Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai
- 1 - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị Trường THPT Ngô Quyền
Mã số:
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ÁP DỤNG
KĨ THUẬT TÌM ĐIỂM RƠI
TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
CAUCHY Người thực hiện: ĐỖ TẤT THẮNG.
Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý giáo dục
Người thực hiện: ĐỖ TẤT THẮNG.
Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý giáo dục
Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN
Phương pháp giáo dục
Lĩnh vực khác:
Có đính kèm:
Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác Năm học: 2012-2013
Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai
- 2 -
DỰ ĐOÁN
DẤU BẰNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI
(CAUCHY) ĐỂ TÌM GTNN, GTLN VÀ CHỨNG
MINH BẤT ĐẲNG THỨC
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
- Bất đẳng thức (BĐT) là kiến thức không thể thiếu trong các kì thi đại học, cao
đẳng, thi học sinh giỏi. BĐT áp dụng rất nhiều trong trong cuộc sống nói chung và
toán học nói riêng chẳng hạn: giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình,
- 3 -
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ
TÀI
Một là, qua thực tế dạy học và từ ghi nhận trên chúng tôi nhận thấy trong
chương trình lớp 10 phần BĐT, số bài tập trong sách giáo khoa hạn chế và thời
lượng dành cho nó rất ít.
Hai là, trong sách giáo khoa, sách bài tập đại số và hình học ban nâng cao và
ban cơ bản đều không có hoặc rất ít bài BĐT yêu cầu dấu “=” xảy ra khi nào? Do đó,
thông thường khi làm bài BĐT thì HS không có thói quen thử lại dấu “=” có xảy ra
hay không? Đây chính là sai lầm HS thường gặp phải.
Do đó, tôi mạnh dạn làm SKKN này với mong muốn là một tài liệu nhỏ giúp HS
đỡ khó khăn hơn khi gặp một số bài BĐT có dạng trên.
III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
A) Cơ sở lí thuyết
Theo chương trình sách giáo khoa ban nâng cao và cơ bản hiện hành, HS chỉ
được học BĐT Cô-si 2 và 3 số không âm. Do đó, chúng tôi cố gắng biên soạn hệ
thống bài tập, kĩ thuật giải dựa trên BĐT Cô-si 2 và 3 số không âm, mục đích cho
HS dễ hiểu nhất có thể.
Bất đẳng thức Cô-si 2 số không âm
Cho a, b
0, ta có:
a b
ab
2
. Dấu "=" xảy ra
1 1 1 1
4
với a b
, 0
Dấu “=” xảy ra
a=b
Bất đẳng thức Cô-si 3 số không âm
Cho a, b, c
0, ta có:
a b c
abc
3
3
. Dấu "=" xảy ra
a = b = c.
Từ BĐT Cô-si 3 số không âm ta có thể dễ dàng chứng minh được các BĐT Hệ
quả sau:
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai
1 1 1 1 1
9
với a b c
, , 0
Dấu “=” xảy ra
a=b=c
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Cho
1 2
( , , , )
n
f x x x
là một hàm
n
biến thực trên
n
D f D
: :
1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
1 2 1 2
( , , , ) ( , , , )
Max
( , , , ) : ( , , , )
n n
Nhận xét:
Dấu hiệu để dùng BĐT Cô-si và các hệ quả là các biến trong BĐT luôn không
âm hoặc dương. Điều này giúp ta nhận định nhanh bài toán có nên dùng BĐT Cô-si
hay không.
Trung bình cộng của các số không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân
của chúng. Do đó:
+Để tìm GTNN của biểu thức thường ta sẽ biến đổi tổng thành tích.
+Để tìm GTLN của biểu thức thường ta sẽ biến đổi tích thành tổng.
Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng. Nó giúp kiểm tra tính đúng
đắn của chứng minh, định hướng cách giải. Đặc biệt, khi áp dụng nhiều lần bất
đẳng thức Cô-si hoặc hệ quả thì các dấu “=” phải đồng thời xảy ra với cùng một
điều kiện của biến.
BĐT “gộp” từ tổng 2 hoặc 3 số hạng thành một số hạng duy nhất.
