Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
1

CHƯƠNG 8

Phương Sai Của Sai Số Thay Đổi

Trong việc tính toán các giá trò ước lượng bình phương tối thiểu thông thường (OLS) cũng
như các giá trò ước lượng thích hợp cực đại (MLE), chúng ta đã thiết lập giả thuyết cho
rằng các số hạng sai số u
i
có phân phối giống nhau với trò trung bình bằng không và
phương sai
σ
2
như nhau (Xem Giả Thuyết 3.5 của Chương 3 đã phát biểu rằng Var(u
i
|x
t
=
σ
2
cho tất cả các t). Giả thuyết phương sai bằng nhau được hiểu là phương sai của sai số
không đổi (có nghóa là phân tán như nhau). Phương sai

thực có thể khác nhiều so với mức thu nhập trung bình. Hay nói cách khác, rất có khả
năng những hộ gia đình có thu nhập cao có mức độ phân tán xung quanh giá trò tiêu dùng
trung bình lớn hơn những hộ gia đình có thu nhập thấp. Trong trường hợp như thế, biểu
đồ phân tán giữa tiêu dùng và thu nhập sẽ chỉ ra những điểm của mẫu gần với đường hồi
qui hơn cho những hộ gia đình thu nhập thấp nhưng những điểm phân tán rộng hơn cho
những hộ gia đình thu nhập cao (xem Hình 8.1). Hiện tượng như vậy được gọi là phương
sai của sai số thay đổi (có nghóa là phân tán không như nhau). Hình 3.A.2 trong Phụ lục
Chương 3 có một đồ thò về phương sai của sai số thay đổi trong tổng thể.
Ví dụ thứ hai xét đến một mẫu ngẫu nhiên của những thành phố mà chúng ta sẽ liên
hệ mức độ tội phạm thường gặp của những thành phố đó với số lượng nguồn lực sẵn có
của từng thành phố trong việc chống tội phạm. Chúng ta có thể kỳ vọng rằng sự phân tán
của những điểm quan sát được có thể phân tán rộng hơn đối với những thành phố lớn hơn
khi so sánh với những thành phố nhỏ hơn. Ở đây một lần nữa giả thuyết về phương sai
của sai số không đổi có thể bò vi phạm.
Phương sai của sai số thay đổi cũng xuất hiện khi sử dụng dữ liệu nhóm thay vì sử
dụng dữ liệu cá nhân. Ví dụ, chúng ta có thể không có dữ liệu của từng công ty nhưng
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
2
thay vào đó chúng ta có thể sử dụng dữ liệu trung bình của ngành. Trong trường hợp này,
mô hình có thể là
t
Y
=
Trong chương này, chúng ta nới lỏng giả thuyết phương sai của sai số có giá trò
không đổi và giả thuyết có phương sai của sai số thay đổi. Chính thức hơn, chúng ta hiệu
chỉnh Giả Thuyết 3.5 như sau:

GIẢ THUYẾT 3.5a

u
t
là một biến ngẫu nhiên với E(u
t
|X
t
) = 0 và Var(u
t
| X
t
) = E(
2
t

bảy trường đại học. Chúng ta thấy rằng mô hình lôgarít-wage là mô hình thích hợp đối
với mô hình tiền công (wages) và tiền lương (salaries). Đồ thò trong Hình 8.2 biểu diễn
lôgarít của tiền lương đối với số năm nhận được bằng tiến só tương ứng. Chúng ta lưu ý
độ rộng xung quanh quan hệ đường thẳng trung bình là không đồng dạng, dẫn đến vi
phạm giả thuyết thông thường về phương sai của sai số không đổi của các số hạng sai
số. Điều đáng chú ý ở đây là phương sai xung quanh quan hệ trung bình có điều kiện
mới đầu tăng khi số năm tăng nhưng sau đó giảm dần. Không có gì ngạc nhiên cả, bởi vì
mức lương hiện thời của các tiến só khá cạnh tranh trên thò trường việc làm và do vậy
chúng ta không thể mong đợi những chênh lệch cao về mức lương. Tuy nhiên, mức
lương của những giáo sư trong biên chế có thể khác nhau nhiều phụ thuộc vào năng lực
và uy tín của họ. Sau một số năm, mức lương tăng theo chiều hướng ổn đònh và do đó
phương sai có khả năng giảm bớt. Chúng ta sẽ đi sâu vào ví dụ này một cách chi tiết hơn
trong Phần 8.2 về việc kiểm đònh phương sai của sai số thay đổi.

} Hình 8.2 Phương Sai Của Sai Số Thay Đổi Trong Lôgarít-Salary

Y
t
=
β
1
+
β
2
X
t2
+ … +
β
k
X
tk
+ u
tvới Var (u
t
|x
t
) =
2
t
σ
và t = 1, 2, …, n. Thay đổi duy nhất là các phương sai của sai số sẽ
khác nhau đối với những giá trò t khác nhau và những giá trò này chưa biết.


Tác Động Lên Các Kiểm Đònh Giả Thuyết

Có thể thấy rằng (xem Phụ Lục 8.A) các phương sai và đồng phương sai ước lượng của
các ước lượng OLS cho các giá trò
β
i
là thiên lệch và không nhất quán khi phương sai
của sai số thay đổi hiện hữu nhưng bò bỏ qua (xem Kmenta, 1986, tr. 276–279). Do đó,
các kiểm đònh giả thuyết không còn giá trò nữa.

