Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 1 Thục Đoan/Hào Thi
CHƯƠNG 9

Tương Quan Chuỗi

Phương pháp bình phương tối thiểu đã chứng tỏ mang lại các ước lượng về thông số có một vài
tính chất mong muốn, với điều kiện các số hạng sai số (u
t
) thỏa mãn một số giả thiết. Đặc biệt,
các ước lượng có tính không thiên lệch, nhất quán, và hiệu quả nhất. Khi một nhà nghiên cứu xử
lý dữ liệu dạng chuỗi thời gian, một số vấn đề đặc biệt phát sinh thường dẫn đến kết quả là vi
phạm vài giả thiết cần để phát ra những tính chất tốt đã liệt kê. Trong chương này, chúng ta sẽ
khảo sát một dạng vi phạm các giả thiết cơ bản về các số hạng nhiễu. Thứ nhất ta xem xét
những ẩn ý của việc bỏ qua sự vi phạm này và dùng thủ tục bình phương tối thiểu thường (OLS).
Ta có thể kỳ vọng rằng, như trong trường hợp phương sai của sai số thay đổi, vài tính chất có
thể không còn giữ được nữa. Thứ hai, ta kiểm đònh sự có mặt của sự vi phạm này, và cuối cùng
thảo luận các phương pháp có thể lựa chọn cho các vấn đề.
Giả thiết 3.6 trong Chương 3 phát biểu rằng các số hạng sai số u
t
và u
s
, cho các quan sát

t-1,2
, X
t-2,2
, . . Điều này sẽ biến thành sự tương quan rõ ràng giữa u
t

và u
t-1
, u
t-2
, . . ., do đó vi phạm giả thiết độc lập chuỗi. Vậy, các chiều hướng trong các biến bò
loại bỏ có thể tạo sự tự tương quan trong các sai số.
Tương quan chuỗi cũng có thể được gây nên bởi đặc trưng sai về dạng hàm số. Ví dụ, giả
sử mối quan hệ giữa Y và X là bậc hai nhưng ta giả thiết là đường thẳng. Vậy số hạng sai số u
t

sẽ phụ thuộc vào X
2
. Nếu X tăng hoặc giảm theo thời gian, u
t
cũng sẽ biểu hiện chiều hướng như
vậy, cho thấy sự tự tương quan.
Sai số có hệ thống trong đo lường cũng gây nên sự tự tương quan. Ví dụ, giả sử một công
ty đang cập nhật số liệu hàng hóa tồn kho trong một thời đoạn cho trước. Nếu có một sai sót có
tính hệ thống xảy ra trong cách đo lường, dự trữ tồn kho tích lũy sẽ phản ánh các sai số đo
lường tích lũy. Các sai số này sẽ cho thấy như là sự tương quan chuỗi.
Một ví dụ của tương quan chuỗi, xét sự tiêu thụ điện theo các giờ khác nhau trong ngày.
Bởi vì dạng thay đổi nhiệt độ là tương tự giữa các thời đoạn liên tiếp, ta có thể kỳ vọng dạng
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

t
theo thời gian t, Hình 9.2 minh họa biểu đồ số dư này cho trường hợp
dân số nông trại. Ta quan sát thấy một xu hướng rõ ràng các phần dư liên tiếp tụ tập về một
phía của đường thẳng số không hoặc phía kia. Đây là một dấu hiệu theo dạng đồ thò cho thấy
sự có mặt của tự tương quan. Nếu u
t
là độc lập, sự tụ họp này có thể sẽ không xảy ra. } Hình 9.1 Minh Họa của Tự Tương Quan

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
18
16
14
Từ sự thảo luận và các ví dụ này rõ ràng sự tự tương quan thực sự vi phạm Giả thiết 3.6.
Bây giờ ta tiếp tục thảo luận các hệ quả khi bỏ qua sự tự tương quan, trình bày các kiểm đònh
thích hợp để nhận dạng sự có mặt của tương quan chuỗi, và cuối cùng thảo luận các phương
pháp ước lượng có thể chọn lựa.

