D a b c
A a b c B a b c C a b c D a b c
A a b c B a b c C a b c D a b c
−
− =
+
Sau đó ta mới bắt đầu tìm cách đưa về dạng chính tắc của bán schur- bán S.O.S.
Sau đây là một số phân tích thường dùng:
2 2 2 2
3 3 3 2
2
2 2 2
4 4 4
1. ( ) ( ) ( )
2. 3 ( )( ) ( )( )( )
3. ( ) ( ) ( ) 6 2 ( ) ( ) ( )( )
4. 3 ( ) ( )( )
5. ( ) (
a b c ab bc ca a b a c b c

+ + − = +
2
2
2 2 2 2
( )
2( ) ( )( )( )
9. 6
3 ( ) ( 2 )( )( )
10.
2 ( ) ( ) 2( )( )( )
( )( ) ( )( 2 )( )(
11.
2 ( )( )
b c
ac
b c c a a b a b a b a c b c
a b c ab abc
a b c a b a b c a c b c
b c c a a b a c b c a b b c c a
a b c a b c a b c a b a b c a b c a c b
b c c a a b a c b c
−
+ + + − + − −
+ + − = +
− + + − −
+ + − = +
+ + + + + + + +
+ + + + − + + + + −
+ + − = +
+ + + + +

2
b c c a a b a b c
a b c ab bc ca
+ + + + +
+ + ≥ +
+ +

Bài toán 5: Cho a,b,c dương . CMR:
3 3 3
5
2( ) 3
a b c abc
b c c a a b a b c
+ + + ≥
+ + + + +

BL1: Cho a,b,c dương . CMR:
2
b c c a a b a b c
a b c b c c a a b
 
+ + +
+ + ≥ + +
 
 
+ + +
 
BL2: Cho a,b,c,x,y dương. CMR:
0
( ) ( ) ( )

1 2
1 2n
n
n
a a a
a a a
n
+ + +
≥ . Viế t gọn :
1
1
n
i
n
i
n
i
i
a
a
n
=
=
≥
∑
∏
Đẳn g t h ức xảy r a :

i n
i
a a a a
=
= + + +
∑

Tính chất:
1 1 1
1 1
1
1. ( )
2. . .
3.
n n n
i i i i
i i i
n n
i i
i i
n
i
a b a b
c a c a
c nc
= = =
= =
=
+ = +
=


Tính chất:
1 1 1
1 1
1
1. .
2.
3.
n n n
i i i i
i i i
k
n n
k
i i
i i
n
n
i
a b a b
a a
c c
= = =
= =
=
=
 
=
 
 

+ ≥ =
Đẳn g t h ức xảy r a
( )
1
0 1
a a a
a
⇔ = > ⇔ =
2. Ở bài này ta không thể sử dụn g B ĐT Cauchy trực tiế p được vì nó sẽ dẫn đến đi ểm r ơi là
1
a
=
, trái
v ới đi ều kiện ban đầu của bài toán.
Sau khi lập bảng biế n thiên ta dự đoán GTNN của B đạt tại
2
a
=
, nghĩ a là đi ểm r ơi s ẽ là
2
a
=
. Nên ta
tìm cách tách hạn g t ử a trong biểu thức B như sau:
( )
1 1
1
A a a a
a a
β α α β

+ = + + ≥ + = + =
Đẳn g t h ức xảy r a
1
2
4
a
a
a
⇔ = ⇔ =
.
L B : V iệc đưa tham số vào giúp ta điều chỉnh, đảm bảo được dấu “=” xảy ra đúng.
Bài toán 2:
1. Cho
2
a
≥
. Tìm GTLN:
2
1
A a
a
= +
.
2. Cho
, 0
1
a b
a b
>
+ ≤

3
8 8 4 8 8 4 4
a a a a a
a a
+ + + ≥ + =
Đẳn g t h ức xảy r a
2
a
⇔ =
2. Đặt
(
)
0
t ab t
= >
khi đó ta có đi ều kiện
( )
2
1
4 4
a b
t ab
+
= ≤ =
.
Bài toán qui về việc tìm GTNN của biểu thức
1
A t
t
= +

 
GIẢI
1. Do tính đối x ứn g c ủa bài toán nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại các biế n b ằng nhau. Ta có lời g i ải
n h ư sau:
( )
4
4 4
. . 1
a b c d a b c d abcd
A
a b c d
abcd abcd
β α α β
+ + + + + +
= + + + =
+ + +

Sau khi sử dụn g B ĐT Cauchy ta có dấu “=” xảy r a
( )
4
4
1
.
16
a b c d abcd
a b c d
a b c d
abcd
α α
+ + +

( )
1
4
A t t
t
= + ≥
Xét
1 2
4
t t
≥ ≥
ta có:
1 2 1 2
1 2
1 2
( )( 1 )
( ) ( ) 0
t t tt
A t A t
tt
− −
− = ≥
Do đó hàm
( )A t
đồng biến không chặt trên
4
t
≥
. Suy ra
17