18 câu h i áp v S h c & i sỏ đ ề ố ọ Đạ ố
Khi h c toán s c p (s h c & i s ) ch ng trình ph thông, h u h t các ọ ơ ấ ố ọ Đạ ố ở ươ ổ ầ ế
khái ni m, nh ngha… HS ph i công nh n m t cách “áp t”. Tài li u này giúpệ đị ĩ ả ậ ộ đặ ệ
b n hi u thêm v ý ngha, ngu n g c và nh ng lí gi i lí thú qua ng ng câu h i ạ ể ề ĩ ồ ố ữ ả ữ ỏ
và gi i thích n gi n, d hi u:ả đơ ả ễ ể
1. Hình h c ã c phát tri n hình th c tiên , còn S h c và i s thì không.ọ đ đượ ể ở ứ đề ố ọ Đạ ố
T i sao v y?ạ ậ
Nguyên nhân n m ngu n g c c a chúng.ằ ở ồ ố ủ
Hình h c ã c phát tri n b i ng i Ai C p, là k t qu o c t ai c a h . Vào thọ đ đượ ể ở ườ ậ ế ả đ đạ đấ đ ủ ọ ế
k th 7 tr c Công nguyên, hình h c ã lan truy n t Ai C p sang Hi L p, n i nó d nỉ ứ ướ ọ đ ề ừ ậ ạ ơ ầ
d n phát tri n thành m t lí thuy t toán h c.ầ ể ộ ế ọ
Nh v y, hình h c là m t lí thuy t toán h c có ngu n g c Hi L p. Ng i Hi L p ã g nư ậ ọ ộ ế ọ ồ ố ạ ườ ạ đ ắ
giá tr l n cho các ch ng minh và vì th ã phát tri n hình h c theo h n g tiên .ị ớ ứ ế đ ể ọ ướ đề
Toán h c c a nh ng con s c a chúng ta có ngu n g c c a nó thu c v toán h c c aọ ủ ữ ố ủ ồ ố ủ ộ ề ọ ủ
ng i Hindu, ng i Arab và ng i Babylon.ườ ườ ườ
H không quan tâm n vi c a ra các ch ng minh nên toán h c c a nh ng con s ãọ đế ệ đư ứ ọ ủ ữ ố đ
c truy n l i cho chúng ta n thu n d ng m t t p h p nh ng quy t c tính toánđượ ề ạ đơ ầ ở ạ ộ ậ ợ ữ ắ
không liên quan v i nhau m y.ớ ấ
Xu h n g hi n i là trình bày t t c các nghiên c u toán h c theo hình th c tiên .ướ ệ đạ ấ ả ứ ọ ứ đề
2. Ý ngha c a t “arithmetic” là gì?ĩ ủ ừ
T “arithmetic” (s tính/s h c) có ngha là “ngh thu t tính toán” nên bài h c tr n gừ ự ố ọ ĩ ệ ậ ọ ở ườ
ti u h c c a chúng ta là m t t p h p g m nh ng l i gi i c a nh ng bài toán a d ng vàể ọ ủ ộ ậ ợ ồ ữ ờ ả ủ ữ đ ạ
các quy t c tính toán.ắ
Nh ng theo th i gian arithmetic ã bi n thành lí thuy t c a nh ng con s .ư ờ đ ế ế ủ ữ ố
3. S h c là m t tr u t n g ph i không?ố ọ ộ ừ ượ ả
S h c th hi n nh ng n l c s m nh t c a trí tu con ng i i v i s tr u t n g.ố ọ ể ệ ữ ỗ ự ớ ấ ủ ệ ườ đố ớ ự ừ ượ
Khái niệm cơ bản của số học & Đại số
1
Nh v y, khi chúng ta nói, 2 + 3 = 5, ó là m t phát bi u không ph i nói v nh ng v t cư ậ đ ộ ể ả ề ữ ậ đặ
bi t nh cái bút chì hay ng xu, mà v t t c nh ng v t có th m c v n gi cệ ư đồ ề ấ ả ữ ậ ể đế đượ ẫ ữ đượ
nh n d ng riêng c a chúng.ậ ạ ủ

d ,ụ 2 là m t s vô t .√ ộ ố ỉ
S vô t và s h u t c g i chung là s th c.ố ỉ ố ữ ỉ đượ ọ ố ự
M t s ph c là m t con s b t kì có d ng a + bi, trong ó a và b là s th c, và i là kí hi u ộ ố ứ ộ ố ấ ạ đ ố ự ệ
cho c n b c hai c a tr m t, t c là iă ậ ủ ừ ộ ứ
2
= - 1.
