 1. Chứng minh rằng hàm số y = x
3
− 3x
2
+ 3x không có cực trị.
 2. Chứng minh rằng hàm số y = x
2
+ |x| có cực tiểu tại x = 1, mặc dù nó không có đạo hàm ngay
tại điểm đó.
 3. Xác định các hệ số a, b, c, d của hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d, biết rằng đồ thị của nó có hai
điểm cực trị là (0; 0) và (1; 1).
 4. Cho hàm số y = x
3
− 3mx
2
+ 3(2m − 1)x + 1. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
ĐS. m = 1.
 5. (A, 2002) Cho hàm số y = −x
3
+ 3mx
2
+ 3(1 −m
2
)x + m
3
−m
2

1
x
(m là tham số).
Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C
m
) đến tiệm cận xiên của
(C
m
) bằng
1
√
2
.
ĐS. m = 1.
 10. (ĐH, CĐ, khối B, 2005) Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số y =
x
2
+ (m + 1)x + m + 1
x + 1
(m là tham
số).
Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (C
m
) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng
cách giữa hai điểm đó bằng
√
20.
 11. (Dự bị 2005) Gọi (C

x − 1
.
Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng AB
song song với đường thẳng 2x − y − 10 = 0.
ĐS. m <
3
2
.
 14. (Dự bị 2006) Cho hàm số y = x
3
+ (1 − 2m)x
2
+ (2 − m)x + m − 2. Tìm các giá trị của m để
đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
ĐS. m < −1;
5
4
< m <
7
5
.
 15. Cho hàm số y = x
4
−2mx
2
+ m −1. Tìm m để đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị tạo thành
ba đỉnh của một tam giác đều.
ĐS. m =
3
√

+ 2(m + 1)x + m
2
+ 4m
x + 2
, m là tham số. (1)
Tìm m để hàm số (5) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng
với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.
ĐS. m = 0, m = −4 ±
√
24.
 20. (B, 2007) Cho hàm số
y = −x
3
+ 3x
2
+ 3(m
2
− 1)x − 3m
2
− 1 (m là tham số). (2)
2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (6).
b) Tìm m để hàm số (6) có cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị của hàm số (6) cách đều gốc
toạ độ.
ĐS. b) m = ±
1
2
.
 21. (Dự bị A, 2007) Cho hàm số y = x + m +
m

− 6x + 6 = 2x − 1;
b) (Khối D, 2006)
√
2x − 1 + x
2
− 3x + 1 = 0;
c) (x + 5)(2 − x) = 3
√
x
2
+ 3x;
d) (Dự bị 2005)
√
3x − 3 −
√
5 − x =
√
2x − 4;
e)

7 − x
2
+ x
√
x + 5 =
√
3 − 2x − x
2
;
f)

2x
2
+ mx = 3 − x có nghiệm duy nhất.
 25. (Khối B, 2004) Tìm m để phương trình sau có nghiệm
m(
√
1 + x
2
−
√
1 − x
2
+ 2) = 2
√
1 − x
4
+
√
1 + x
2
−
√
1 − x
2
.
 26. (A, 2007) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 3
√
x − 1 + m
√
x + 1 = 2

3
(a)
√
x + 3 +
√
6 − x −

(x + 3)(6 − x) = m;
(b)
√
x + 1 +
√
3 − x −

(x + 1)(3 − x) = m;
(c) x
2
−
√
4 − x
2
+ m = 0;
 31. (Dự bị D, 2007) Tìm m để phương trình

x − 3 − 2
√
x − 4 +

x − 6
√

√
3x
2
− 5x + 2.
 36. (Dự bị 1, khối D, 2006) Giải phương trình 4
x
− 2
x+1
+ 2(2
x
− 1) sin(2
x
+ y −1) + 2 = 0.
 37. Giải bất phương trình
a)
√
x
2
− 2x − 15 < x − 2;
b)
√
−x
2
+ 6x − 5  8 − 2x;
c)
√
8x
2
− 6x + 1 − 4x + 1  0;
d)