} 9.1 Tương Quan Chuỗi Bậc Nhất

Đầu tiên, ta xét trường hợp đặc biệt nhất của tương quan chuỗi gọi là tương quan chuỗi bậc
nhất. Mặc dù ta dùng mô hình hồi qui tuyến tính đơn để khảo sát các vấn đề, tất cả kết quả
cũng khái quát hóa cho trường hợp hồi qui bội. Nếu tương quan chuỗi tồn tại, thì Cov(u
t
, u
s
) ≠
0 với t ≠ s, nghóa là, sai số cho thời đoạn t là tương quan với sai số cho thời đoạn s. Giả thiết
của tự tương quan bậc nhất được phát biểu chính thức như sau:

GIẢ THIẾT 9.1

Y
t
= α + βX
t
+ u
t

Ramu Ramanathan 4 Thục Đoan/Hào Thi
trình tự hồi qui bậc cao hơn. Các sai số mới ε
t
được giả thiết để thỏa mãn các điều kiện sau
đây:

GIẢ THIẾT 9.2

Các sai số ε
t
tuân theo phân phối một cách độc lập và đồng nhất với trò trung bình là 0 và
phương sai không đổi sao cho E(ε
t
) = 0, E(ε
2
t
) = σ
2
ε
< ∞, và E(ε
t
ε
t-s
) = 0 với s ≠ 0.

Vậy các số hạng sai số mới được giả thiết để có cùng tính chất với các tính chất mà thủ
tục OLS giả thiết u
t
phải có. Trong tài liệu chuỗi thời gian, một chuỗi tuân theo Giả thiết 9.2
được gọi là chuỗi có tính nhiễu trắng với trò trung bình là 0. Bởi vì u

} 9.2 Các Hệ Quả khi Bỏ Qua Tương Quan Chuỗi

Trong Chương 3 ta đã chứng minh rằng theo Giả thiết 3.3 và 3.4, (nghóa là u
t
có trò trung bình
là 0 và không tương quan với X
t
), các ước lượng OLS là không thiên lệch và nhất quán. Vì sự
chứng minh các tính chất này không phụ thuộc vào Giả thiết 3.6, giả thiết bò vi phạm bởi sự có
mặt của tự tương quan, các ước lượng OLS (và các dự báo dựa trên chúng) là không thiên lệch
và nhất quán ngay cả khi các số hạng sai số tương quan theo chuỗi. Vấn đề là sự hiệu quả của
các ước lượng. Trong chứng minh đònh lý Gauss-Markov đã thiết lập sự hiệu quả (Phần 3.A.4),
một trong các bước liên quan việc cực tiểu phương sai của tổ hợp tuyến tính ∑a
t
u
t
: (
)
∑
∑
∑∑
≠
+σ=
st
stst
22
ttt

Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 5 Thục Đoan/Hào Thi
Ta có thể cho thấy rằng nếu tương quan chuỗi trong u
t
là dương và biến độc lập X
t
tăng
lên theo thời gian (trường hợp thường thấy), thì phương sai phần dư ước lượng (
2
ˆ
σ
) sẽ là một
ước lượng quá thấp và giá trò của R
2
sẽ là một ước lượng quá cao. Nói cách khác, độ thích hợp
sẽ bò phóng đại và các sai số chuẩn ước lượng sẽ nhỏ hơn các sai số chuẩn thực sự. Các điểm
này được minh họa trong Hình 9.3, một biểu đồ phân tán tiêu biểu, với sự trợ giúp của mô hình
hồi qui đơn. Đường đậm là đường hồi qui “thực” α+βX. Giả sử có tự tương quan dương; nghóa
là, đồng phương sai giữa hai số hạng nhiễu ngẫu nhiên liên tiếp là dương. Giả sử thêm rằng
điểm phân tán đầu tiên (X
1
, Y
1
) nằm phía trên đường hồi qui thực. Điều này nghóa là u
1
sẽ
dương. Bởi vì u
2
và u

Bởi vì thủ tục bình phương tối thiểu làm cực tiểu tổng bình phương các độ lệch, đường
“thích hợp” sẽ trông như đường đứt nét. Phương sai thực của các sai số được xác đònh bởi độ
lệch của (X
t
, Y
t
) so với đường hồi qui thực, rõ ràng sẽ lớn hơn phương sai phần dư ước lượng,
được tính từ các độ lệch xung quanh đường thích hợp. Do đó, tổng bình phương sai số tính toán
(ESS) sẽ nhỏ hơn giá trò thực, và R
2
sẽ lớn hơn giá trò thực.
Trong trường hợp tổng quát, các phương sai của các hệ số hồi qui sẽ bò thiên lệch. Để
biết thêm phân tích chi tiết bản chất của thiên lệch, bạn đọc có quan tâm nên tham khảo Phần
8.3 sách của Kmenta (1986).

