CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP Phương Xuân Trịnh
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1) Quy tắc cộng:
Có n
1
cách chọn đối tượng A
1
.
n
2
cách chọn đối tượng A
2
.
A
1
∩ A
2
= ∅
⇒ Có n
1
+ n
2
cách chọn một trong các đối tượng A
1
, A
2
.
2) Quy tắc nhân:
Có n
1

n!
A
(n k)!
=
−
5) Tổ hợp:
− Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 ≤ k ≤ n) gọi là một tổ hợp chập
k của n phần tử.
− Số các tổ hợp:
k
n
n!
C
k!(n k)!
=
−
− Hai tính chất
k n k
n n
C C
−
=

k 1 k k
n 1 n 1 n
C C C
−
− −
+ =
6) Nhị thức Newton

1. Bài toán đếm.
1.1 Đếm các số tự nhiênđược thành lập.
Ví dụ 1.
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao
cho
a) Các chứ số đều khác nhau.
b) Chữ số đầu tiên là 3.
c)Các chữ số khác nhau và không tận cùng bằng chữ số 4.
Giải
a) Mỗi số có 5 chữ số khác nhau được thành lập tương ứng với một chỉnh
hợp chập 5 của 7 phần tử ⇒ Có
5
7
A
= 2520 số
b) Gọi số cần thiết lập là
abcde
Chữ số đàu tiên là 3 ⇒ a có 1 cách chọn
b, c, d, e đều có 7 cách chọn
⇒ Có 1.7.7.7.7 = 2401 số.
c) Gọi số cần thiết lập là
abcde
Chữ số cuối cùng khác 4 ⇒ e có 6 cách chọn (trừ số 4)
a có 6 cách chọn
b có 5 cách chọn
c có 4 cách chọn
d có 3 cách chọn
⇒ Có 6.6.5.4.3 = 2160 số.
Ví dụ 2.(ĐH An ninh 97)
Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 thành lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác

A
= 120 số
Với mỗi số vừa thành lập có 4 vị trí để xen số 5 tạo thành số có 4 chữ số khác
nhau và có mặt chữ số 5.
⇒ Có 120.4 = 480 số.
Cách 2:
− Số cần tìm có 1 trong bốn dạng
5bcd,a5bc,ab5d,abc5
− Mỗi dạng có 120 số ⇒ có 480 số
Ví dụ 4:
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 2008 chữ số sao cho tổng các chữ số bằng 3.
Giải
Xét các trường hợp
+ Trườnghợp 1: Số tạo thành gồm 1 chữ số 3 và 2007 chữ số 0
⇒ Chỉ có 1 số 3000…000 (2007 chữ số 0)
+ Trường hợp 2: Số tạo thành gồm 1 chữ số 1, 1 chữ số 2 và 2006 chữ số 0
Chọn chữ số đầu tiên có 2 cách chọn số 1 hoặc 2
Chữ số còn lại có 2007 vị trí để đặt, còn các vị trí khác đặt số 0
⇒ Có 2.2007 = 4014 số
+ Trường hợp 3: Số tạo thành gồm 3 chữ số 1 và 2005 chữ số 0
Chọn chữ số đầu tiên là 1
Chọn 2 trong 2007 vị trí để đặt chữ số 1 ⇒ có
2
2007
C
= 2007.1003 = 2013021
Vậy có 1 + 4014 + 2013021 = 2017036 số
Ví dụ 5(ĐHQG TPHCM 2001)
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần,
chữ số ba có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần.

.
2
8
A
= 11 760 cách.
+ Cần phải loại các trường hợp chữ số 0 đứng đầu. Lập luận tương tự cho 6 vị trí
⇒ có
2
6
C
.
3
4
C
.
1
7
A
= 420 số
Vậy có 11 760 − 420 = 11 340 số.