2
+ 4x + 3  6 − 2x;
i) 2x
2
+
√
x
2
− 5x − 6 > 10x + 15;
j) (A, 2005)
√
5x − 1 −
√
x − 1 >
√
2x − 4;
k)
√
2x + 7 −
√
5 − x 
√
3x − 2;
l)
2
x−1
+ 4x − 16
x − 2
> 4.
m) x

a) 3.16
x
+ 37.36
x
= 26.81
x
.
b) 3
2x
2
+6x−9
+ 4.15
x
2
+3x−5
= 3.5
2x
2
+6x−9
.
c) 27
x
+ 12
x
= 2.8
x
.
d) 5.2
3x−3
− 3.2

4 +
√
15

x
= (2
√
2)
x
.
g) 8.4
1/x
+ 8.4
−1/x
−54.2
1/x
−54.2
−1/x
= −101.
h) 5
3x
+ 9.5
x
+ 27(5
−3x
+ 5
−x
) = 64.
i) 1 + 3
x/2

− 3
= 0.
4
 41. (Dự bị D, 2007) Giải phương trình 2
3x+1
− 7.2
2x
+ 7.2
x
− 2 = 0.
 42. (Dự bị B, 2007) Giải phương trình log
3
(x − 1)
2
+ log
√
3
(2x − 1) = 2.
 43. (Dự bị B, 2007) Giải phương trình (2 − log
3
x). log
9x
3 −
4
1 − log
3
x
= 1.
 44. (Dự bị A, 2007) Giải phương trình log
4

(x − 1)
3
= 0.
 47. (BKHN, 2000) log
4
(x + 1)
2
+ 2 = log
√
2
√
4 − x + log
8
(4 + x)
3
.
 48. (Dự bị, 2002)
1
2
log
√
2
(x + 3) +
1
4
log
4
(x − 1)
8
= log

1
4
= 0.
 51. (Dự bị A, 2006) log
x
2 + 2 log
2x
4 = log
√
2x
8.
 52. (A, 2007) 2 log
3
(4x − 3) + log
1
3
(2x + 3)  2.
 53. (Dự bị A, 2007) Giải bất phương trình (log
x
8 + log
4
x
2
) log
2
√
2x  0.
 54. (Dự bị D, 2007) Giải bất phương trình log
1/2
√

(5
x−2
+ 1).
 57. (CĐTCKT 2006) 3

log
1/2
x + log
4
x
2
− 2 > 0.
 58. (Dự bị B, 2003) log
1
2
x + 2 log
1
4
(x − 1) + log
2
6  0.
 59. (Dự bị, 2006) log
x+1
(−2x) > 2.
 60. (CĐ Y tế Thanh Hoá, 2006)

log
2
0,5
x + 4 log

2x+1
− 3.2
x
).
 63. (D, 2006) 2
x
2
+x
− 4.2
x
2
−x
− 2
2x
+ 4 = 0.
5
 64. (A, 2006) 3.8
x
+ 4.12
x
− 18
x
− 2.27
x
= 0.
 65. (B, 2007) (
√
2 − 1)
x
+ (

x−1−
√
x
2
−5
+ 8 = 0.
 69. (Cao đẳng khối A, D, 2006) 3
2x
2
+2x+1
− 28.3
x
2
+x
+ 9 = 0.
 70. (ĐHSPHCM, 2002) 4
log
2
2x
− x
log
2
6
= 2.3
log
2
4x
2
.
 71. (Dự bị, 2004) log

11
(
√
2x − 3 − 1)

.

log
1
11
(x − 2)

.
 74. (CĐSPHN, A, Dự bị, 2002) log
1/3
(x − 1) + log
1/3
(2x + 2) + log
√
3
(4 − x) < 0.
 75. (CĐSP Vĩnh Phúc, 2002) log
4
(3
x
− 1). log
1
4
3
x

+ x
log
2
x
 4.
 79. (Cao đẳng khối A, B, 2005) 3
2x+4
+ 45.6
x
− 9.2
2x+2
 0.
 80. (CĐKTĐN, 2007) 5.4
x
+ 2.25
x
 7.10
x
.
 81. (Dự bị 2002) Tìm a để phương trình sau có nghiệm 9
1+
√
1−t
2
− (a + 2)3
1+
√
1−t
2
+ 2a + 1 = 0.