BĐT “tách” từ một số hạng thành 2 hoặc 3 số hạng.
B) Ứng dụng dự đoán dấu bằng trong BĐT Cô-si tìm GTLN, GTNN của biểu
thức và chứng minh BĐT
1) Các sai lầm học sinh hay gặp phải
Đa số khi mới làm BĐT thì HS thường hay gặp phải sai lầm. Đáng nói hơn là
HS không biết mình sai như thế nào? Từ đâu?. Sau đây là các ví dụ HS hay gặp phải
sai lầm. Đầu tiên là Bài 4.22 trang 105 Sách bài tập đại số 10 ban nâng cao
Bài 1. Cho một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 80cm x 50 cm. Hãy cắt đi ở
bốn góc vuông những hình vuông bằng nhau để khi gập lại theo mép cắt thì được
một cái hộp (không nắp) có thể tích lớn nhất
3 3
130 1 130
(80 2 )(50 2 )4
3 4 3
x x x V
. Vậy
3
1 130
4 3
MaxV
Nguyên nhân sai lầm:
+Theo thói quen, HS không kiểm chứng lại dấu”=” của BĐT xảy ra khi nào?
3
1 130
4 3
MaxV
2, a>0
a
a
.
+Theo thói quen, HS không kiểm chứng lại dấu”=” của BĐT xảy ra khi nào? Cụ thể
Min A= 2
1
1
x x
x
(vô lý) vì
2
x
. Do đó, dấu “=” không xảy ra.
Bài 3. Cho số thực
2
x
. Tìm GTNN của
2
1
A x
x
Sai lầm HS thường gặp:
Áp dụng BĐT Cô-si 3 số không âm ta có
3
x x
x
x
trái với giả thuyết
2
x
.
Bài 4. Lập phương trình đường thẳng
đi qua Q(2;3) và cắt các tia ox,oy tại 2
điểm M, N khác điểm O sao cho OM+ON đạt GTNN.
Trích từ Bài 10 trang 101 Sách bài tập hình học 10 ban nâng cao hiện hành
Sai lầm HS thường gặp: Gỉa sử M(m;0),N(0;n) với m,n>0.
Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn là
: 1
x y
m n
.
Do
2 3
2;3 1
Q
m n
Áp dụng BĐT Cô-si 2 số
2 3
(Vô lý). Do đó dấu “=” không xẩy ra.
2) Khắc phục sai lầm, phân tích và định hướng cách giải
Kỹ thuật dự đoán dấu bằng để tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
B1: Dự đoán dấu “=” xầy ra:
Dấu hiệu:
+Nếu biểu thức có điều kiện ràng buộc thì GTLN, GTNN của biểu thức thường đạt
được tại vị trí biên.
+Nếu biểu thức có tính đối xứng thì dấu “=” thường xảy ra khi các biến bằng nhau.
+Nếu biểu thức không có tính đối xứng thì tuỳ theo bài toán mà linh hoạt áp dụng.
Mục đích: Xác định giá trị các biến và GTLN, GTNN của biểu thức tại dấu “=” ở
dự đoán ban đầu.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai
- 7 -
B2: Định hướng cách giải: Từ giá trị của các biến tại dấu “=” ở dự đoán ban đầu,
ta suy ra giá trị của các biến và các BĐT tham gia đánh giá tại các thời điểm dấu “=”
xảy ra. Mỗi phép đánh giá phải tuân theo nguyên tắc gía trị của các biến thuộc biều
thức tại các thời điểm dấu “=” xảy ra của các BĐT vẫn không thay đổi. Nghĩa là, dấu
“=” ở mỗi lần đánh giá đều phải giống như dấu “=” ở dự đoán ban đầu.
Mục đích: Lập sơ đồ dấu “=”
Thật vậy
1 2 1 2
, (2; ): 2
x x x x
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
. 11 1
( ) ( ) - 0 ( ) ( )
.
x x
f x f x x x x x f x f x
x x x x
Do đó
x
càng nhỏ thì A càng nhỏ. Dự đoán dấu “=” xảy ra tại
2
x
www.DeThiThuDaiHoc.com
Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai
- 8 -
+Cho nên, ta phải tách
x
hoặc
1
x
để khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si 2 số không âm
thì dấu “=” xảy ra. Dấu “=” xảy ra tại
2
x
, kết hợp với nhận xét trên ta sử dụng
BĐT Cô-si cho cặp số
1
,
x
x
thì
1 1 1
2 2
x x
x x
. Vậy ta nên phân tích A như sau:
1 3 1 1 3
4 4 4 4
x x x x
A x
x x x
và ta có lời giải tương ứng.