Tác Động Lên Việc Dự Báo

Chúng ta vừa chứng tỏ rằng các ước lượng OLS vẫn không thiên lệch. Từ đó dẫn đến
các dự báo dựa trên những giá trò ước lượng này cũng sẽ không thiên lệch. Nhưng vì lý
do các ước lượng là không hiệu quả, nên các dự báo cũng sẽ không hiệu quả. Nói cách
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
5
khác, độ tin cậy của những dự báo này (đo lường bằng phương sai của chúng) sẽ kém
hơn một ước lượng thay thế khác có hiệu quả hơn.
Kết quả nhận được trong phần này được tóm tắt trong Tính Chất 8.1.

Tính Chất 8.1 Nếu ta bỏ qua phương sai của sai số thay đổi giữa những số hạng nhiễu ngẫu
nhiên trong một mô hình hồi qui và sử dụng thủ tục OLS để ước lượng các tham

số
2
t
σ
= E(
2
t
u
| x
t
) là
2
ˆ
t
u
. Nói cách khác, các phần dư bình phương có thể được sử dụng
để ước lượng
2
t
σ
. Tiếp đến chúng ta thể hiện chúng trên đồ thò theo một biến mà biến
này được nghi ngờ là nguyên nhân gây ra phương sai của sai số thay đổi. Nếu mô hình
có nhiều biến giải thích, ta có thể vẽ
2
ˆ
t
u theo từng biến này hoặc tốt hơn là vẽ chúng
theo
t
Y

2
ủng hộ giả thuyết này. Đối với việc kiểm tra bằng đồ thò
khả năng phương sai của sai số thay đổi, chúng ta thu được bình phương các phần dư
của phương trình và biểu diễn chúng theo kinh nghiệm. Từ Hình 8.3 cho thấy các phần
dư bình phương có xu hướng tăng lên theo số năm rồi sau đó giảm dần, một dạng mẫu
hình đã được giải thích trong Ví Dụ 8.1. Mặc dù không đưa ra ở đây (thực hiện Phần
Thực Hành 8.1 cho điều này), đồ thò phần dư bình phương theo giá trò dự báo của
ln(SALARY) cho thấy một sự tăng nhiều hơn rõ rệt của phương sai. Do đó có một bằng
chứng có tính gợi ý về phương sai của sai số thay đổi trong mô hình. Trong phần kế tiếp,
sẽ tiến hành một kiểm đònh chính thức đối với việc này.

} Hình 8.3 Phương Sai Của Sai Số Thay Đổi Của Các Phần Dư Trong Ví Dụ 8.2
Phần dư bình
p
hươn
g

Số năm có bằng Tiến Só
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
7

(8.1)

với phương sai sai số là
2
t
σ
= E(
2
t
u | x
t
). Nếu chúng ta không chỉ rõ dạng của
α
t
, thì sẽ có
n,
σ
và k hệ số hồi qui để ước lượng, tức là, n + k tham số để ước lượng. Chỉ với n quan
sát, đây là nhiệm vụ không thực hiện được. Do đó chúng ta cần thiết phải đơn giản hóa
những giả thuyết về phương sai sai số. Ba phương án sau đây bao quát hầu hết các
trường hợp đã thảo luận trong lý thuyết:

2
t
σ
=
α
1
+
α

+ … +
α
p
Z
tp
(8.2b)
ln(
2
t
σ
) =
α
1
+
α
2
Z
t2
+
α
3
Z
t3
+ … +
α
p
Z
tp
(8.2c)


Harvey-Godfrey (Harvey, 1976, và Godfrey, 1978) sử dụng biểu thức (8.2c). Kiểm
đònh cuối cùng được gọi là phương sai của sai số thay đổi bội bởi vì phương sai sai số
được xác đònh như tích số của một số các số hạng. Kiểm đònh Park (Park, 1966) là một
trường hợp đặc biệt của kiểm đònh Harvey-Godfrey và không được đề cập đến một cách
riêng rẽ ở đây. Dễ thấy rằng giả thuyết không của phương sai của sai số thay đổi có p –
1 ràng buộc và được cho bởi
α
2
=
α
3
= … =
α
p
= 0. Theo giả thuyết không phương sai sẽ
không đổi, có nghóa là phương sai của sai số thay đổi không tồn tại. Lưu ý rằng trong tất
cả các biểu thức trên, chúng ta giả đònh rằng các biến đã biết Z chòu trách nhiệm đối với
phương sai của sai số thay đổi.
Bởi vì chúng ta không biết
σ
t
, nên chúng ta sử dụng giá trò ước lượng có được từ
việc áp dụng OLS vào Phương Trình (8.1). Do đó, chúng ta sẽ sử dụng
2
ˆ
t
u cho
2
t
σ

2
, X
3
, … , và X
k
, và nhận được giá trò
ước lượng OLS của các hệ số
β
.
Bước 2 Tính toán phần dư
t
u
ˆ
= Y
t
-
β
ˆ
1
-
β
ˆ
2
X
t2
-
β
ˆ
3
X

Z
t3
,…, và Z
tp
, và nhận được giá trò ước lượng OLS cho các hệ số
α
. Đây chính
là hồi qui phụ tương ứng với Phương Trình (8.2b).
Bước 3c Lấy lôgarít của bình phương các phần dư và hồi qui ln(
2
ˆ
t
u ) theo một số hạng
không đổi, Z
t2
, Z
t3
,…, và Z
tp
, và nhận được giá trò ước lượng OLS cho các hệ số
α
. Đây chính là hồi qui phụ tương ứng với Phương Trình (8.2c).
Bước 4 Tính toán kiểm đònh thống kê LM = nR
2
, với n là số quan sát được sử dụng
trong việc ước lượng hồi qui phụ và R
2
là R
2
chưa hiệu chỉnh từ hồi qui này.