1.2 Đếm số phương án.
Ví dụ 6: (ĐH Thái nguyên 99)
Một lớp học có 25 nam và 15 nữ. Cần chọn một nhóm gồm ba học sinh. Hỏi có
bao nhiêu cách:
a) Chọn 3 học sinh bất kì.
b) Chọn 3 học sinh gồm 2 nam và một nữ.
c) Chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam.
Giải
a) Mỗi cách chọn là một tổ hợp chập3 của 40 ⇒ Số cách chọn là:

3
37
C
Số bộ ba điểm thẳng hàng trên a là:
3
17
C
Số bộ ba điểm thẳng hàng trên b là:
3
20
C
Vậy số tam giác tạo thành là:
3
37
C
−
3
17
C
−
3
20
C
= 11 340 tam giác
Tổ Toán Trương THPT Lương Tài
4
CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP Phương Xuân Trịnh
Cách 2:
Mỗi tam giác được tạo thành bởi một điểm trên đường thẳng này và hai điểm trên
đường thẳng kia. Xét 2 trường hợp

C .C .C C .C .C C .C .C 720+ + =
hình thang
2. Giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số tổ hợp
Ví dụ 1: (CĐSP TPHCM99)
Tìm k thỏa mãn:
k k 2 k 1
C C 2C
14 14 14
+ +
+ =
Giải
ĐK
k N
k 12
∈


≤

Phương trình tương đương với

14! 14! 2.14!
k!(14 k)! (k 2)!(12 k)! (k 1)!(13 k)!
+ =
− + − + −
⇔
1 1 2
(14 k)(13 k) (k 2)(k 1) (k 1)(13 k)
+ =
− − + + + −

n 1
4
14P
A
3
n 1
−
−
>
+
⇔
.
n 3 4
14.P C A
3 n 1 n 1
>
−
− +
⇔
( )
( )
( ) ( ) ( )
n 1 !
14.3! n 1 .n. n 1 . n 2
n 3 !2!
−
> + − −
−
⇔
2

u A , v C= =
⇒ u, v ∈N
*
ta có hệ
u
2.u 5.v 90
5. 2.v 80


−

+ =
=
⇔
u 20
v 10



=
=
Thay vào ta có
y
A 20
x
y
C 10
x






−

=
⇔
y 2
x!
(x 2)!
20
=




−

=

⇔
x(x 1) 20
y 2
− =


=

⇔
x 5, x 4

Số hạng tổng quát
k
k 12 k k 12 2k
k 1 12 12
1
T C .x C .x
x
− −
+
 
= =
 ÷
 
.
Số hạng không chứa x tương ứng với 12 − 2k = 0 ⇔ k = 6.
Đáp số:số hạng không chứa x phải tìm là:
12.11.10.9.8.7
6 0
C .x 924
12
1.2.3.4.5.6
= =
Ví dụ 2:(ĐH và CĐ, khối A, 2003).
Tìm hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
1
5


⇔
(n 4)(n 3)(n 2) (n 3)(n 2)(n 1) 42(n 3)+ + + − + + + = +
⇔
(n 4)(n 2) (n 2)(n 1) 42+ + − + + =
⇔ 3n = 36 ⇔ n = 12
Số hạng tổng quát
12 k
5k
k
36 3k
1
k 5 k
2
T C . x C .x
12 12
k 1
3
x
 
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
−
− +
= =
+

Tìm max
( )
1 2 12
a ,a , ,a
Giải
Số hạng tổng quát
( )
k k
2x .
k
k k
T C . C .2 x
12 12
k 1
= =
+
.
Xét hai hệ số liên tiếp
k
k
a C .2
12
k
=
và
k 1 k 1
a C .2
12
k 1
+ +

.
Tương tự như trên ⇒ a
8
> a
9
> … > a
12
.
Vậy hệ số lớn nhất là:
8
8 8
a C 2 126720
12
= =
4) Tính tổng hoặc chứng minh đẳng thức.
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng ∀ n, k ∈ N
*
và n ≥ k ≥ 1 thì:
k k 1
n n 1
kC nC
−
−
=
Giải
Thật vậy ∀ n, k ∈ N
*
và n ≥ k ≥ 1 ta có:
k
n