Lời giải đúng
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương
1
, 0
4
x
,
x
x
ta có thể chọn các
các cặp số sau:
1
,
x
x
hoặc
,
x
x
hoặc
1
,x
x
B2: Định hướng cách giải
+ Từ Bài 1 và dấu “= “ xảy ra tại
1
2
x y
, ta phân tích
1 1
A x y
x y
rồi đánh giá
1 1
, x y
x y
theo như Bài 1.
A x y x y x y x y
x y x y
Vậy
5
MinA
. Dấu “=” xảy ra
1
2
x y
Nhận xét: Để giải bài toán trên có thể dùng BĐT Cô-si 4 số không âm, nhưng do
giới hạn chương trình nên chúng tôi chỉ dùng BĐT Cô-si 2 và 3 số không âm.
Bài 3. Cho
3
, , 0:
2
x y z x y z
. Tìm GTNN của
1 1 1
A x y z
Lời giải
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai
- 10 -
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm
1 1 1 1 1 1
4 4 4 3 2 4 . 2 4 . 2 4 . 3
9 13
12
2 2
A x y z x y z x y z x y z
x y z x y z
với
2
2
0
n
(
, , 0
là
hằng số cho trước,
*
n N
) thì
MinA
2 2
n
khi
1 2 3
n
1 2 1 2
, (2; ): 2
x x x x
2 2
1 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
1 1
( ) ( ) -
1 0 ( ) ( )
x x
f x f x x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x f x f x
x x x x
)
Do đó, x càng nhỏ thì A càng nhỏ. Ta dự đoán
9
4
MinA
tại
2
x
.
B2: Định hướng cách giải
+Không thể áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số
,
2 2
x x
và
2
1
x
vì dấu “=” không xảy ra.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai
Ta có sơ đồ dấu ‘=’ :
2
2
1
2 1
2 8
1 1
4
4
x x
x
x
x
Vậy
2
1 6
tại
2
x
.
Nhận xét: Tương tự kĩ thuật giải và BĐT Cô-si 3 số ta có bài toán tổng quát hơn:
Mở rộng Bài 4: Cho
1 2 3 1 2 3
, , , 0:
n n
x x x x x x x x
.
1 2 3
2 2 2 2
1 2 3
1 1 1 1
n
n
A x x x x
x x x x
x x x x
n
Bài 5. Cho số thực
6
x
. Tìm GTNN của
2
18
A x
x
B1: Dự đoán dấu ‘=’ xảy ra
Do hàm số
2
18
( )
f x x
x
đồng biến trên
6;
nên x càng nhỏ thì A càng nhỏ. Ta
Lời Giải:
Áp dụng BĐT Cô-si 3 số không âm ta có:
2 2 2 2
3
9 9 23 9 9 23 9 23.36
3 . . 39
24 24 24 24 2 24
x x x x
A
x x x x
Dấu “=” xảy ra
2
9
6
24
2 2 2
1
1 1 2
4
8
1 1 1 2
2 4
x y z
x y z
x y z
Lời Giải:
Áp dụng BĐT Cô-si 3 số không âm và Hệ quả của nó. Ta được:
2 2 2
2 2 2
Dấu “=” xảy ra
1
2
x y z .
Vậy
27
4
MinA
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai
- 13 -
Nhận xét: Tương tự ta có thể giải quyết được bài toán tổng quát hơn.
Mở rộng Bài 6: Cho
1 2 3 1 2 3
, , , 0:
n n
x x x x x x x x
.