). Nếu không bác bỏ kiểm đònh, thì
không có bất kỳ bằng chứng nào ủng hộ phương sai của sai số thay đổi.
Trong trường hợp này, OLS là thủ tục ước lượng được chấp nhận.

Trò thống kê
nR
2
được đề cập đến ở đây không phải là trò thống kê kiểm đònh được
đưa ra bởi những tác giả đầu tiên của những kiểm đònh này. Ví dụ, kiểm đònh Glesjer
không phải là một kiểm đònh Wald. Harvey đưa ra một kiểm đònh tỉ lệ thích hợp (xem
Phụ Lục Chương 6 về kiểm đònh tỉ lệ thích hợp). Các kiểm đònh Breusch-Pagan và kiểm
đònh Godfrey kiến nghò một nửa tổng bình phương hồi qui (đònh nghóa trong Chương 3)
về hồi qui phụ là một kiểm đònh thống kê, mà nó có phân phối giống như
2
1−p
χ
. Như
Engle (1984) đã chỉ ra, bởi vì tất cả các kiểm đònh này là những kiểm đònh mẫu lớn, cho
nên tất cả kiểm đònh đề xuất bởi nhiều tác giả khác nhau đều tương đương về mặt thao
tác với kiểm đònh nhân tử Lagrange vừa được đề cập ở trên. Bởi vì phân phối chính xác
của những kiểm đònh thống kê này chưa được biết (đặc biệt là với cỡ mẫu nhỏ), do vậy
chúng khác nhau về năng lực của kiểm đònh. Kiểm đònh biết rõ nguyên nhân gây nên
phương sai của sai số thay đổi càng chính xác, thì năng lực của kiểm đònh đó càng cao.
Do kiểm đònh LM gần tương đương với những kiểm đònh khác (tức là, dành cho những
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

t
+
α
3
2
YEARS
t

(b) Glesjer:
t
σ
=
α
1
+
α
2
YEARS
t
+
α
3
2
YEARS
t

(c) Harvey-Godfrey: ln(
2
t
σ

biết, dấu của giá trò
α
2
ước lượng là dấu dương và dấu của giá trò
α
3
ước lượng là dấu âm
trong cả ba kiểm đònh, khẳng đònh rằng mẫu hình đồ thò của việc đầu tiên phương sai
tăng dần và sau đó giảm dần.

Kiểm Đònh Goldfeld-Quandt
Goldfeld và Quandt (1965) đưa ra một kiểm đònh khác dựa trên khái niệm cho rằng nếu
phương sai của sai số là như nhau cho tất cả các quan sát (tức là, nếu chúng có tính chất
phương sai của sai số không đổi), thì phương sai cho một phần của mẫu cũng sẽ tương tự
như phương sai cho một phần khác cũng của mẫu đó. Do vậy ta có thể kiểm đònh sự
bằng nhau giữa những phương sai của sai số bằng việc sử dụng một kiểm đònh F. Kiểm
đònh trở thành một tỉ số của hai phương sai mẫu. Chia mẫu của những quan sát thành ba
phần, và loại bỏ những quan sát ở giữa. Tiếp đến mô hình sẽ được ước lượng cho từng
cặp quan sát và tính toán phương sai phần dư. Những bước chính thức thực hiện kiểm
đònh
Goldfeld-Quandt như sau:
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
10

Unadjuste R-squared 0.075 Adjusted R-squared 0.066
Chi-square(2): area to the right of (LM =) 16.586551 = 0.000250

[Giá trò p thấp cho biết bởi vì khả năng bác bỏ một giả thuyết đúng là thấp, nên chúng ta có thể bác
bỏ một cách an toàn giả thuyết không về phương sai của sai số thay đổi và kết luận rằng có phương
sai của sai số thay đổi một cách ý nghóa. Tiếp đến là hồi qui phụ cho kiểm đònh Glesjer.]

Dependent variable: absuhat
VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT 2 Prob (t > | T|)
0) Const 0.0312 0.0241 1.296 0.196278
2) YEARS 0.0144 0.0028 5.118 0.000001 ***
4) YRS2 -0.0002975 0.0000704 -4.227 0.000035 ***

Unadjuste R-squared 0.130 Adjusted R-squared 0.122
Chi-square(2): area to the right of (LM =) 28.922794 = 0.000001

[Giá trò p thấp như vậy cho biết sự hiện hữu của phương sai của sai số thay đổi. Tiếp theo là hồi qui
phụ đối với kiểm đònh Harvey-Godfrey cũng với giá trò p thấp, cho biết sự hiện hữu của phương sai
của sai số thay đổi]

Dependent variable: lnusq
VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT 2 Prob (t > | T|)
0) Const -6.5627 0.3592 -18.268 0.000000 ***
2) YEARS 0.2356 0.0420 5.614 0.000000 ***
4) YRS2 -0.0048 0.0011 -4.548 0.000009 ***