3
].
 85. Tìm a để phương trình sau có nghiệm:
9
1+
√
1−x
2
− (a + 2).3
1+
√
1−x
2
+ 2a + 1 = 0.
6
1 Hệ đối xứng loại một, hệ phản xứng
 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)

x + y + xy = 11,
x
2
+ y
2
+ 3(x + y) = 28;
b)

x + y = 4,
(x
2

+

y
x
=
5
2
,
x
2
+ y
2
+ xy = 21;
e)

3(
√
x +
√
y) = 4
√
xy,
xy = 9;
f) (A, 2006)

x + y −
√
xy = 3,
√
x + 1 +

b)

x + y + xy = m,
x
2
+ y
2
= m.
 3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

x + y + xy = m + 2,
x
2
y + xy
2
= m + 1.
2 Hệ đối xứng loại hai
 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)

xy + x
2
= 1 + y,
xy + y
2
= 1 + x;
b)

x
3

3
y
2
;
f) (B, 2003)

3y =
y
2
+2
x
2
,
3x =
x
2
+2
y
2
.
 2. Giải các phương trình sau:
a) x
3
− 3
3
√
2 + 3x = 2;
b) x
3
− 6 =

√
x + 1 +
√
y −2 =
√
m,
√
y + 1 +
√
y −2 =
√
m.
(4)
a) Giải hệ (5) khi m = 9;
b) Tìm m để hệ phương trình (5) có nghiệm.
 6. (Dự bị A, 2007) Giải hệ phương trình



x +
√
x
2
− 2x + 2 = 3
y−1
+ 1,
y +

y
2

+ x.
 8. (Dự bị B, 2007) Chứng minh rằng hệ phương trình





e
x
= 2007 −
y

y
2
− 1
,
e
y
= 2007 −
x
√
x
2
− 1
có đúng hai nghiệm (x; y) thoả mãn x > 1, y > 1.
3 Phương pháp đặt ẩn phụ
 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)

x(x + 2)(2x + y) = 9,

x
+
1
y
= 5,
x
2
+ y
2
+
1
x
2
+
1
y
2
= 9;
e)

x + y + x
2
+ y
2
= 8,
xy(x + 1)(y + 1) = 12;
f)

1 + x
3

2
− xy + 3y
2
= 11;
c)

(x − y)
2
y = 2,
x
3
− y
3
= 19;
d)

x
2
− 5xy + 6y
2
= 0,
4x
2
+ 2xy + 6x −27 = 0;
 86. Giải các hệ phương trình sau:
8
a) (D, 2007) Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:




c) (Dự bị khối D, 2005)

x
2
+ y
2
+ x + y = 4
x(x + y + 1) + y(y + 1) = 2
d) (Khối A, 2006)

x + y −
√
xy = 3
√
x + 1 +
√
y + 1 = 4
(x, y ∈ R)
e) (Dự bị Khối A, 2006)

x
2
+ 1 + y(y + x) = 4y
(x
2
+ 1)(y + x −2) = y
(x, y ∈ R)
f) (Dự bị Khối A, 2006)

x

2
(x, y ∈ R)
i) (Dự bị Khối D, 2006)

ln(1 + x) − ln(1 + y) = x −y,
x
2
− 12xy + 20y
2
= 0.
j) (Dự bị Khối B, 2006)

(x − y)(x
2
+ y
2
) = 13,
(x + y)(x
2
− y
2
) = 25
(x, y ∈ R).
k) (Dự bị, 2005)

x
2
+ y = y
2
+ x,

x) sin x = 1 + sin 2x.
3) (D, 2006) cos 3 x + cos 2x − cos x − 1 = 0.
4) (D, 2007)

sin
x
2
+ cos
x
2

2
+
√
3 cos x = 2.
9
5) (B, 2007) 2 sin
2
x + sin 7x − 1 = sin x.
6) (Dự bị A, 2007) Giải phương trình sin 2x + sin x −
1
2 sin x
−
1
sin 2x
= 2 cot 2x.
7) (Dự bị A, 2007) Giải phương trình 2 cos
2
x + 2
√

sin x
= tan x − cot x.
10) (Dự bị D, 2007) Giải phương trình 2
√
2 sin

x −
π
12

cos x = 1.
11) (Dự bị D, 2007) Giải phương trình (1 − tan x)(1 + sin 2x) = 1 + tan x
12) (Dự bị B, 2006) (2 sin
2
x − 1) tan
2
2x + 3(cos
2
x − 1) = 0.
13) (Dự bị B, 2006) cos 2x + (1 + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0.
14) (Dự bị D, 2006) cos
3
x + sin
3
x + 2 sin
2
x = 1.
15) (Dự bị D, 2006) 4 sin
3
x + 4 sin