Đường “thực”
(“true” line)
Đường “thích hợp”
(“fitted” line)
Y
X
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi


t
là ngẫu nhiên, nó không thể dự
đoán; và do vậy ta đặt nó bằng với giá trò trung bình của nó, bằng không. Tuy nhiên, trong
trường hợp của tương quan chuỗi bậc nhất, u
t
có thể dự đoán từ Phương trình (9.2), với điều
kiện ρ có thể ước lượng được (gọi là
ρ
ˆ
). Ta có
1tt
u
ˆ
ˆ
u
ˆ
−
ρ
=
. Tại thời điểm t, phần dư cho thời
đoạn trước (
1t
u
ˆ
−
) là biết. Do đó, dự đoán AR(1) sẽ là

)X
ˆ
ˆ

lượng ρ được mô tả trong Phần 9.3.
Các kết quả thu được trong phần này được tóm tắt trong Tính chất 9.1. Tính chất 9.1

Nếu tương quan chuỗi giữa các số hạng nhiễu ngẫu nhiên trong mô hình hồi qui bò bỏ qua và
thủ tục OLS được dùng để ước lượng các thông số, thì sẽ có các tính chất sau:

a. Các ước lượng và các dự báo dựa trên chúng sẽ vẫn không thiên lệch và nhất quán. Tuy
nhiên tính chất nhất quán sẽ không còn nếu các biến phụ thuộc có hiệu ứng trễ được gộp
vào xem như các biến giải thích.
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 7 Thục Đoan/Hào Thi
b. Các ước lượng OLS không còn BLUE nữa và sẽ không hiệu quả. Các dự báo cũng sẽ
không hiệu quả.
c. Các phương sai ước lượng của các hệ số hồi qui sẽ thiên lệch và không nhất quán, và do đó
các kiểm đònh các giả thuyết sẽ không còn hợp lệ. Nếu tương quan chuỗi là dương và biến
độc lập X
t
tăng lên theo thời gian, thì các sai số chuẩn sẽ là các ước lượng quá thấp của các
giá trò thực. Điều này có nghóa rằng R

3
X
t3
+ . . . + β
k
X
tk
+ u
t
(9.5)
u
t
= ρu
t-1
+ ε
t
-1 < ρ < 1

Bước 1 Ước lượng mô hình bởi bình phương tối thiểu thông thường và tính toán các
phần dư
t
u
ˆ
là
tkktttt
XXXXY
βββββ

ˆ
−−−−−−

(9.6)

sau này sẽ cho thấy có giá trò trong khoảng từ 0 đến 4. Phân phối chính xác của
d phụ thuộc vào các quan sát trên các biến X. Durbin và Watson đã cho thấy
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 8 Thục Đoan/Hào Thi
rằng phân phối của d bò giới hạn bởi 2 phân phối. Các phân phối này được dùng
để xây dựng các vùng giới hạn cho kiểm đònh Durbin-Watson.
Bước 3a Để kiểm đònh H
0
: ρ = 0 đối lại ρ > 0 (kiểm đònh một phía), tìm trong Bảng A.5,
Phụ lục A, các giá trò tới hạn cho thống kê Durbin-Watson, và viết các số d
L
và
d
U
. Lưu ý rằng bảng này cho giá trò k
’
, là số các hệ số hồi qui được ước lượng,
ngoại trừ số hạng hằng số. Bác bỏ H
0
nếu d ≤ d

Savin và White (1977) mở rộng kết quả này cho trường hợp của nhiều biến giải thích. Khi
kiểm đònh là chưa thể kết luận, ta có thể thử dùng kiểm đònh nhân tử Lagrande được mô tả tiếp
sau. Các dạng hàm hoặc các thủ tục ước lượng khác có thể được chọn lựa để thử. Vài chương
trình như SHAZAM có tính đến giá trò p có lưu ý đến điều thực tế là phân phối của d phụ thuộc
vào các giá trò của các biến giải thích.
Từ các phần dư ước lượng ta có thể thu được một ước lượng của các hệ số tương quan
chuỗi bậc nhất là ∑
∑
=
=
=
=
−
=ρ
nt
1t
2
t
nt
2t
1tt
u
ˆ
u
ˆ
u
ˆ


Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 9 Thục Đoan/Hào Thi
với –1. Các trạng thái khác nhau có thể có được mô tả trong biểu đồ sau. Giả thuyết không là
H
0
: ρ = 0.