6 5 7 4
11 11 11 11
C C ,C C , = =
nên
5 4 3 2 1 0 0 1 2 10 11
11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
S C C C C C C 2S C C C C C= + + + + + → = + + + +
(1)
Áp dụng khai triển Niu tơn
( )
n
n
k k
n
k 0
x 1 C .x
=
+ =
∑
với x = 1, n = 11 được

( )
11
11
k 0 1 2 10 11
11 11 11 11 11 11
k 0
1 1 C C C C C C
=
+ = = + + + + +

1
C .C
n
n 1
2.C .C
n
n 1
( 1) n.C ( 1) .C
n
n 1
− − −
=
= −
=
−
−
−
− −
−
Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được
0 1 2 3 n 1 n 1
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
n 1
n(C C C C ,,, ( 1) C )
n(1 1) 0
1 2 3 4 n 1 n
S C 2.C 3.C 4.C ( 1) .n.C
n n n n n
− −
− − − − −

1
S .C .C C C C
1 2 3 4 +
= + + + + +
Giải
Cách 1( Sử dụng kết quả ví dụ 1)
Âp dụng kết quả ví dụ 1 ta có:
k k 1
n n 1
kC nC
−
−
=
⇔
k 1 k
n 1 n
(k 1)C (n 1)C
+
+
+ = +
⇔
k k 1
n n 1
1 1
C C
k 1 n 1
+
+
=
+ +

+
=
+
=
+
=
+ +
0 1 2 3 n
n n n n n
1 2 3 n 1
n 1 n 1 n 1 n 1
n 1
1 1 1
n 1
1
(C C C C )
n 1
1
(2 1)
n 1
1
S .C .C C C C
1 2 3 4
+
+ + + +
+
+
= + + + +
+
= −

0
(1 x) 2 1
(1 x) dx
n 1 n 1
+ +
+ −
+ == =
+ +
∫
n 1
2 1
n 1
+
−
⇒ =
+
0
0 2 1 3 2 4 3 n 1 n 1
n n n n n
1 1 1
x
n 1
1
.C .x C x C x C x C
1 2 3 4
+
 
 
+
 

0 1 2 3 4 5 6
.C .C C C C C C
6 6 6 6 6 6 6
1 2 3 4 5 6 7
−
=+ + + + + +
Giải
Xét khai triển

6 6 0 5 1 4 2 2 3 3 3 2 4 4 5 5 6 6
6 6 6 6 6 6 6
(2 x) 2 C 2 xC 2 x C 2 x C 2 x C 2x C x C+ = + + + + + +
Tổ Toán Trương THPT Lương Tài
10
CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP Phương Xuân Trịnh
1 1
6 6 0 5 1 4 2 2 3 3 3 2 4 4 5 5 6 6
6 6 6 6 6 6 6
0 0
(2 x) dx (2 C 2 xC 2 x C 2 x C 2 x C 2x C x C )dx⇒ + = + + + + + +
∫ ∫
7
2 3 4 5 6 7
6 0 5 1 4 2 3 3 2 4 5 6
6 6 6 6 6 6 6
1
1
(2 x)
0
7