19) cos
2

x +
π
3

+ cos
2

x +
2π
3

=
1
2
(sin x + 1).
20) sin

3x +
π
4

= sin 2x. sin

x +
π
4


25) (B, 2005) 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0.
26) (D, 2005) cos
4
x + sin
4
x + cos

x −
π
4

sin

3x −
π
4

−
3
2
= 0.
27) (Dự bị 2005) 2
√
2 cos
3

x −
π
4


32) (Dự bị 2004)
1
cos x
−
1
sin x
= 2
√
2 cos

x +
π
4

.
10
33) (Dự bị 2004) sin 2 x − 2
√
2(sin x + cos x) − 5 = 0.
34) 1 + sin
3
x + cos
3
x =
3
1
sin 2x.
35) cos 3x − sin 2x =
√
3(cos 2x − sin 3x).


BAC = 120
◦
. Gọi M là trung điểm của cạnh CC
1
. Chứng minh rằng MB ⊥ MA
1
và tính
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A
1
BM).
 91. (Dự bị A, 2007) Cho hình chóp S.ABC có góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
60
◦
, các tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng (SAC).
 92. (Dự bị B, 2007) Trong mặt phẳng (P ) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C
thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P ) tại
A, lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60
◦
. Gọi H, K lần lượt
là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Chứng minh rằng tam giác AHK là tam
giác vuông và tính thể tích của khối chóp S.ABC.
 93. (Dự bị B, 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc
với đáy hình chóp. Cho AB = a, SA = a
√
2. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A
trên các cạnh SB, SD. Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK) và tính thể tích của khối chóp O.AHK.
 94. (Dự bị D, 2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A
1

1
. Chứng minh BM ⊥ B
1
C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM
và B
1
C.
11
 96. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau, OA = a, OB = b,
OC = c. Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữa OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng
sin
2
α + sin
2
β + sin
2
γ = 1.
 97. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. Gọi α, β, γ lần lượt là
các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC), (OAC), (OAB). Chứng minh rằng
cos α + cos β + cos γ 
√
3.
 98. (Khối B, 2002) Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1

BD)
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và MN.
 100. (Học viện quan hệ quốc tế, khối D, 2001) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A

B

C

D

với AB =
a, BC = b, AA

= c.
a) Tính diện tích tam giác ACD

theo a, b, c.
b) Giả sử M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Hãy tính thể tích tứ diện D

DMN theo
a, b, c.
 101. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, biết SA =
a.
√
6
2
.
 102. (Dự bị 2002) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
mặt phẳng đáy (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo A khoảng


có các cạnh AB = AD = a, AA

=
a
√
3
2
và

BAD = 60
◦
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A

D

và A

B

. Chứng minh
rằng AC

vuông góc với mặt phẳng (BDM N). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
 107. (Dự bị, Khối A, 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =
a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
◦
. Trên
cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =
a

2, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với
mặt phẳng (SMB). Tính thể tích khối tứ diện ANIB.
 112. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,

BAD = 60
◦
, SA vuông góc với
mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C

là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P ) đi qua AC

và song
song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B

và D

. Tính thể tích khối chóp
S.AB

C

D

.
 113. Cho hình lăng trụ ABC.A

B

C

vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích của khối tứ diện MABC.
 116. (Cao đẳng Tài chánh Kế toán, 2006) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a
và góc

ASB = 60
◦
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
13
 117. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
 118. (Khối B, 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A

B

C

D

có đáy ABCD là một hình thoi cạnh
a, góc

BAD = 60
◦
. Gọi M là trung điểm của cạnh CC

. Chứng minh rằng bốn điểm B

, M, D, N
cùng nằm trên một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA


2
chéo nhau và vuông góc với nhau;
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng cắt cả hai đường thẳng d
1
, d
2
và song song với
đường thẳng
∆ :
x − 4
1
=
y −7
4
=
z − 3
−2
.
 121. Cho hai điểm A(1; −1; 2), B(3; 1; 0) và mặt phẳng (P ) có phương trình x − 2y − 4z + 8 = 0.
a) Lập phương trình đường thẳng (d) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: (d) nằm trong mặt
phẳng (P ), (d) vuông góc với đường thẳng AB và (d) đi qua giao điểm của đường thẳng AB
với mặt phẳng (P ).
b) Tìm toạ độ điểm C trong mặt phẳng (P ) sao cho CA = CB và mặt phẳng ABC vuông góc
với mặt phẳng (P ).
 122. Cho tam giác ABC có điểm B(2; 3; −4), đường cao CH có phương trình ∆
1
:
x − 1
5
=

=
z − 4
4
, d
2
:
x − 1
2
=
y + 2
−3
=
z − 5
1
.
Lập phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB, AC của tam giác ABC.
 124. (A, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
d
1
:
x
2
=
y −1
−1
=
z + 2
1
và d
2

2
.
(a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với
mặt phẳng (OAB).
(b) Tìm toạ độ M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
 126. (B, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho mặt cầu
(S ) : x
2
+ y
2
+ z
2
− 2x + 4y + 2z −3 = 0
và mặt phẳng (P) : 2x − y + 2z − 14 = 0.
(a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S ) theo một đường tròn có bán
kính bằng 3.
(b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S ) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)
lớn nhất.
 127. (Dự bị A, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(−1; 3; −2), B(−3; 7; −18)
và mặt phẳng (P) : 2x − y + z + 1 = 0.
(a) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với (P ).
(b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P ) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
 128. (Dự bị A, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(2; 4; 6)
và đường thẳng (d) có phương trình



và mặt phẳng (P) có phương trình x + y + z + 2 = 0.
(a) Tìm toạ độ giao điểm M của (P ) và (d).
(b) Viết phương trình đường thẳng ∆ thuộc (P ) sao cho ∆ vuông góc với (d) và khoảng cách
từ M đến ∆ bằng
√
42.
 132. (Dự bị D, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z −1 = 0
và hai đường thẳng
(d
1
) :
x − 1
2
=
y −3
−3
=
z
1
, (d
2
) :
x − 5
6
=
y
4
=
z + 5
−5

6
.
 134. (B, 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) và hai đường thẳng:
d
1
:
x
2
=
y −1
1
=
z + 1
−1
, d
2
:









x = 1 + t,
y = −1 − 2t,
z = 2 + t.
(a) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A đồng thời song song với d

z + 1
1
.
(a) Tìm toạ độ điểm A

đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
1
.
16
(b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
 136. (Dự bị, A, 2006, dự bị 1) Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A

B

C

có
A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), A

(0; 0; 2)
(a) Chứng minh A

C vuông góc với BC

. Viết phương trình mặt phẳng (ABC


D

và A

B

.
Chứng minh AC

vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích của khối chóp A.BDMN.
 138. (Dự bị, A, 2006, dự bị 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
(α) : 3x + 2y − z + 4 = 0
và hai điểm A(4; 0; 0), B(0; 4; 0) . Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB
(a) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (α).
(b) Xác định toạ độ điểm K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng (α), đồng thời K cách đều
gốc toạ độ O và mph (α).
 139. (Dự bị, D, 2006, dự bị 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 4x −3y +
11z − 26 = 0 và hai đường thẳng
d
1
:
x
−1
=
y −3
2
=
z + 1
3
,

 142. Cho điểm A(1; −1; 1) và hai đường thẳng (d
1
), (d
2
) có phương trình
d
1
:





x = −t,
y = −1 + 2t,
z = 3t
và d
2
:

3x + y −z + 3 = 0,
2x − y + 1 = 0.
Chứng minh rằng (d
1
), (d
2
) và A cùng nằm trong một mặt phẳng.
 143. Cho tam giác ABC có điểm A(−1; −1; 2), đường cao BK và đường trung tuyến CM lần lượt
có phương trình
d