Kiểm đònh DW là không hợp lệ nếu vài biến X là hiệu ứng trễ của biến phụ thuộc –
nghóa là, nếu chúng có dạng Y
t-1
, Y
t-2
, . . . . Các bài toán phát sinh bởi các biến có hiệu ứng trễ
được khảo sát trong Chương 10.


người sử dụng. Giá trò p là 0,017, là giá trò thấp, và vì vậy ta bác bỏ H
0
: ρ = 0 và kết luận rằng
có tự tương quan ý nghóa.
K l

Bác bỏ ρ = 0 Chấp nhận ρ = 0 Bác bỏ ρ = 0
Chưa thể
kết luận
Chưa thể
kết luận
Tự tương quan dương Tự tương quan âm
H
1
: ρ > 0
H
1
: ρ < 0
0 d
L
d
U
2 4
–
d
U
4
–
d
L

trường hợp nào trong các trường hợp này xảy ra, một lựa chọn khác là kiểm đònh LM được bàn
luận tiếp theo đây, không bò các hạn chế này (tuy nhiên, chắc chắn phải có ít nhất 30 bậc tự
do, bởi vì kiểm đònh LM là kiểm đònh mẫu lớn).

Kiểm Đònh Nhân Tử Lagrange

Kiểm đònh LM mô tả trong Chương 6 hữu dụng trong việc nhận dạng tương quan chuỗi không
chỉ với bậc nhất mà cũng cho cả các bậc cao hơn, nhưng ở đây ta tự hạn chế cho trường hợp
bậc nhất. Trường hợp tổng quát được xét đến trong Phần 9.5.

Để bắt đầu kiểm đònh này, lưu ý rằng Phương trình (9.5) có thể được viết lại là

Y
t
= β
1
+ β
2
X
t2
+ . . . + β
k
X
tk
+ ρu
t-1
+ ε
t
2
từ hồi qui phụ này. n – 1 được dùng bởi vì số quan sát hiệu
quả là n – 1.
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 11 Thục Đoan/Hào Thi
Bước 3 Bác bỏ giả thuyết không của tự tương quan có giá trò bằng không và củng cố giả
thuyết ρ ≠ 0 nếu (n – 1)R
2
>
2
1
χ (α), giá trò
2
1
χ trong phân phối chi-square với 1
bậc tự do sao cho diện tích vùng bên phải của nó là α. Một cách khác, tính toán
giá trò p = Prob(
2
1
χ > LM), vùng bên phải của LM trong phân phối
2
1

u
ˆ
= 113,628 – 4,675 CIG – 1,579 EDFAT + 0,361 SPIRITS
(1,4) (–1,1) (–1,6) (0,1)

+ 0,207 BEER + 0,259
1t
u
ˆ
−

(0,3) (1,4)

R
2
= 0,137 n = 34 (n-1)R
2
= 4,521

Giá trò chi-square tới hạn là
2
1
χ (0,05) = 3,841, nhỏ hơn (n-1)R
2
. Cũng vậy, giá trò p cho 4,521
là 0,033. Vậy kiểm đònh LM bác bỏ giả thuyết không của tự tương quan có giá trò bằng không,
trong khi kiểm đònh DW cho kết quả không thể kết luận.
K l

} BÀI TOÁN THỰC HÀNH 9.2


} VÍ DỤ 9.5
Sử dụng dữ liệu trong bảng DATA6.6, chúng ta nhận thấy rằng đồ thò biểu diễn số phần trăm
trên tổng số dân số của Mỹ sống nhờ vào ngành nông nghiệp có xu hướng đi xuống và không
tuyến tính từ 1947 đến 1991. Nếu chúng ta làm thích hợp bằng một đường xu hướng tuyến tính
theo thời gian cho tập dữ liệu này, chúng ta có thể kỳ vọng rằng một nhóm các điểm phần dư
nằm liên tiếp nhau biểu hiện mối tương quan chuỗi (xem hình 9.2). Các giá trò ước lượng trên
đường xu hướng tuyến tính được cho như sau (xem Phần Thực Hành Máy Tính 9.4 để biết cách
tính ra các kết quả này):

farmpop
t
= 13,777 – 0,325t d = 0,056
(31,55) (- 19,2)

2
R
= 0,895

Những giá trò trong ngoặc đơn là các trò thống kê t. Lưu ý rằng trò thống kê Durbin –
Watson (DW) rất gần bằng zero, cho thấy mối tương quan chuỗi rất mạnh. Vì lý do này mà trò
thống kê t và đại lượng thích hợp bò làm tăng quá mức. Từ hình 9.1, người ta nhận thấy rằng sẽ
thích hợp hơn nếu xem đây mối quan hệ phi tuyến tính. Đường xu hướng theo thời gian được
thích hợp bằng hàm bậc hai và kết quả được tính ra như sau:

farmpop
t
= 17,026 – 0,749t + 0,00942t
2
d = 0,601

tăng trưởng theo hàm mũ với Y
t
= Y
0
e
gt
(g
là tỷ lệ tăng trưởng, có thể có dấu âm, biểu thò hàm Y có khuynh hướng suy giảm theo dạng
mũ). Lấy logarit hai vế, chúng ta có

ln(Y
t
) = ln(Y
0
) + gt theo biến thời gian t
ln(Y
t -1
) = ln(Y
0
) + g(t –1) theo biến thời gian (t – 1)
Lấy phương trình thứ nhất trừ đi phương trình thứ hai, ta có

g = ln(Y
t
) – ln(Y
t -1
)
Vì vậy, hiệu số giữa các giá trò logarit trên là tỷ lệ tăng trưởng. Giá trò qua hệ ước lượng đối
với dân số nông nghiệp là (xem bảng 9.2)