Unadjuste R-squared 0.159 Adjusted R-squared 0.151
Chi-square(2): area to the right of (LM =) 35.302998 = 0.000000
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

cuối cùng, do vậy loại bỏ tất
cả các quan sát ở phần giữa từ n
1
+ 1 đến n - n
2
. Số quan sát được loại bỏ là
tùy ý và thường thường là giữa một phần sáu hoặc một phần ba. Lưu ý rằng
n
1
và n
2
phải lớn hơn số hệ số được ước lượng
Bước 3 Ước lượng những hồi qui riêng biệt cho các quan sát từ 1 đến n
1
và từ n – n
2

+ 1 đến n.
Bước 4 Thu được tổng bình phương sai số như sau:
ESS
1
=
∑
=
1
1
2
n
t
t

)/(
ˆ
ˆ
11
2
2
1
2
2
kn
kn
−
−
=
ESS
ESS
2
σ
σ

với k là số hệ số hồi qui bao gồm luôn cả số hạng hằng số. Theo giả thuyết
không về phương sai của sai số không đổi, giá trò F
c
tuân theo phân phối F
với bậc tự do df là n
2
– k và n
1
– k. Nếu F
c

= 0,015416
2
2
ˆ
σ
= 0,050608 F
c
= 3,283

Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
12
Theo giả thuyết không về phương sai của sai số không đổi, F
c
tuân theo phân phối F với
bậc tự do df là 72 cho tử số và cùng bậc tự do như vậy cho mẫu số. Giá trò F
*
tới hạn đối
với mức 1 phần trăm nằm giữa 1,53 và 1,84 (xem Bảng A.4a). Do vậy, kiểm đònh thống
kê rõ ràng có ý nghóa, điều này gợi ý rằng chúng ta nên bác bỏ giả thuyết không và
khẳng đònh lại những kết quả trước đây.

Kiểm Đònh Của White


3
X
t3
+ u
t
(8.3) 326
2
35
2
2433221
2
ttttttt
XXXXXX
αααααασ
+++++= (8.4)

Bước 1 Ước lượng (8.3) bằng thủ tục OLS và nhận được
1
ˆ
β
,
2
ˆ
β
, và
3
ˆ

u
theo một hệ số không đổi, X
t2
, X
t3
,
2
2t
X
,
2
3t
X
, và X
t2
X
t3
.
Đây là hồi qui phụ tương ứng với (8.4)
Bước 4 Tính toán trò thống kê nR
2
, với n là cỡ mẫu và R
2
là R-bình phương chưa hiệu
chỉnh từ hồi qui phụ của Bước 3
Bước 5 Bác bỏ giả thuyết không cho rằng
α
2
=
α

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
13
Mặc dù kiểm đònh này là một kiểm đònh với cỡ mẫu lớn, nó khá hữu ích đối với cỡ
mẫu từ 30 trở lên. Nếu không bác bỏ giả thuyết không, Phương trình (8.4) trở thành
2
t
σ

=
α
1
, hàm ý rằng các phần dư là phương sai của sai số không đổi. Kiểm đònh của White
được dễ dàng tổng quát hoá trong trường hợp hồi qui bội với nhiều hồi qui. Trong trường
hợp này, đối với Bước 1, chúng ta hồi qui Y theo một hằng số (mà nó phải hiện hữu) và
cũng như nhiều hồi qui, tức là cần những giá trò X. Rồi chúng ta nhận được những phần
dư từ mô hình này và bình phương chúng thành
2
ˆ
t
u . Chúng ta hồi qui phần dư bình
phương theo tất cả các biến trong bước đầu tiên, cộng với bình phương của tất cả các
biến độc lập, cộng với tích số chéo giữa các cặp hồi qui. Cuối cùng, chúng ta tính toán
trò thống kê nR
2
và bác bỏ hiện tượng phương sai của sai số không đổi nếu nR
2
>
2
χ
(

u theo
một hằng số,
t
Y
ˆ
, và
2
ˆ
t
Y , với
t
Y
ˆ
là giá trò thích hợp của Y
t
khi sử dụng giá trò ước lượng
OLS. Bởi vì
t
Y
ˆ
phụ thuộc vào tất cả các X và
2
ˆ
t
Y
có tất cả các bình phương và tích số
chéo giữa các X, nên thủ tục này là một phương án thích hợp để giải quyết vấn đề bậc tự
do df.

} VÍ DỤ 8.5

5
YEARS
4Hồi qui phần dư bình phương có được từ việc áp dụng OLS vào mô hình bình phương-
lôgarít theo một hằng số và theo số mũ của YEARS, R
2
chưa hiệu chỉnh = 0,09 và n =
222 (xem Phần Thực Hành Máy Tính 8.4). Do đó, LM = nR
2
= 19,98. Giả thuyết không
là
α
i
= 0 với i = 1, 2, …, 5. Dưới giả thuyết này, LM có phân phối chi-bình phương với
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
14
bậc tự do df là 4 và mức ý nghóa 0,001 là 18,467, nhỏ hơn LM. Do vậy, ở đây chúng ta
cũng bác bỏ hiện tượng phương sai của sai số không đổi.