=+ + + + + +
(đpcm)
Tổ Toán Trương THPT Lương Tài
11
CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP Phương Xuân Trịnh
BÀI TÂP T Ự L ƯY ỆN :
1) Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người khách gồm 3 nam và 2 nữ ngồi vào một
hàng 8 ghế nếu:
a) họ ngồi chỗ nào cũng được?
b) họ ngồi kề nhau?
c) 3 nam ngồi kề nhau, 2 nữ ngồi kề nhau và giữa hai nhóm này có ít nhất
một ghế trống?
2) Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 người khách
a) vào 5 ghế xếp thành một dãy.
b) vào 5 ghế chung quanh một bàn tròn, nếu không có sự phân biệt giữa
các ghế này.
3) Mười người muốn chụp ảnh chung. Họ muốn chụp nhiều ảnh khác nhau
bằng cách đổi chỗ đứng lẫn nhau. Cho rằng mỗi lần đổi chỗ và chụp ảnh mất
1 phút, hỏi cần bao lâu để có thể chụp tất cả các ảnh khác nhau?
4) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng
ba chữ số này bằng 8?
5) Một dãy 5 ghế dành cho 3 nam sinh và 2 nữ sinh. Có bao nhiêu cách sắp xếp
chỗ ngồi nếu:
a) họ ngồi chỗ nào cũng được.
b) nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau.
c) chỉ có nữ sinh ngồi kề nhau.
6) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau biết rằng tổng ba chữ số
này bằng 12?
Một phòng khách có 3 chỗ có thể đặt tranh, ảnh hoặc tượng. Chủ nhà muốn
trang trí bằng cách xếp đặt 4 bức tranh khác nhau vào một chỗ, 3 tấm ảnh khác

12) Cho các số: 0,1,2,3,4,5. Có thể lập được bao nhiêu số từ 4 số khác nhau
được lấy từ các số đã cho. Sao cho:
a) Luôn có mặt chữ số 5.
b) Số đó chia hết cho 3.
c) Không bắt đầu từ chữ số 3.
13) Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6. Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số được
lấy từ các số đã cho sao cho:
a) Số đầu và số cuối giống nhau, các số giữa khác nhau.
b) 2 chữ số đầu và 2 chữ số cuối giống nhau.
14) Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6,7
a) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số sao cho số 0 có mặt 2 lần,
số 3 có mặt 2 lần. Các số khác có mặt một lần.
b) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số sao cho số 2 có mặt 2 lần,
các số khác có mặt một vài lần.
15) Cho các số: 0,1,2,3,4,5. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho
các số chẵn không đứng liền nhau.
16) Một nhóm người thành lập một công ty. Họ muốn chọn một ban điều hành
gồm một giám đốc,một phó giám đốc và một thủ qũy. Có 10 người hội đủ
điều kiện để được chọn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban điều hành?
17) Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu
11m. Có bao nhiêu cách chọn nếu:
a) Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? ( Kể cả thủ môn)
b) Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số
1 và cầu thủ B đá quả số 4?
18) Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên
một kệ trang trí. Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
a) Người đó có 6 pho tượng khác nhau?
b) Người đó có 4 pho tượng khác nhau?
c) Người đó có 8 pho tượng khác nhau?
19) Với năm số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số trong đó số

a) Không chứa phần tử a?
b) Chứa phần tử a?
27) Một bình đựng 5 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ, chúng chỉ khác nhau về màu.
Lấy ra hai viên.
a) Có bao nhiêu kết quả khác nhau?
b) Có bao nhiêu cách lấy ra được 2 viên bi xanh?, hai viên bi đỏ? Hai viên
bi khác màu?
28) Giáo viên hướng dẫn lao động muốn chia 9 học sinh ra làm 3 nhóm gồm 4,
3, và 2 học sinh. Có bao nhiêu cách chia?
29) Cho một đa giác lồi có n đỉnh (
4n ≥
).
a) Tính số đường chéo của đa giác này;
b) Biết rằng ba đường chéo không cùng đi qua một đỉnh thì không đồng
quy, hãy tính số các giao điểm ( không phải là đỉnh ) của các đường
chéo ấy.
30) Một tổ trực gồm 8 nam sinh và 6 nữ sinh. Giáo viên trực muốn chọn một
nhóm 5 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn nếu nhóm này phải có ít nhất một
nữ sinh?
Tổ Toán Trương THPT Lương Tài
14
CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP Phương Xuân Trịnh
31) Giám đốc một công ty muốn chọn một nhóm 5 người vào hội đồng tư vấn.
Trong công ty có 12 người hội đủ điều kiện để được chọn, trong đó có hai
cặp vợ chồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:
a) Hội đồng này có đúng một cặp vợ chồng?
b) Hội đồng này không thể gồm cả vợ lẫn chồng ( nếu có )?
32) Tính số đường chéo của một đa giác lồi có n cạnh. Tìm đa giác có số cạnh
bằng số đường chéo.
33) (ĐH-B-2002) Cho đa giác đều