6. Các s siêu vi t là gì?ố ệ
Nh ng s vô t không b ng c n b c hai c a b t kì ph ng trình i s nào c g i là sữ ố ỉ ằ ă ậ ủ ấ ươ đạ ố đượ ọ ố
siêu vi t.ệ
e và là nh ng s nh th .π ữ ố ư ế
e = 2,71828 ; = 3,14159 π
các d u ch m cu i có ngh a là chu i s không có k t thúc mà kéo dài n vô t n.ấ ấ ở ố ĩ ỗ ố ế đế ậ
V các s siêu vi t, có m t k t qu thú v do Gelfond ch ng minh vào n m 1934 là ề ố ệ ộ ế ả ị ứ ă α
β
là
siêu vi t n uệ ế α là i l ng i s khác 0 và khác 1, vàđạ ượ đạ ố là i l ng i s và không β đạ ượ đạ ố
ph i s h u t .ả ố ữ ỉ
Nh v y, 2ư ậ
3√
, 3
2√
, 5
3√
là nh ng s siêu vi t. Nh ng n uữ ố ệ ư ế α và β u là siêu vi t thì không đề ệ
bi tế α
β
có siêu vi t hay không. Ví d , ng i ta không rõ eệ ụ ườ
e
, π
π

i s có c ph n l n s c m nh c a nó t vi c x lí b ng kí hi u v i các ph n t , các Đạ ố đượ ầ ớ ứ ạ ủ ừ ệ ử ằ ệ ớ ầ ử
toán t và các liên h .ử ệ
Các kí hi u x, y, z, c dùng làm các ph n t , phép c ng và phép nhân ch y u c ệ đượ ầ ử ộ ủ ế đượ
dùng làm toán t , và d u b ng là liên h bình th ng k t n i các ph n t .ử ấ ằ ệ ườ ế ố ầ ử
Nh v y x + x = 2x, và x + y = y + xư ậ
cho dù x và y bi u di n con s nào.ể ễ ố
9. i s có c khái quát hóa không?Đạ ố đượ
Kí hi u x, dùng bi u di n con s b t kì, có ti m n ng gi nh l n. Tr c tiên, nó mangệ để ể ễ ố ấ ề ă ả đị ớ ướ
n các ph ng trình i s , cái th ng l nh a h t nghiên c u lâu n m c trong kho ng đế ươ đạ ố ố ĩ đị ạ ứ đế ứ ả
m t th k r i, i s ch là lí thuy t c a các ph ng trình.ộ ế ỉ ưỡ đạ ố ỉ ế ủ ươ
Sau này x không ch h n ch là nh ng con s mà nó còn c s d ng bi u di n b t ỉ ạ ế ữ ố đượ ử ụ để ể ễ ấ
kì th c th nào khác, và các d u toán t cho phép c ng và phép nhân ã c phép ự ể ấ ử ộ đ đượ
mang l i nh ng ý ngh a m i tùy thu c vào lo i th c th ang c xét n.ạ ữ ĩ ớ ộ ạ ự ể đ đượ đế
Vì th , th c th xác nh ý ngh a g n li n v i d u + và ×.ế ự ể đị ĩ ắ ề ớ ấ
Các vector và ma tr n là hai ví d quen thu c c a nh ng th c th nh th . Chúng s ậ ụ ộ ủ ữ ự ể ư ế ẽ
c nói t i ph n sau.đượ ớ ở ầ
ây là hình nh khái quát hóa c a cái i s ban u i di n.Đ ả ủ đạ ố đầ đạ ệ
10. Nó khác nh th nào v i hình th c ban u c a i s ?ư ế ớ ứ đầ ủ đạ ố
Trong đại số sơ cấp, các chữ cái kí hiệu cho những con số bình thường, và các dấu
toán tử, ví dụ + và ×, kí hiệu cho phép cộng và phép nhân bình thường. Nhưng ở hình
Khái niệm cơ bản của số học & Đại số
4
thức khái quát hóa, các chữ cái kí hiệu cho thực thể bất kì nào đó, và dấu của toán tử
là bất kì quy tắc kết hợp nào có liên quan đến thực thể.