} 8.3 Các Thủ Tục Ước Lượng


HCCM của các sai số chuẩn đều có được từ việc sử dụng chương trình GRETL và
SHAZAM (xem Phần Thực Hành Máy Tính 8.5). Kết quả nằm ở phần kế tiếp với những
sai số chuẩn OLS trong ngoặc đơn; những sai số chuẩn HCCM từ chương trình GRETL
nằm trong ngoặc vuông, và những sai số chuẩn HCCM từ chương trình SHAZAM nằm
trong ngoặc móc. Những giá trò ước lượng HCCM của phương sai của ước lượng là nhất
quán, trong khi những giá trò ước lượng OLS thì lại không, nhưng những giá trò ước lượng
của các hệ số hồi qui và R bình phương sẽ không thay đổi (
2
R = 0,532).
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
15

ln (SALARY) = 3,809 + 0,044 YEARS – 6,27e-04 YEARS
2

(0,041) (0,0048) (1,209-04)
[0,027] [0,0046] [1,256e-04]
{0,026} {0,0043} {1,171e-04}
Lý do có sự khác biệt rất ít trong các giá trò ước lượng đối với những sai số chuẩn giữa
chương trình GRETL và SHAZAM là chương trình đầu sử dụng hiệu chỉnh Jackknife đã
được thảo luận trước đây, trong khi đó chương trình sau thì không sử dụng. Chúng ta lưu
ý rằng tất cả các hệ số đều ở mức ý nghóa thấp hơn 0,001.


X
t3
σ
t
+
u
t
σ
thoặc

Y
t
*
= β
1
X
*
t1
+ β
2
X
*
t2
+ β
3
X
*

σ
t
2

= 1
Vì vậy, Phương trình (8.5) thỏa mãn tất cả các điều kiện đòi hỏi đối với các ước
lượng OLS để có được các tính chất mong muốn. Do đó, các ước lượng có được bằng
cách hồi qui Y
t
*
theo X
*
t1
,
X
*
t2

và X
*
t3
(không có số hạng không đổi) sẽ có tính BLUE.
Thủ tục vừa được mô tả là một trường hợp đặc biệt của một phương pháp tổng quát hơn
gọi là
bình phương tối thiểu tổng quát (GLS). Mặc dù thủ tục GLS có vẻ đơn giản,
nhưng vấn đề về thực hành là
σ
t
không biết được, và do đó chúng ta không thể ước
lượng Phương trình (8.5) mà không có thêm các giả thiết khác.

t
u
t
) (8.6)

Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
16
So sánh (8.5) và (8.6), chúng ta thấy ngay là cực tiểu tổng bình phương của u
t
tương
đương với cực tiểu tổng bình phương có trọng số của dư số:

∑(w
t
u
t
)
2
= ∑(w
t
Y
t
− β

trọng số cũng thích hợp cực đại như trong trường hợp sai số chuẩn (xem Bài tập 8.2)
Cần lưu ý rằng, do các số hạng sai số của Phương trình biến đổi (8.5) là “ngẫu
nhiên” theo đònh lý Gauss-Markov, các ước lượng WLS hiệu quả hơn các ước lượng
OLS. Thực tế, các ước lượng này là BLUE, miễn là các trọng số bằng một tỷ số biết
trước như trong trường hợp ở phần tiếp theo.

Phương sai của sai số thay đổi với tỷ số biết trước
Trước tiên xem xét một trường hợp đơn giản trong đó cấu trúc của phương sai của sai số
thay đổi có dạng cụ thể biết trước. Trong mô hình ở Phương trình (8.3), giả sử tính
phương sai của sai số thay đổi sao cho độ lệch chuẩn của sai số
σ
t
tỷ lệ với Z
t
biết trước.
Cụ thể hơn, giả sử Phương trình (8.5) như sau:

Var(u
t
) = σ
t
2
= σ
2
Z
t
2
hoặc tương đương σ
t
= σZ

2
X
t 2
Z
t
+ β
3
X
t 3
Z
t
+
u
t
Z
t

hoặc
Y
t
*
= β
1
X
*
t1
+ β
2
X
*

t
)
Z
t
2
= σ
2Vì vậy, Phương trình (8.9) thỏa mãn tất cả các điều kiện yêu cầu đối với các ước
lượng OLS để có các tính chất mong muốn. Do đó, các ước lượng có được bằng cách hồi
qui Y
t
*
theo X
*
t1
, X
*
t2
và X
*
t3
sẽ là BLUE (khi σ
t
2
= σ
2
Z
t


EXPTRAV
t
= α + β INCOME
t
+ u
tChúng ta có thể kỳ vọng là các phương sai của sai số có tính thay đổi và tăng theo dân
số. Nói cách khác, các tiểu bang có dân số cao có vẻ sẽ có biến đổi nhiều hơn trong chi
tiêu cho di chuyển so với các tiểu bang nhỏ. Do đó, một đặc trưng hợp lý là
σ
t
= σPOP
t

hoặc tương đương, Var(u
t
) = σ
t
2
= σ
2
POP
t
2
. Giả thiết cho rằng độ lệch chuẩn tỷ lệ với
dân số sẽ tương đương với giả thiết phương sai tỷ lệ với bình phương của dân số. Như
bước đầu tiên, chúng ta sử dụng kiểm đònh Glesjer đối với tính chất phương sai của sai

+
u
t
POP
t
(8.10)