2 2 .
k k k k
n n n n
C C C C k n
− −
+
+ + = ≤ ≤
37) Chứng minh rằng:
( )
1 2 3
3
3 3 3 .
k k k k k
n n n n n
C C C C C k n
− − −
+
+ + + = ≤ ≤
38) a) Chứng minh :
1 1
1
.
k k k
n n n
C C C
+ +
+
+ =
b) Chứng minh rằng với 4
≤

+ +
+ = +
b)
( )
2
2 2 3 1
1 2
. 4 .
x x x
C A x A
+
− =
41) Giải bất phương trình:
a)
4 3 2
1 1 2
5
0.
4
x x x
C C A
− − −
− − <
b)
4
1
3
3
1
14. .

44) Cho m
≤
k
≤
n. Chứng minh:
0 1 1 2 2
.
k k k m k m k
m n m n m n m n m n
C C C C C C C C C
− − −
+
+ + + + =
45) Chứng minh rằng:
( ) ( )
0 1 2
1 1 0.
k n
k n
n n n n n
C C C C C− + − + − + + − =
Tổ Toán Trương THPT Lương Tài
15
CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP Phương Xuân Trịnh
46) a) Chứng minh:
1
0 1 2
2 2
. . .
1

−
+ + + − = −
b) Chứng minh:
( ) ( ) ( )
2 2 2
0 1
2
.
n n
n n n n
C C C C+ + + =
48) Tìm x để trong khai triển:
6
1
12
lg 1x
x x
+
 
+
 ÷
 
có số hạng thứ 4 bằng 200.
49) Trong khai triển
17
3
4
3 2
1
.x

7
A
=?.
52) Khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức
( )
9
2 3
1 x x+ −
.
Ta được một đa thức:
2 2
0 1 2

x
P A A x A x= + + +
. Tính
7
.A
53) (ĐH-A-2004) Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển của biểu thức:
( )
8
2
1 1 .x x
 
+ −
 
54) Tìm hệ số của

5
3
1
n
x
x
 
+
 ÷
 
, biết rằng:
1
4 3
7( 3)
n n
n n
C C n
+
+ +
− = +
( n là số nguyên
dương, x > 0 ).
57) (ĐH-D-2003) Với n là số nguyên dương, gọi
3 3n
a
−
là hệ số của
3 3n
x
−

+
 ÷
 
, biết rằng:
1 2 3 20
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1.
n
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + + = −
( n là
số nguyên dương, x > 0 ).
59) Trong khai triển:
21
3
3
a b
b a
 
+
 ÷
 ÷
 
. Tìm số hạng có số mũ của a và b như
nhau.
60) Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị:
0 1 2
, , , , .

n
n
a
a
a + + + =
. Tìm số
lớn nhất trong các số:
0 1
, , , .
n
a a a
63) (ĐH-A-2002) Cho khai triển nhị thức:
1
1
1 1 1 1
0 1 1
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
n n n
n n
x x x x
x x x x
n n
n n n n
C C C C
−
−
− − − −
− − − −

.
2 3 1
n
n
n n n n
C C C C
n
+
− − −
+ + + +
+
66) (ĐH-D-2002) Tìm số nguyên dương n sao cho:
0 1 2
2 4 2 243.
n n
n n n n
C C C C+ + + + =
67) (ĐH-D-2005) Tính giá trị của biểu thức:
( )
4 3
1
3
,
1 !
n n
A A
M
n
+
+