2 2 2 2
1 2 3
1 2 3
1 1 1 1
3 3
n
n
khi
1 2 3
n
x x x x
n
Bài 7. Cho ba số thực dương
z
y
x
,
,
thỏa
4
111
zyx
. Tìm GTLN
của
zyxzyxzyx
, ,
2 2 2
x y z x y z x y z
1
2
x y z
, phải được tách thành tổng các số hạng
1 1 1
, ,
x y z
. Từ 1 số hạng ban đầu tách thành nhiều số hạng, nghĩ ngay đến Hệ quả
của BĐT Cô-si 2 số không âm
1 1 1
,( , 0)
a b
a b a b
.
Do đó
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 16
x y z x y x z x y x z x y z x
x y z x y x z x y x z x y z x
Tương tự:
zyyxzyx
1111
16
2
1
zyxzyxzyxzyx
P
Dấu “=” xảy ra
4
3
3
4111
zyx
zyx
. Vậy
1
hằng số cho trước)
thì
4
MaxP
khi
3
4
x y z
Thậm chí đối với các bài toán BĐT mà dấu bằng không xảy ra khi các biến
bằng nhau. Nếu dự đoán được dấu bằng xảy ra, vẫn làm được
Bài 8. Cho
, , 0:
x y z
12
8
xy
yz
. Cmr:
www.DeThiThuDaiHoc.com
Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai
- 15 -
Lời Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si 3 số không âm ta có:
3
3
2 2 1
3 . .
18 24 18 24 2
2 2
3 . . 1
9 6 9 6
x y x y
xy xy
x z x z
zx zx
3
4
2 2 3
3 . .
16 8 16 8 4
8 8 4
4 . . .
(đpcm)
Bài 9. Cho một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 80cm x 50 cm. Hãy cắt đi ở
bốn góc vuông những hình vuông bằng nhau để khi gập lại theo mép cắt thì được
một cái hộp (không nắp) có thể tích lớn nhất.
Trích từ Bài 4.22 trang 105 Sách bài tập đại số 10 ban nâng cao hiện hành
Dự đoán dấu ‘=’ xảy ra và Định hướng cách giải
Gọi x (cm),
0 25
x
là độ dài hình vuông được cắt.
Do đó
(80 2 )(50 2 )
V x x x
.
Để tìm GTLN của V cần áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số:
(80 2 ), (50 2 ), 0
x x x
3
80 50 2 2
(80 2 ) (50 2 )
25 40
40( ) 6
2 1 2
n
l
Lời Giải:
Gọi x (cm),
0 25
x
là độ dài hình vuông được cắt.
Do đó
1
(80 2 )(50 2 ) (80 2 )(100 4 )6
12
.
Bài 10. Lập phương trình đường thẳng
đi qua Q(2;3) và cắt các tia ox,oy tại 2
điểm M, N khác điểm O sao cho OM+ON đạt GTNN.
Trích từ Bài 10 trang 101 Sách bài tập hình học 10 ban nâng cao hiện hành
Lời Giải:
Gỉa sử M(m;0),N(0;n) với m,n>0.
Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn là
:
1
x y
m n
.
Do
2 3 2
2;3 1
3
n
Q m
m n n
. Mà m>0 nên n>3
Mặt khác
n n
n n
Dấu “=” xẩy ra khi
2
3 6( ) 2 6
6
3 3 6
3
3 6( ) 3 6
n n m
n n
n
n l n
. Tìm GTNN của :
2 2
1 1
2
A
x y xy
B1: Dự đoán dấu ‘=’ xảy ra: Do A là biểu thức đối xứng theo x,y nên dự đoán dấu
bằng xảy ra khi
1
MinA=4
2
x y
B2: Định hướng cách giải: Sơ đồ :
2 2
1
2
1
2 2 1
2
2
2
x y
x y
xy
2
2
2
2
A
x y xy
x y xy
x y xy
x y
Dấu “=” xảy ra
2 2
2
1
2
1
x y xy
x y
x y
4
x
x
Bài 2. Cho
, 0
x y
:
2
x y
. Cmr
1 1
4
x y
x y
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai
- 18 -
Bài 3. Cho
, 0
x y
x y z t x y z t
. Cmr
1 1 1 1
2 3 50
x y z t
x y z t
Bài 6. Cho
1 2 3 1 2 3
, , , 0:
n n
x x x x x x x x
.