Dễ dàng chứng minh được số hạng sai số trong Phương trình (8.10) có phương sai không
đổi vì giả thiết là
σ
t
= σ POP
t
. Do đó, chúng ta có thể áp dụng OLS cho Phương trình
(8.10). Lưu ý là biến phụ thuộc mới đơn giản là chi tiêu cho di chuyển trên đầu người.
Tương tự như vậy, các biến độc lập mới là thu nhập trên đầu người và nghòch đảo của
dân số, không có số hạng không đổi. Vì vậy, chúng ta thấy là thiết lập một mô hình với
các số hạng bình quân đầu người sẽ thể hiện được bất kỳ tính chất phương sai của sai số
thay đổi nào xuất hiện do kích thước của dân số. Nếu dân số có vai trò trong mô hình,
một cách tiến hành tốt là thể hiện mô hình dưới dạng các số hạng bình quân đầu người.
Mô hình được ước lượng như sau, với các trò thống kê trong ngoặc đơn và R
2
hiệu chỉnh
của mô hình biến đổi (xem Bảng 8.2 và Bài tập thực hành máy tính Phần 8.6):







Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
18
Cần nhận thấy là trong khi OLS được áp dụng cho mô hình biến đổi, diễn dòch của các
hệ số là của phương trình nguyên thủy. Vì vậy, hệ số được ước lượng của 1/POP là hệ
số của số hạng tung độ gốc, và hệ số được ước lượng của INCOME/POP là hệ số của xu
hướng biên tế của thu nhập theo tiêu dùng cho di chuyển.
Mặc dù R
−
2
có vẻ thấp, nó liên quan đến mô hình biến đổi chứ không phải của đặc trưng
gốc ở các mức ý nghóa. Tuy nhiên, trò thống kê F có ý nghóa ở mức 1 phần trăm. Cả các
trò thống kê t cũng có ý nghóa ở mức thấp hơn 4 phần trăm. Như trong Bảng (8.2), một
kiểm đònh Glesjer đã được áp dụng cho mô hình biến đổi và không có tính chất phương
sai của sai số thay đổi có ý nghóa. Bình Phương Tối Thiểu Tổng Quát Khả Thi (FGLS)

Thủ tục bình phương tối thiểu tổng quát đã được thảo luận trước đây gồm việc chia mỗi
biến (gồm cả số hạng không đổi) cho
σ
t
(độ lệch chuẩn của số hạng sai số) và sau đó áp
dụng thủ tục bình phương tối thiểu thông thường cho mô hình biến đổi nhận được. Vì


Unadjusted R – squared 0.179 Adjusted R-squared 0.162
Chi-squaared (1): area to the right of (LM =) 9.110000 = 0.002542

[Giá trò p thấp cho thấy vì xác suất bác bỏ một giả thuyết đúng là thấp, chúng ta có thể
an toàn bác bỏ giả thuyết không về phương sai của sai số thay đổi và kết luận là phương
sai của sai số thay đổi có ý nghóa. Bước tiếp theo là chia mô hình cho pop và ước lượng
bằng OLS. Trước tiên phải tạo ra các biến sau.]
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
19

pcex = exptrav/pop
pcincm = income/pop
invpop = 1/pop

Dependent variable: pcexp
VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT 2Prob(t>|T|)
8) invpop 0.7368 0.3323 2.218 0.031250 **
7) pcincm 0.0586 0.0123 4.775 0.000017 ***

R-squared is the square of the correlation between the observed and fitted values of
dependent variable.
Error Sum of Sq (ESS) 78.6612 Std Err of Resid. (sgmahat) 1.2670

và có được các ước
lượng OLS của các
β.
Bước 2 Tính các phần dư theo u
^
t
= Y
t
− β
^
1
− β
^
2
X
t2
− β
^
3
X
t3
− … − β
^
k
X
tk
.
Bước 3 Hồi qui u
^
t

Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
20
hệ số tương ứng sẽ không xác đònh. Nếu bất kỳ phương sai dự báo nào có giá
trò âm, chúng ta không thể lấy căn bậc hai. Nếu trường hợp này xảy ra đối
với một số quan sát thì chúng ta có thể sử dụng u
^
t
2
gốc và lấy căn bậc hai
dương của chúng.
Bước 3b Hồi qui | u
^
t
| theo một số hạng không đổi, Z
t2
, Z
t3
, … và Z
tp
và có được các ước
lượng OLS của các
α. Đây là hồi qui phụ tương ứng với Phương trình (8.2b)
đối với kiểm đònh Glesjer. Kế đến, thay các ước lượng này vào Phương trình
(8.2b) và có được
σ

t
2
). Lấy đối log (nghóa là hàm số mũ)
để có các phương sai dự báo. Các trọng số là nghòch đảo của căn bậc hai của
các phương sai được ước lượng. Lưu ý là, vì hàm số mũ chỉ tạo ra những giá
trò dương, không có vấn đề phương sai âm hoặc bằng không trong trường hợp
này. Vì lý do này, kiểm đònh Harvey-Godfrey và các kết quả ước lượng
phương sai liên quan là một thủ tục hấp dẫn.
Bước 4 Ước lượng mô hình gốc bằng thủ tục bình phương tối thiểu có trọng số (WLS)
sử dụng các trọng số w
t
= 1/σ
^
t
, với σ
^
t
là độ lệch chuẩn ước lượng trong Bước
3. Cụ thể hơn, nhân mỗi biến trong mô hình gồm cả hằng số, với w
t
và hồi
qui (w
t
Y
t
) theo w
t
, (w
t
X

, WLS được thực hiện bằng cách hồi qui (w
t
Y
t
) theo w
t
và
(w
t
X
ti
) với i = 2, …, k. Ngược lại, SHAZAM yêu cầu trọng số cụ thể bằng 1/σ
^
t
2
. Trước
khi ước lượng, lấy căn bậc hai dương và nhân với biến phụ thuộc và biến độc lập như đã
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
21
nêu ở đây. Vì vậy, việc quan trọng là bạn phải hiểu rõ chương trình của bạn tính như
thế nào.