0
+ β
1
y
t –1
+ β
2
x
t
+ β
3
x
t –1
+ ε
t
β
1
 < 1 (9.8)

Số hạng sai số
ε
t
được giả đònh có giá trò trung bình bằng zero, giá trò phương sai không đổi, và
có tính chất độc lập chuỗi. Phương trình (9.1) có dạng như sau

Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc


y
t
= α(1 – ρ) + ρy
t – 1
+ βx
t
– βρx
t – 1
+ ε
t
(9.1a)

So sánh giữa phương trình (9.8) và (9.1a), chúng ta thấy rằng

β
0
= α(1 – ρ), β
1
= ρ, β
2
= β, và β
3
= – ρβ

Có thể nhận thấy rằng các tham số thoả mãn giới hạn phi tuyến tính β
3
+ β
1
β

= y
t
– y
t –1
và ∆x
t
= x
t
– x
t –1
. Tuy nhiên, giải pháp sử
dụng sai phân bậc nhất này không phải lúc nào cũng thích hợp. Để hiểu rõ hơn, hãy lưu ý đến
mô hình sai phân bậc nhất có thể được viết lại như sau:

y
t
= y
t –1
+ β
0
+ βx
t
– βx
t –1
+ ε
tChương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

chúng.

Thủ Tục Tính lặp Cochrane – Orcutt
Thủ tục Tính lặp Cochrane – Orcutt (CORC) (tác giả Cochrane và Orcutt, 1949) yêu cầu có sự
biến đổi mô hình hồi quy (9.5) thành dạng mô hình có thể áp dụng bằng thủ tục OLS. Phương
trình (9.5) được viết lại theo thời đoạn t –1, chúng ta có

Y
t –1
= β
1
+ β
2
X
(t –1)2
+ β
3
X
(t –1)3
+ … + β
k
X
(t –1)k
+ u
t –1
(9.5’)

Lấy (9.5) trừ đi (9.5’) sau khi đã nhân từng số hạng của (9.5’) với ρ, chúng ta có

Y

= ρu
t –1
+ ε
t
, phương trình trên có thể viết lại như sau:

t
*
tkk
*
3t3
*
2t2
*
1
*
t
X XXY ε+β++β+β+β= (9.9)

Trong đó

*
t
Y
= Y
t
– ρY
t –1
,
*

1
β chỉ là số hạng hằng số mới. Lưu ý rằng số hạng sai
số trong phương trình (9.9) thoả mãn mọi tính chất cần thiết để có thể áp dụng được thủ tục
bình phương tối thiểu. Nếu biết được giá trò của ρ, chúng ta có thể áp dụng phương pháp OLS
cho phương trình (9.9) và giá trò ước lượng nhận được là BLUE. Tuy nhiên, giá trò ρ chưa biết
nên chúng ta cần phải ước lượng chúng từ mẫu quan sát. Các bước tiến hành thủ tục Cochrane
– Orcutt được trình bày như sau:

Bước 1 Ước lượng phương trình (9.5) bằng phương pháp OLS và tính toán phần dư của nó
t
u
ˆ
.
Bước 2 Ước lượng hệ số tương quan chuỗi bậc nhất (còn gọi là
ρ
ˆ
) từ phương trình (9.7).
Bước 3 Biến đổi các biến như sau:

*
t
Y = Y
t
–ρ
ˆ
Y
t –1
,
*
2t

Bước 6 Thủ tục tính lặp trên đây có thể dừng lại khi hiệu số giá trò ước lượng của ρ từ hai kết
quả liên tiếp tính được không lớn hơn giá trò chọn trước nào đó, như 0,001 chẳng hạn.
Giá trò ρ
ˆ
cuối cùng này sẽ được dùng để tính giá trò ước lượng CORC từ phương trình
(9.9).

Vì số hạng hằng số cũng được nhân với 1 –
ρ
ˆ
nên giá trò
1
ˆ
β
nhận được sẽ bằng
*
1
ˆ
β
/ (1
– ρ
ˆ
), với
*
1
ˆ
β
là số hạng hằng số ước lượng trong phương trình biến đổi (9.9).