11. i s tr u t ng là gì? Có ph i nó là m t s khái quát hóa h n n a?Đạ ố ừ ượ ả ộ ự ơ ữ
Trong i s tr u t ng, ngay c nh ng th c th này c ng m t h t ý ngh a c a chúng v đạ ố ừ ượ ả ữ ự ể ũ ấ ế ĩ ủ ề
ph ng di n l n và ng i ta nói t i nh ng “ph n t ” khái quát h n trên ó nh ng ươ ệ độ ớ ườ ớ ữ ầ ử ơ đ ữ
toán t t ng t các toán t i s có th c th c hi n.ử ươ ự ử đạ ố ể đượ ự ệ
M t ví d c a nh ng ph n t nh th là hai chuy n ng tác d ng liên ti p nhau h p l i ộ ụ ủ ữ ầ ử ư ế ể độ ụ ế ợ ạ
s t ng ng v i m t chuy n ng.ẽ ươ đươ ớ ộ ể độ

2
s ẽ
t ng ng v i m t phép t nh ti n Tươ đươ ớ ộ ị ế
3
.
Do ó, n u v i m t t p h p nh t nh c a các “v t”, kí hi u b ng nh ng ch cái, nh ng đ ế ớ ộ ậ ợ ấ đị ủ ậ ệ ằ ữ ữ ữ
toán t nh t nh có th c nh ngh a theo nh ng quy t c nh t nh, thì ng i ta nói ử ấ đị ể đượ đị ĩ ữ ắ ấ đị ườ
m t h th ng i s ã c nh ngh a. Vì th , i s h c c nh n d ng là vi c ộ ệ ố đạ ố đ đượ đị ĩ ế đạ ố ọ đượ ậ ạ ệ
nghiên c u nh ng h th ng i s a d ng, và khi ó nó c g i là i s tr u t ng ứ ữ ệ ố đạ ố đ ạ đ đượ ọ đạ ố ừ ượ
hay i s tiên .đạ ố đề
12. Vì sao nó c g i là i s tr u t ng hay i s tiên ?đượ ọ đạ ố ừ ượ đạ ố đề
Nó là tr u t ng b i vì chúng ta không quan tâm các ch cái trong h th ng i s ó kí ừ ượ ở ữ ệ ố đạ ố đ
hi u cho cái gì. Cái quan tr ng là các tiên hay các quy t c ph i c th a mãn b i cácệ ọ đề ắ ả đượ ỏ ở
toán t . Và nó có tính tiên b i vì nó c xây d ng n thu n t các quy t c hay các ử đề ở đượ ự đơ ầ ừ ắ
tiên c phát bi u lúc ban u.đề đượ ể đầ
Hai h th ng i s nh th c g i là nhóm và vành.ệ ố đạ ố ư ế đượ ọ
Tên g i tho t nghe có chút l l m, nh ng hi u qua chút ít s làm d u i ph n ng ban uọ ạ ạ ẫ ư ể ẽ ị đ ả ứ đầ
ó. Chúng ta s tr l i v i chúng ph n sau.đ ẽ ở ạ ớ ở ầ
13. Nh ng l nh v c nghiên c u nào s d ng i s tiên ?ữ ĩ ự ứ ử ụ đạ ố đề
Khái niệm cơ bản của số học & Đại số
5
Topo h c, gi i tích hàm, c h c l ng t và v t lí ng i là m t vài cái tên thu c m t ọ ả ơ ọ ượ ử ậ đươ đạ ộ ộ ộ
vài l nh v c quan tr ng, trong ó i s tiên t ra là công c kh o sát có s c m nh ĩ ự ọ đ đạ ố đề ỏ ụ ả ứ ạ
nh t.ấ
14. S h c là lí thuy t c a nh ng con s ! Lí thuy t c a nh ng con s nghiên c u ố ọ ế ủ ữ ố ế ủ ữ ố ứ
cái gì?