} VÍ DỤ 8.8

(7,949e-05)
−2,392e-04
(
6,217e-05)
−4,514e-04
(9,481e-05)
-4,433e-04
(8,27e-05)
Adj Rsq 0,524 0,507 0,528 0,526
SGMASQ 0,043652 0,045382 0,043375* 0,043531
AIC 0,044242 0,045995 0,043961* 0,044119
FPE 0,044242 0,045995 0,043961* 0,044119
HQ 0,045071 0,046857 0,044785* 0,044946
SCHWARZ 0,046324 0,048159 0,046030* 0,046195
SHIBATA 0,044226 0,045978 0,043945* 0,044103
GCV 0,044250 0,046003 0,043969* 0,044127
RICE 0,044259 0,046012 0,043977* 0,044136

Các giá trò trong ngoặc là các sai số chuẩn tương ứng. Các dấu sao ký hiệu mô hình với tiêu chuẩn chọn
mô hình thấp nhất. Các giá trò của AIC và FPE giống nhau chỉ là tình cờ. Các giá trò này khác nhau ngoài
sáu số thập phân.

} Bảng 8.4 Các bước thực hiện trên máy tính đối với Ví dụ 8.8 về Ước lượng bằng
FGLS Sử dụng DATA8-1

1. Hồi qui ln(SALARY) theo một hằng số, YEARS và YEAR
2
, và chép các số dư (u
^
t

4. Tính wt1 = 1/absuhat1 và dùng nó như là trọng số để có các ước lượng bình
phương tối thiểu có trọng số FGLS.
5. Đối với các đặc trưng Breusch-Pagan, hồi qui usq theo một hằng số, YEARS, và
YEARS
2
, và chép các giá trò “thích hợp” thành usqhat1. Đây là các giá phương
sai của sai số ước lượng. Tuy nhiên, ba quan sát có giá trò âm, là không thể chấp
nhận. Thay thế các giá trò âm này bằng các giá trò usq gốc, và gọi những giá trò
thay thế này là “usqhat2”. Một cách dễ dàng để thực hiện việc này là trước tiên
sử dụng chương trình hồi qui của bạn phát ra một biến giả, gọi là d1, biến này có
giá trò bằng 1 cho mọi giá trò dương của usqhat1 và ngoài ra sẽ bằng 0. Kế tiếp
phát usqhat2 = (d1*usqhat1) + ((1
− d1)*usq).
6. Tính wt2 = 1/sqrt(usqhat2), và sử dụng làm trọng số để có được các ước lượng
bình phương tối thiểu có trọng số FGLS (sqrt là hàm căn số bậc hai).
7. Đối với đặc trưng của kiểm đònh White, hồi qui usq theo một hằng số, YEARS,
YEARS
2
, YEARS
3
và YEARS
4
, và chép các giá trò “thích hợp” thành usqhat3.
Đây là các phương sai của sai số ước lượng. Tuy nhiên, ở đây cũng có ba quan
sát có giá trò âm cần phải thay thế bằng các giá trò usq gốc (xem Bước 5). Gọi
chuỗi các giá trò thay thế là “usqhat4”
8. Tính wt3 = 1/sqrt(usqhat4), và sử dụng làm trọng số để có các ước lượng bình
phương tối thiểu có trọng số FGLS.
9. Đối với đặc trưng Harvey-Godfrey, hồi qui lnusq theo một hằng số, YEARS và
YEARS

Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
23
đònh khác vì tính tổng quát và không phụ thuộc vào giả thiết phân phối chuẩn của kiểm
đònh này. Sử dụng các ước lượng này, chúng ta có mô hình ước lượng sau và tác động
biên tế tương ứng của kinh nghiệm đến lương (xem lại phần thảo luận về mô hình bậc
hai trong Phần 6.4 và phần phân tích mô hình tuyến tính-logarit trong Phần 6.8):

ln(SALARY) = 3,848 + 0,0369YEARS
− 0,0004514YEARS
2
(8.11)

1
SALARY

∆SALARY
∆YEARS
= 0,0369 − 0,0009028 YEARS (8.12)

Đặt phương trình này bằng không và giải YEARS, ta có số năm mà tại đó
SALARY sẽ đạt giá trò cực đại (chúng ta biết là đây là giá trò cực đại không phải giá
trò cực tiểu là do hệ số âm của số hạng bậc hai). Kết quả bằng 40,1 lớn hơn hầu hết
các khoảng mẫu. Vì thế, ý nghóa là lương luôn tăng trong vòng 40 năm qua nhưng
do hệ số âm của YEARS
2
, nên có những lợi nhuận biên tế bò giảm. Trong Phương