Hầu hết những chương trình hồi quy tiêu chuẩn thực hiện tất cả các bước thủ tục trên bằng các

ˆ
vì ngầm đònh dưới mô hình này là quá trình
tự hồi quy bậc nhất AR(1) theo ε
t
.
Thủ tục Cochrange – Orcutt có thể được chứng minh hội tụ về giá trò ước lượng thích
hợp cực đại. Sự hội tụ này này có tính chất nhất quán và tiến đến tiệm cận. Thủ tục tính lặp
thường hội tụ nhanh và không cần lặp lại nhiều hơn ba đến sáu lần. Nên lưu ý rằng số lần quan
sát dùng để ước lượng trong phương trình (9.9) chỉ là n –1 vì chúng ta bỏ qua lần quan sát đầu
tiên. Với k thông số thì bậc tự do là n – k – 1. Kiểm đònh giả thuyết có thể được thực hiện theo
cách thông thường. Có thể sử dụng kết quả cho lần quan sát đầu tiên bằng phép biến đổi sau
đây đối với t =1 (các điều chỉnh trong bước này được trình bày trong phần phụ lục 9.A):

*
1
Y = Y
t
(1 – ρ
2
)
1/2
và
*
i1
X = X
1i
(1 – ρ
2
)
1/2

có thể kết luận rằng các phần dư ε không có tương quan chuỗi. Thủ Tục Tìm Kiếm Hildreth – Lu
Một giải pháp thường được dùng để thay thế thủ tục Cochrange – Orcutt là
thủ tục tìm kiếm
Hildrth – Lu (HILU)
(của tác giả Hildreth – Lu, 1960). Thủ tục này bao gồm các bước sau:

Bước 1 Chọn một giá trò ρ (gọi là ρ
1
). Sử dụng giá trò này, biến đổi các biến và ước lượng
phương trình (9.9) bằng thủ tục OLS.
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 18 Thục Đoan/Hào Thi
Bước 2 Từ các giá trò ước lượng này, tính
t
ˆ
ε
từ phương trình (9.9) và tính ra giá trò tổng bình
phương sai số tương ứng. Gọi giá trò này là ESS(ρ
1

lặp để có thể tiến tới hội tụ. Giá trò
ρ
ˆ
sau cùng là 0,40083, và giá trò ước lượng bằng thủ tục
CORC và trò thống kê t được tính toán như sau (xem phần thực hành máy tính 9.6 để thực tập
tính toán lại):

DEMAND = 0,157 – 0,892 PRICE + 0,0032 INCOME + 0,00356 TEMP

(0,5) (–1,1) (2,07) (6,42)

Những giá trò ước lượng này khá gần với trò ước lượng theo thủ tục HILU. Trò thống kê DW
cho phương trình (9.9) là 1,55. Với n = 29 và k’ = 3, ta có d
L
= 1,198 và d
U
= 1,65. Có thể
chứng minh rằng kiểm đònh DW đã không bác bỏ giả thuyết không về tương quan chuỗi có giá
trò bằng không của các phần dư trong phương trình (9.9). Đặc biệt, kiểm đònh này vẫn chưa thể
kết luận được.
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 19 Thục Đoan/Hào Thi

– .4 .01895 – .6270 .00395 .00359 .042810
– .5 .01695 – .6060 .00392 .00357 .047585
– .6 .01580 – .5872 .00388 .00355 .052933
– .7 .01538 – .5707 .00384 .00354 .058846
– .8 .01544 – .5560 .00380 00352 .065324
– .9 .01587 – .5432 .00376 .00350 .072361
– 1.0 .01651 – .5315 .00372 .00349 .079958

Nguồn: Hildreth và Lu (1960), Bảng 19, 36. Tái xuất bản dưới sự cho phép của Michigan State
University

Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 20 Thục Đoan/Hào Thi
So Sánh Hai Thủ Tục
Một cách căn bản, thủ tục HILU sẽ tìm kiếm các giá trò ρ nằm trong khoảng -1 và +1 mà khiến
cho giá trò tổng bình phương phần dư của phương trình (9.9) đạt cực tiểu. Nếu khoảng cách
giữa các bước nhảy là nhỏ thì thủ tục phải thực hiện rất nhiều số lần hồi quy; vì thế khi so sánh
với thủ tục CORC, phương pháp HILU đòi hỏi sự hỗ trợ tính toán của máy tính rất lớn. Ngược
lại, thủ tục CORC lặp lại nhiều lần để giá trò ESS(ρ) đạt cực tiểu cục bộ (local minimum) và
như vậy thủ tục có thể bỏ qua giá trò cực tiểu toàn cục (global minimum) nếu mô hình có nhiều
hơn một điểm cực tiểu cục bộ. Điểm nhận xét này được trình bày trong hình 9.4, trong đó có
hai điểm cực tiểu cục bộ là A và B. Các điểm được biểu diễn bằng chấm tròn nhỏ biểu hiện