2
− 2x − 2y + 1 = 0 và đường thẳng d : x − y + 3 = 0. Tìm toạ độ điểm M nằm trên d
sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C ) , tiếp xúc ngoài với
đường tròn (C ).
 146. (Dự bị khối D, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : x−y+1−
√
2 = 0
và điểm A(−1; 1). Viết phương trình đường tròn (C ) đi qua A, gốc toạ độ O và tiếp xúc với
đường thẳng d.
 147. (Khối B, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình
x
2
+ y
2
− 2x − 6y + 6 = 0 và điểm M(−3; 1). Gọi T
1
, T
2
là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ
từ M đến (C ). Viết phương trình đường thẳng T
1
T
2
.
 148. (Dự bị khối B, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại B với
A(1; −1), C(3; 5). Đỉnh B nằm trên đường thẳng d : 2x − y = 0. Viết phương trình các đường
thẳng AB, BC.
 149. (Dự bị khối B, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1),
đường cao qua đỉnh B có phương trình là x −3y −7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có
phương trình là x + y + 1 = 0. Xác định toạ độ B và C của tam giác.


) cắt (C ) tại hai điểm
A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng
√
3. Viết phương trình của đường tròn (C

).
 154. (Dự bị D, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2; 1). Lấy điểm B thuộc trục
Ox có hoành độ không âm và điểm C thuộc trục Oy có tung độ không âm sao cho tam giác
ABC vuông tại A. Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.
 155. (Dự bị D, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các điểm A(2; 1), B(2; −1) và các
đường thẳng
d
1
: (m − 1)x + (m − 2)y + 2 − m = 0, d
2
: (2 − m)x + (m − 1)y + 3m − 5 = 0.
Chứng minh rằng d
1
luôn cắt d
2
. Gọi P là giao điểm của d
1
và d
2
, tìm m sao cho tổng khoảng
cách P A + P B lớn nhất.
 156. (Dự bị, 2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và đường thẳng d :
x − 2y + 2 = 0. Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC.
 157. (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác cân ABC có trọng tâm

1
: x + y + 5 = 0, d
2
:
x +2y −7 = 0 và điểm A(2; 3). Tìm điểm B thuộc d
1
và điểm C thuộc d
2
sao cho tam giác ABC
có trọng tâm là điểm G(2; 0).
 162. (Dự bị, 2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm I(−2; 0) và hai đường thẳng
d
1
: 2x − y + 5 = 0, d
2
: x + y − 3 = 0. Viếte phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt
hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt tại A, B sao cho
# »
IA = 2
# »
IB.
 163. (Cao đẳng Y tế 2006) Cho hai đường thẳng d
1
: 2x + y −1 = 0, d
2
: 2x −y + 2 = 0. Viết phương

2
− 4x + 6y −21 = 0.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M(5; 2).
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) song song với đường thẳng 5x + 12y − 1 = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) vuông góc với đường thẳng 2x + 5y = 0.
 167. Cho họ đường cong (C
m
) có phương trình x
2
+ y
2
− 2(m + 1)x − 4(m − 1)y + 5 −m = 0.
a) Tìm m để (C
m
) là đường tròn.
b) Khi (C
m
) là đường tròn, xác định m để đường thẳng x − y + 2 = 0 là tiếp tuyến của (C
m
).
 168. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) A
3
x
+ C
2
x
= 14x;
b) (TN, 2006) C
4

n
+ C
3
n
C
n−3
n
= 100;
e) A
3
n+1
+ C
n−1
n+1
= 14(n + 1);
f)
1
2
A
2
2x
− A
2
x

6
x
C
3
x

biết rằng C
2
n+1
+ 2C
2
n+2
+ 2C
2
n+3
+ C
2
n+4
= 149.
 172. Tìm tất cả các số tự nhiên x, y sao cho A
y−1
x
: A
y
x−1
: C
y
x−1
= 21 : 60 : 10.
 173. (A, 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho
C
1
2n+1
− 2.C
2
2n+1


n
,
biết rằng C
1
2n+1
+ C
2
2n+1
+ ··· + C
n
2n+1
= 2
20
− 1.
(n nguyên dương, C
k
n
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
 175. (A, 2002) Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển nhị thức Niutơn của