^
t
, nghóa là nghòch đảo của β
^
1
+ β
^
2
X
t2
+ … + β
^
k
X
tk
. Tuy nhiên
thủ tục này không được khuyên sử dụng vì ở đây cũng không có gì bảo đảm là Y
^
t

buộc phải dương với mọi giá trò t và không có một thủ tục khác để thay thế Y
^
t
bằng
không hay âm. Vì E(Y
t
) là một hàm của các X, đây là một trường hợp đặc biệt của
hàm Glesjer được nêu trong Phương trình (8.2b), với các X được thay thế cho các Z
được sử dụng trong Phương trình đó. Vì vậy, chúng ta khuyến cáo là nên bỏ qua đặc
trưng này trong kiểm đònh Glesjer và các phương pháp khác để tính các trọng số.


INCOME
POP
+ β
3
SENIORS + u
Chúng ta đã sử dụng các kiểm đònh Glesjer, Breusch-Pagan, White và Harvey-
Godfrey và đã nhận thấy giả thuyết không về tính chất phương sai của sai số không
đổi bò bác bỏ ở mức ý nghóa thấp hơn 0,001 bằng ba kiểm đònh đầu tiên. Tuy nhiên,
giá trò p-value của kiểm đònh LM trò thống kê của kiểm đònh Harvey-Godfrey đối
với tính chất phương sai của sai số thay đổi bội có giá trò là 0,14, cao hơn nhiều so
với các mức chấp nhận thông thường. Do đó, chúng ta không thể bác bỏ giả thuyết
không về tính chất phương sai của sai số không đổi, ngay cả ở mức ý nghóa 10 phần
trăm. Tuy nhiên, như chúng ta lưu ý ở Bảng 8.5, kết quả riêng phần có kèm chú
giải, hồi qui phụ đối với trường hợp này cho thấy là thu nhập đầu người và bình
phương của nó hoàn toàn có ý nghóa. Do đó, kiểm đònh thứ hai được thực hiện chỉ
với những biến này, và giá trò p là 0,056. Vì giá trò này là chấp nhận được, chúng ta
áp dụng thủ tục FGLS/WLS sử dụng tất cả bốn phương pháp trên.
Bảng 8.6 tóm tắt các ước lượng và các trò thống kê liên quan. Chúng ta lưu ý là
các ước lượng Breusch-Pagan và White rất gần nhau nhưng còn các ước lượng khác
lại khác nhau. Xét về các tiêu chuẩn chọn mô hình, các ước lượng Breusch-Pagan là
tốt nhất. Cả hai hệ số của thu nhập và của thâm niên có dấu kỳ vọng là dấu dương
và có ý nghóa cao ở mức thấp hơn 0,0001. Giữ phần trăm thâm niên không đổi, với
mức tăng $100 trong thu nhập, trung bình một khoảng chi tiêu cho sức khỏe được kỳ
vọng là $15. Đối với một mức thu nhập cho trước ở tiểu bang, một phần trăm tăng
về số năm thâm niên kỳ vọng là sẽ làm tăng chi tiêu trung bình cho chăm sóc sức
khỏe là $116.9 (vì nó được tính bằng ngàn đôla). Số đo thích hợp cho thấy là mô
hình chỉ giải thích khoảng 42 phần trăm của chi tiêu bình quân đầu người cho chăm
sóc sức khỏe. Có lẽ, việc thêm các biến phi tuyến vào sẽ làm gia tăng năng lực giải
thích. Phần này xem như bài tập cho độc giả.

2
)
VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT 2Prob (t>|T|)
0) Const 18.3709 13.8537 1.326 0.191364
6) X
−2.2253
1.1308
−1.968
0.055130 *
4) Seniors 0.1809 0.8672 0.209 0.835647
10) Sq_x 0.0552 0.0262 2.109 0.040404 **
12) Sq_senio
−0.0149
0.0357
−0.416
0.679121

Unadjusted R-squared 0.136 Adjusted R-squared 0.061
Chi-square (4): area to the right of (LM) 6.929352 = 0.139669

[Vì giá trò p-value cao, chúng ta không thể bác bỏ tính phương sai của sai số không
đổi. Tuy nhiên, vì các hệ số của x và x-bình phương là có ý nghóa, một kiểm đònh
LM khác được thực hiện chỉ với những biến này]

Chi-square (2): area to the right of (LM) 5.765542 = 0.055979

[Vì giá trò p-value là chấp nhận được, chúng ta bác bỏ tính phương sai của sai số
không đổi và tiến hành với ước lượng bình phương tối thiểu có trọng số FGLS. Tóm
tắt phần thảo luận về các kết quả xem trong phần lý thuyết]


(0.026)
Adj Rsq 0.416 0.422 0.420 0.403
SGMSAQ 0.392697 0.358060* 0.359175 0.422389
AIC 0.415741 0.379071* 0.380251 0.447174
FPE 0.415797 0.379122* 0.380302 0.447235
HQ 0.434192 0.395894* 0.397126 0.467020
SCHWARZ 0.465773 0 424690* 0.426012 0.500990
SHIBATA 0.413080 0.376644* 0.377817 0.444312
GCV 0.417241 0.380439* 0.381623 0.448788
RICE 0.418877 0.381931* 0.383119 0.450548