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 21 Thục Đoan/Hào Thi
} Hình 9.4 So Sánh Hai Thủ Tục HILU Và CORC } VÍ DỤ 9.8
Bây giờ chúng ta hãy xem xét một ví dụ trong đó các giá trò ước lượng theo phương pháp
CORC và HILU là hoàn toàn khác nhau (phần thực hành máy tính 9.7 trình bày chi tiết cách
thức thực hiện ví dụ này). Xem xét mô hình được ước lượng trong chương 4 sử dụng dữ liệu
trong bảng DATA4-2 dưới đây:

C
t

0,9 với bước nhảy 0,1 và cũng thực hiện tương tự trong khoảng từ – 0,99 đến + 0,99. Trong lần
thử đầu tiên, ESS đạt giá trò cực tiểu là 0,99. Chương trình sau đó sẽ giá trò này để làm điểm
khởi đầu và thực hiện một vòng lặp CORC để đạt đến giá trò
ρ
ˆ
cuối cùng là 0,9903 và hoàn
toàn khác với giá trò cuối cùng 0,562 tính được bằng thủ tục CORC. Hình 9.5 sẽ giải thích tại
sao hai phương pháp này cho ra các kết quả
ρ
ˆ
khác nhau. Trong hình 9.5, các điểm ESS được
Cực tiểu toàn cục
(Glocal Minimum)
Cực tiểu cục bộ
(Local Minimum)
C
ˆ
ρ

H
ˆ
ρ
A
B
ρ

ESS(
ρ
)
0 } 9.5 Tương Quan Chuỗi Bậc Cao

Như đã đề cập trước đây, bản chất của cấu trúc sai số thường là chưa biết. Vì vậy, nhà nghiên
cứu phải thiết lập một mô hình càng tổng quát càng tốt đối với phần tất đònh cũng như đối với
cấu trúc sai số và thực hiện phân biệt dữ liệu giữa các phương trình khác nhau. Các nguyên lý
được trình bày trong các phần trước đây có thể áp dụng cho tương quan chuỗi bậc cao hơn.
Trong phần này, chúng ta sẽ thảo luận về các thủ tục để kiểm đònh tính tự tương quan bậc cao
hơn và để ước lượng các thông số mô hình khi các số hạng nhiễu tuân theo tính tương quan bậc
tổng quát. Các đặc trưng chung của mô hình với số hạng sai số tự hồi quy được cho như sau:

Y
t
= β
1
+ β
2
X
t2
+ β
3
X
t3
+ … + β
k
X
tk


Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 23 Thục Đoan/Hào Thi
hợp lý. Tương tự, dữ liệu theo tháng có khả năng có tính tự tương quan bậc 12 và dữ liệu theo
giờ có thể có tính tương quan chuỗi bậc 24. Vì thế, chúng ta cần những đại lượng để xác đònh
cấu trúc sai số tự hồi quy bậc tổng quát cũng như các thủ tục ước lượng có thể áp dụng cho
trường hợp bậc cao hơn.

Kiểm Đònh Tính Tự Tương Bậc Cao LM Breusch – Godfrey
Kiểm đònh LM, mô tả trong phần 9.3 được dùng để kiểm đònh tính tương quan chuỗi bậc nhất,
dễ dàng được mở rộng áp dụng cho bậc cao hơn với cỡ mẫu không được nhỏ. Kiểm đònh này
được gọi là kiểm đònh Breush (1978) – Godfrey (1978). Việc thực hiện thủ tục này sẽ rõ ràng
hơn nếu chúng ta kết hợp hai phương trình (9.10) và (9.11) như sau:

Y
t
= β
1
+ β
2
X
t2
+ β
3
X

p
=
0) đối với giả thuyết ngược lại cho rằng ít nhất một trong các giá trò ρ này khác zero. Giả
thuyết không này rất giống giả thuyết mà chúng ta đã trình bày trong chương 6 để kiểm đònh sự
thêm vào các biến mới. Trong trường hợp này, những biến mới là u
t –1
, u
t – 2
, …, u
t – p
mà có thể
ước lượng bằng phần dư
1t
u
ˆ
−
,
2t
u
ˆ
−
, …,
pt
u
ˆ
−
. Các bước tiến hành kiểm đònh như sau:
Bước 1 Ước lượng phương trình (9.10) theo phương pháp OLS và tính ra các giá trò phần dư
t
u

= … = ρ
p
= 0 và chấp
nhận giả thuyết H
1
: có ít nhất một trong số các giá trò
ρ
khác không.