Lí thuy t s c p c a nh ng con s nghiên c u cái sau ây:ế ơ ấ ủ ữ ố ứ đ
Các h p s và các quy t c chia h t, s nguyên t và s xu t hi n c a chúng, nh lí c ợ ố ắ ế ố ố ự ấ ệ ủ đị ơ
b n c a s h c, nh lí Fermat, nh lí Wilson, nh lí cu i cùng c a Fermat.ả ủ ố ọ đị đị đị ố ủ
Các s Pythagoras,ố

ây 2 + 3 + 1 = 6, t ng chia h t cho 3, vì th 231 chia h t cho 3.Ở đ ổ ế ế ế
Ta d dàng th y c nguyên nhân nh sau:ễ ấ đượ ư
231 = 2 × 100 + 3 × 10 + 1
= 2 × (99 + 1) + 3 × (9 + 1) + 1
= 2 × 99 + 2 × 1 + 3 × 9 + 3 × 1 + 1
= 2 × 99 + 2 + 3 × 9 + 3 + 1
= (2 × 99 + 3 × 9) + (2 + 3 + 1)
= (m t b i c a 9) + (t ng các ch s ).ộ ộ ủ ổ ữ ố
Do ó, m t con s là chia h t cho 3, n u t ng các ch s c a nó là chia h t cho 3.đ ộ ố ế ế ổ ữ ố ủ ế
7. M t s là chia h t cho 9, n u t ng các ch s trong s ó chia h t cho 9, nh ộ ố ế ế ổ ữ ố ố đ ế ư
trong 477.
ây, 4 + 7 + 7 = 18, t ng chia h t cho 9, nên 477 chia h t cho 9.Ở đ ổ ế ế
Lí do trong tr ng h p này c ng t ng t nh v i tr ng h p chia h t cho 3.ườ ợ ũ ươ ự ư ớ ườ ợ ế
8. M t s là chia h t cho 11 n u hi u gi a t ng c a các ch s th t l và t ng các ộ ố ế ế ệ ữ ổ ủ ữ ố ứ ự ẻ ổ
ch s th t ch n b ng 0 ho c b ng b i c a 11.ữ ố ứ ự ẵ ằ ặ ằ ộ ủ
Xét con s 1 8 3 9 5 5 2.ố
T ng các ch s th t l là 1 + 3 + 5 + 2 = 11,ổ ữ ố ứ ự ẻ
Khái niệm cơ bản của số học & Đại số
7
T ng các ch s th t ch n là 8 + 9 + 5 = 22,ổ ữ ố ứ ự ẵ
Hi u b ng 22 – 11 = 11, chia h t cho 11,ệ ằ ế
nên 1 8 3 9 5 5 2 chia h t cho 11.ế
18. Còn nh ng quy t c nào khác n a không?ữ ắ ữ
Vâng, có nh ng quy t c h p d n nh sau:ữ ắ ấ ẫ ư
1. Tích c a hai s b ng tích c a c chung l n nh t c a chúng và b i chung nh ủ ố ằ ủ ướ ớ ấ ủ ộ ỏ
nh t c a chúng.ấ ủ
Nh chúng t ng ng là 6 và 36, và 12 × 18 = 6 × 36 = 216.ư ươ ứ
2. Tích c a hai s nguyên liên ti p là chia h t cho 2, t c là n(n + 1) là chia h t cho 2, ủ ố ế ế ứ ế
trong ó n là s nguyên b t kì.đ ố ấ
3. Tích c a ba s v y, n u hai s là 12 và 18, thì c chung l n nh t và b i chung ủ ố ậ ế ố ướ ớ ấ ộ