GTLN-GTNN VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013
Bài 1 (ĐH A2003) Cho x ,y ,z là ba số dương và
1x y z+ + ≤
. Chứng minh rằng

2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
x y z
+ + + + + ≥
ĐS :
1
3
x y z= = =
Bài 2 (ĐH B2003) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :

2
4y x x= + −

ĐS :
[ ]
2;2
Maxy (2) 2 2y
−
= =
;
[ ]
2;2
Miny ( 2) 2y
−

.

2
ln x
y
x
=
ĐS :
3
2
2
1;
4
Maxy ( )
e
y e
e
 
 
= =
;
3
1;
Miny (1) 0
e
y
 
 
= =
Bài 5 (ĐH A2005) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn

ĐS :
0x =
Bài 7 (ĐH D2005) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng :

3 3 3 3
3 3
1 1
1
3 3
yz
x y y z
z x
xy zx
+ + + +
+ +
+ + ≥

.Khi nào đẳng thức xảy ra?
ĐS :
1x y z= = =
Bài 8 (ĐH A2006) Cho hai số thực thay đổi và thỏa mãn điều kiện:
2 2
( )x y xy x y xy
+ = + −
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3 3
1 1
A
x y

2 1MinP x y z= ⇔ = = =
Bài 11 (ĐH B2007) Cho x , y , z là ba số thực dương thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

1 1 1
( ) ( ) ( )
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
= + + + + +

ĐS :
9
1
2
MinP x y z= ⇔ = = =
Bài 12 (ĐH D2007) Cho
0a b≥ >
. Chứng minh rằng :

1 1
2 2
2 2
b a
a b
a b
   
+ ≤ +
 ÷  ÷
   



= ⇔

= − = −


;
3 2
;
13 13
MinP 6
3 2
;
13 13
x y
x y

= = −


= − ⇔

= − =


Bài 14 (ĐH D2008) Cho x,y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức :
2 2
( )(1 )

4
+ x
2
y
2
) – 2(x
2
+ y
2
) + 1
ĐS :
9 1
MinA
16 2
x y= ⇔ = =

Bài 17 (ĐH D2009) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x
2
+ 3y)(4y
2
+ 3x) + 25xy.
ĐS :
2 3
25 1 191
4
MaxS ;MinP
2 2 16
2 3
4

=


Bài 18 (ĐH B2010) Cho các số thực a ,b ,c không âm thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức M =
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3( ) 3( ) 2a b b c c a ab bc ca a b c+ + + + + + + +
ĐS :
MinM 2 ( , , )a b c= ⇔
là một trong các bộ số :
(1;0;0),(0;1;0),(0;0;1)
Bài 20 (ĐH D2010) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y =
2 2
4 21 3 10x x x x− + + − − + +
ĐS :
1
Miny 2
3
x= ⇔ =
Bài 21 (ĐH A2011) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
biểu thức
2 3
x y z
P
x y y z z x
= + +
+ + +
ĐS :
34


=

hoặc
1
2
a
b
=


=

Bài 23 (ĐH D2011−NC) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
[ ]
0;2
.

2
2 3 3
1
x x
y
x
+ +
=
+
ĐS :
[ ]
0;2

5 6 6 6
MaxP ;
36 3 6
x y z= ⇔ = = = −

Bài 26 (ĐH D2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)
2
+ (y – 4)
2
+ 2xy ≤ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức A = x
3
+ y
3
+ 3(xy – 1)(x + y – 2).
ĐS :
17 5 5 1 5
MinA
4 4
x y
− +
= ⇔ = =

Bài 27 (ĐH A2013) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện
2
(a c)(b c) 4c+ + =
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
3 3 2 2
3 3

x y x 2y
P
6(x y)
x xy 3y
+ −
= −
+
− +
ĐS :
5 7 1
MaxP ; 2
3 30 2
x y= + ⇔ = =

Bài 30 (ĐH D2013−NC) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
[ ]
0;2
.

2
2 3 3
( )
1
x x
f x
x
− +
=
+