Cmr:
2 2
1 2 3
1 2 3
1 1 1 1
n
n
15
2
x y z y z z x x y
y z z x x y x y z
Bài 8. Cho số thực
2
x
. Cmr
2
1 9
4
x
x
Bài 9. Cho số thực
6
x
. Cmr
2
1 217
3 3
2 2 2 2
1 2 3
1 2 3
1 1 1 1
n
n
n
x x x x
x x x x n
với (
3
3
2
0
n
1
x y
. Cmr
2 2
1 1
4 7
xy
x y xy
Bài 14. Cho
, 0
x y
thỏa
1
x y
. Cmr
3 3 2 2
1 1 1
20
x y x y xy
Bài 15. Cho
, , 0: 1
7
2 2
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai
- 19 -
Bài 17. Cho x, y, z >0 x y z
2 2 2
1
. Cmr: P =
x y z
y z z x x y
2 2 2 2 2 2
3 3
2
Bài 18. Cho
, , .0
1 1 1
1
x y z
x y z
(
*
, ,
N
là hằng số )
Bài 20.
x y z
x y z
, , 0
3
. Cmr x y y z z x
3 3
3 3
2 2 2 3 3
.
Bài 21. Cho x y z x y z
3
, , 0:
4
.Cmr
x y y z z x
3
Bài 24. Cho
, 0
x y
. Tìm GTNN của
xy
x y
A
x y
xy
Bài 25. Cho
, 0
x y
:
1
x y
. Tìm GTNN của
1
A xy
xy
1 2 3
1 1 1 1
n
n
A x x x x
x x x x
với
2
2
0
n
(
, , 0
là hằng số cho trước,
*
n N
)
Bài 30. Cho số thực
2
x
. Tìm GTNN của
2
1
A x
x
Bài 31. Cho số thực
6
x
. Tìm GTNN của
2
1
A x
x
Bài 32. Cho
, , , 0: 1
x y z t x y z t
.
với
3
3
2
0
n
(
, , 0
là hằng số cho trước,
*
n N
)
Bài 34. Cho
, 0: 1
x y x y
. Tìm GTNN của
2 2
1 1
x y
. Tìm GTNN của
3 3 2 2
1 1 1
A
x y x y xy
Bài 37. Cho
, , 0: 1
x y z xyz
.Tìm GTLN của
3 3 3 3
3 3
1 1
1
x y y z
z x
P
xy yz zx
Bài 38. Cho x và y là hai số dương thoả mãn
x y
2
. Tìm GTLN của
1 1 1
2 2 2
P
x y z x y z x y z
Bài 41. Cho
, , 0
1 1 1
4
x y z
x y z
. Tìm GTLN của
1 1 1
P
2 2 2
Bài 43. Cho
x y z
, , 0
: x y z
3
4
.Tìm GTLN của
P x y y z z x
3
3 3
3 2 3IV. KẾT QUẢ
Khi áp dụng chuyên đề trên cho HS 10 thì tôi thấy HS rất thích thú, đồng thời
các em cũng đỡ lúng túng hơn khi gặp các dạng bài tập trên.
V. BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Nếu có thêm thời gian mở rộng thì tôi nghĩ rằng đề tài có thể trở nên có nhiều
tác dụng hỗ trợ thiết thực trong việc rèn luyện và phát triển tư duy góp phần giải
được khá nhiều dạng toán trong quá trình dạy học sinh nói chung và bồi dưỡng học
sinh khá, giỏi nói riêng.
VI. KẾT LUẬN
- Áp dụng kĩ thuật dự đoán dấu “=” xảy ra trong bất đẳng thức Cô-si là phương
Để hoàn tất được chuyên đề này. Tôi rất cảm ơn sự nhiệt tình giúp đỡ, tư
vấn của Cô Lê Thanh Hà tổ trưởng, Thầy Lê Văn Đắc Mai tổ phó cùng cô Bùi
Thanh Hà trong Tổ Toán Trường THPT Ngô Quyền để tôi hoàn thiện SKKN này.
NGƯỜI THỰC HIỆN ĐỖ TẤT THẮNG
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Copyright: Tài liệu đại học ©