Mặc dù bản thân thủ tục kiểm đònh thì không phức tạp nhưng nhà nghiên cứu cần phải
quyết đònh số bậc p đối với mô hình tự hồi quy cho trước bởi phương trình (9.11). Tính đònh kỳ
của dữ liệu (theo quý, tháng, tuần, hay theo bất cứ khoảng thời gian nào) sẽ góp phần xác đònh
bậc p. Trong bước 2, người ta đã chỉ ra rằng cỡ mẫu thích hợp là n – p. Hơn nữa, bước hồi quy
phụ có hệ số tự hồi quy p cộng thêm các hệ số k cho k –1 biến giải thích và số hạng hằng số.
Vì vậy, n – p tối thiểu phải bằng p + k (nếu không chúng ta sẽ có bậc tự do âm). Điều này có
nghóa là n tối thiểu phải bằng k +2p trước khi có thể ước lượng được phần hồi quy phụ. Nếu cỡ
mẫu không tương xứng, chúng ta có thể bỏ bớt một vài số hạng tự hồi quy. Ví dụ, với dữ liệu
theo tháng, chúng ta có thể thiết lập các biến trễ ứng với t = 1, 2, 3, và 12 và đặt các hệ số tự
hồi quy khác bằng zero. ng dụng trong phần 9.7 trình bày ví dụ về kiểm đònh tính tự tương
quan bậc cao.
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 24 Thục Đoan/Hào Thi

- . . . -ρ
n
)
+ β
2
[X
t2
- ρ
1
X
(t-1)2
- . . . - ρ
n
X
(t-p)2
]
+ . . . + β
k
[X
tk
- ρ
1
X
(t-1)k
- . . . - ρ
n
X
(t-p)k
] + ε
t

ρ
∧
,
2
ρ
∧
, của các thông số trong phương trình (9.11). Ở đây chỉ sử
dụng n-p quan sát.
Bước 3 Dùng các ước lượng này, biến đổi các biến độc lập và phụ thuộc để có các biến mới
trong phương trình (9.12)
Bước 4 Ước lượng mô hình đã được biến đổi (9.12) và tính lần hai các ước lượng
β
.
Bước 5 Từ các ước lượng
β
, tính ước lượng đã hiệu chỉnh của phần dư u
t
bằng cách sử dụng
phương trình (9.10). Sau đó quay lại bước 2 và lặp lại cho đến khi một số tiêu chuẩn
được thỏa mãn. Ví dụ, ta tính tổng bình phương sai số của phương trình (9.12) và
việc lặp lại kết thúc khi các kết quả tính toán này sai lệch nhỏ hơn 0.1 phần trăm
hay một số giá trò khác. Nói cách khác, quá trình lặp có thể tiếp tục cho đến khi giá
trò logarit của hàm số thích hợp của phương trình (9.12) không thay đổi vượt quá
một mức phần trăm qui đònh trước.

Các
ρ
cuối cùng tính được ở bước 5 sau đó có thể được dùng để thực hiện biến đổi dữ liệu
lần cuối để ước lượng (9.12). Tại mốc hội tụ, các ước lượng của
ρ

t
. Tương tự cho mô hình AR tổng quát là

t
Y
∧
=
1
β
∧
+
2
β
∧
X
t2
+ . . . +
k
β
∧
X
tk
+
1
ρ
∧
-1t
u
∧
+

như là bình phương của tương quan giữa Y
t
thực và
t
Y
∧
dự báo từ phương trình
(9.13).
Trong phần 4.1, ta đã mô tả cách tính phương sai của dự báo
t
Y
∧
. Tuy nhiên với sự hiện
diện của tương quan chuỗi, cách tính như vậy không thể thực hiện được vì phương sai của dự
báo liên quan đến nhiều số hạng khác như Var(
1
ρ
∧
-1t
u
∧
) và Cov(
1
β
∧
,
1
ρ
∧
-1t

khoán hay suất thu lợi thường là biểu hiện của phương sai không cố đònh theo thời gian. Engel
(1982) đã đưa ra một phương pháp tiếp cận mới để mô hình hóa phương sai của sai số thay đổi
đối với dữ liệu theo thời gian. Tác giả đặt tên cho mô hình là ARCH (autoregressive
conditional heteroscedascity – phương sai của sai số thay đổi có điều kiện tự hồi qui). Quá
trình các phương sai được tính được giả đònh như sau