1
x
3
+
√
x
5


3
√
x +
1
4
√
x

7
, (x > 0); b)

2
√
x +
3
4
√
x

20
, (x > 0); c)

2x
3
+
1
x
2


=
a
k+1
24
, hãy tính n.
 179. (Dự bị, 2002) Gọi a
1
, a
2
, . . . , a
11
là các hệ số trong khai triển sau
(x + 1)
10
(x + 2) = x
11
+ a
1
x
10
+ a
2
x
9
+ ··· + a
11
.
Tính hệ số a
5
.

học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
Đáp số. 255.
 192. (Dự bị D, 2006) Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp học thành 3 tổ, tổ 1 có
10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh.
Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy?
 193. (B, 2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh chỉ
có 4 nam và 1 nữ?
Đáp số. C
3
7
.C
7
26
C
2
4
C
9
19
+ C
2
7
.C
8
26
C
3
5
C

= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ ···+ a
100
x
100
. Chứng minh rằng a
2
< a
3
.
Với giá trị nào của k (0  k  99) thì a
k
< a
k+1
?
 198. (Dự bị 2005) Tìm k ∈ {0, 1, 2, . . . , 2005} sao cho C
k
2005
đạt giá trị lớn nhất.
 199. (Dự bị 2004) Giả sử (1+2x)
n
= a
0

+ a
1
x + a
2
x
2
+ ··· + a
100
x
100
. Tìm
(a) a
45
;
(b) a
0
+ a
1
+ ··· + a
100
;
(c) a
1
+ 2a
2
+ ··· + 100a
99
;
(d) lớn nhất trong các số a
0

trong khai triển (x
2
+2)
n
, biết A
3
n
−8C
2
n
+C
1
n
= 49.
 205. (Dự bị D, 2007) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà
mỗi số ấy gồm bốn chữ số khác nhau?
5 Tóm tắt lí thuyết
1. Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R là
(x − a)
2
+ (y −b)
2
= R
2
. (5)
Ngược lại mỗi phương trình có dạng (5) là phương trình của một đường tròn nhận I(a; b) làm
tâm và có bán kính bằng R.
2. Mỗi phương trình có dạng
x
2

giao điểm của (C ) và (C

).
ĐS. (C

) : (x − 3)
2
+ y
2
= 4. Các giao điểm A(1; 0), B(3; 2).
 3. Cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
−2x −4y + 3 = 0. Lập phương trình đường tròn (C

) đối xứng với
đường tròn (C ) qua đường thẳng d : x − 2 = 0.
 4. (Dự bị khối D, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : x−y+1−
√
2 = 0
và điểm A(−1; 1). Viết phương trình đường tròn (C ) đi qua A, gốc toạ độ O và tiếp xúc với
đường thẳng d.
ĐS. x
2
+ y
2
− 2y = 0, x
2
+ y

2
+y
2
−4x−6y−12 = 0.
Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d : 2x −y + 3 = 0 sao cho MI = 2R, trong đó I là tâm
và R là bán kính của đường tròn (C ).
ĐS. M
1
(−4; −5), M
2

24
5
;
63
5

.
24
 10. (D, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
− 2x −2y + 1 = 0
và đường thẳng d : x −y + 3 = 0. Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng d sao cho đường tròn
tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).
ĐS. M
1
(1; 4), M
2

ĐS. 2x + y −1 = 0, 2x + y + 19 = 0.
 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn x
2
+ y
2
− 2x + 4y = 0 biết tiếp tuyến vuông góc
với đường thẳng x − 2y + 9 = 0.
ĐS. 2x + y −5 = 0, 2x + y + 5 = 0.
 3. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn x
2
+ y
2
− 4x −6y + 1 = 0 biết tiếp tuyến có hệ số
góc k = 2.
ĐS. 2x − y −1 −
√
60 = 0, 2x − y − 1 +
√
60 = 0.
7.3 Tiếp tuyến xuất phát, đi qua, kẻ từ một điểm cho trước
 1. Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn x
2
+ y
2
+ 2x − 4y = 0 biết tiếp tuyến đi qua điểm
A(4; 7).
ĐS. 2x − y −1 = 0, x − 2y + 10 = 0.
 2. Cho đường tròn (C) : x
2
+ y